选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义

选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义

选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 ‎ 本部分是人教A版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。‎ 第一节 坐标系 基本知识点：‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与极坐标 ‎(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，‎ 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，‎ 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，‎ 这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ) 不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：‎ 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 ‎(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) ‎ ‎(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos_θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)‎ 必考知识点：‎ ‎1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．‎ ‎2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．‎ ‎[试一试]：‎ ‎1.点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ ‎2.极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________．‎ ‎1.确定极坐标方程的四要素:极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎2.直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤:‎ ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)‎ ‎(2)在[0,2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．‎ ‎[练一练]：‎ ‎1．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________．‎ ‎2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋)＝，则极点到该直线的距离是________．‎ 考点一：平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎1.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为___．‎ ‎2．函数y＝sin(2x＋)经伸缩变换后的解析式为________．‎ ‎3．双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标为________．‎ ‎[类题通法]：平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．‎ 考点二：极坐标与直角坐标的互化 ‎[典例]1：在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎[类题通法]：直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质可转化直角坐标系的情境进行．‎ ‎[针对训练]：在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．‎ 考点三：极坐标方程及应用 ‎[典例]2已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ‎(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ＋)＝2.‎ ‎(1)求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得的弦长．‎ 变式：在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcos θ＝3(ρ≥0,0≤θ<)交点的极坐标.‎ ‎[类题通法]：求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ ‎[针对训练]：(2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．‎ 第二节 ‎ 参数方程 必考知识点：‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 易错点：1.不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程 (t为参数)‎ 注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．‎ ‎2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．‎ ‎[练一练]：1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．‎ A.　　　　B．－ C. D．－ ‎2．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．‎ ‎1．化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．‎ ‎2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝； (2)|PM|＝|t0|＝；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ ‎[练一练]：‎ ‎1．已知P1，P2是直线(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是________．‎ ‎2．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝4相交于B，C两点，‎ 则|BC|的值为________．‎ 考点一：参数方程与普通方程的互化 ‎1.曲线(θ为参数)中两焦点间的距离是________．‎ ‎2．(2014·西安质检)若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，则实数m的值是________．‎ ‎3．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线(t为参数，t∈R)与曲线C1：ρ＝4sin θ异于点O的交点为A，与曲线C2：ρ＝2sin θ异于点O的交点为B，则|AB|＝________.‎ ‎[类题通法]:参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．‎ 考点二：参数方程的应用 ‎[典例]1：已知直线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ 变式：在本例(1)条件下，若直线C1：(t为参数)，与直线C2(s为参数)垂直，求a.‎ ‎[类题通法]：1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎2．对于形如(t为参数)‎ 当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎[针对训练]：(2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P，Q在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α为(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ 考点三：极坐标、参数方程的综合应用 ‎[典例]2：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎[类题通法]：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎[针对训练]：(2013·石家庄质检)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与半圆C的弧的长度均为.‎ ‎(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎(2)求直线AM的参数方程．‎ 选修4-4坐标系与参数方程专题训练 ‎1．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．‎ ‎2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　 　)‎ A. B．2 C. D．2 ‎3．曲线(θ为参数)的对称中心( 　　) ‎ A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上 C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上 ‎4.(Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎5. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．‎ ‎6. (选修44：坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．‎ ‎8. (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　 )‎ A.ρ＝，0≤θ≤ B.ρ＝，0≤θ≤ C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ ‎9.选修44：坐标系与参数方程 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. ‎ ‎(1)写出C的参数方程； ‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎10.选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎11.选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎12.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．‎ ‎13.(1)在极坐标系Ox中，设集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤，0≤ρ≤cos θ}，求集合A所表示区域的面积；‎ ‎(2)在直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，‎ 曲线C：(θ为参数)，其中a＞0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．‎ ‎14．[2014·重庆卷] 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．‎ 第一节 坐标系参考答案 ‎1. 2.x2＋y2－2x－y＝0 练习1：解析：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，‎ OB＝2＝，化简得ρ＝－2cos θ. ‎ ‎2. ‎ 考点一：‎ ‎1.y′＝3sin 2x′ 2.y′＝sin(x′＋)‎ ‎3.－＝1为曲线C′的方程，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．‎ 考点二：‎ 例:1.(1)曲线C1的方程 (x－2)2＋y2＝.‎ (2) ‎ |QC1|min＝，所以|PQ|min＝. 练习：相交 例2：[解]　(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 即x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ.‎ ‎(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2. ‎ 变式：由曲线C，C1极坐标方程联立∴cos2θ＝，cos θ＝±，又ρ≥0，‎ θ∈[0，)．∴cos θ＝，θ＝，ρ＝2，故交点极坐标为.‎ 训练： ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x轴的直线方程为x＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.‎ ‎ 第二节 参数方程与极坐标参考答案 练习1.D 2.线段 练习1：由t的几何意义可知，线段P1P2的中点对应的参数为，P对应的参数为t＝0，∴线段P1P2的中点到点P的距离为. 2. ‎ 考点一：1.2 2.0或10 3. ‎ 例1：(1) (1,0)，. ‎ ‎(2)依题意，C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，则A点的坐标为(sin2α，－sin αcos α)， 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为(α为参数)，‎ ‎∴点P轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.故点P的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．‎ 变式：由(1)知C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为y＝1－ax，由两线垂直得－a×＝－1，故a＝.‎ 训练：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α), 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0＜α＜2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ 例2：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．‎ 训练：(1)由已知，点M的极角为，且|OM|＝，故点M的极坐标为(，)．‎ ‎(2)由(1)可得点M的直角坐标为(，)，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)‎ ‎ 2014年高考坐标系与参数方程参考答案 ‎1．3　[解析] 将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a转化为直角坐标方程分别为x2＋(y－2)2＝4与y＝a.联立得x2＝－a2＋4a，且00，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．‎ ‎ 3.　[解析] 依题意，ρ＝4 cosθ－＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程为x2＋y2＝4x＋4y，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，即该圆的圆心为C1(2，2)，半径r1＝2 .将(a>0，θ为参数)化成普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，即圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝a.由丙点间两圆外切可得|C1C2|＝3 ＝2 ＋a，所以a＝.‎ ‎4.(θ为参数)　[解析] 由曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可得其普通方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎ 5．2 　[解析] 将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x2＋y2＝4y，则该圆的圆心为(0，2)，而点A的直角坐标为(2 ，2)，由两点间距离公式可得d＝＝2 .‎ ‎6．1　[解析] 将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为y＝x－a，将圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，则圆心为(1，0)，代入直线y＝x－a可得a＝1.‎ ‎7．2 　[解析] 由题意，直线l的极坐标方程为ρsin θcos＋cos θsin ＝，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，则直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.又点A的直角坐标为(－2，0)，所以点A到直线l的距离d＝＝2 .‎