数学（理）卷·2017届福建省漳州市第二片区高三上学期第一次联考（2017

数学（理）卷·2017届福建省漳州市第二片区高三上学期第一次联考（2017

漳州市第二片区教研联盟高三年联考 数学试题（理工类） ‎ ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 命题人：诏安桥东中学 连永寿 审核人：沈小春 2017年1月4日 第Ⅰ卷　选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A＝{ x | ≥1}，集合B＝{ x | log2x＜1}，则 A I B＝ （ ）‎ ‎ A．(－∞，2) B．(0，1) C．(0，2) D．(1，2)‎ ‎2.复数z＝（其中i为虚数单位），在复平面内对应的点在 （ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知sina＝，则cos(p－2a)＝ （ ）‎ ‎ A．－ B．－ C． D． ‎4.已知函数f (x)＝lg ，则f (2017)＋f (－2017)＝ （ ）‎ ‎ A．0 B．2 C．20 D．4034‎ ‎5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C．2 D．6 ‎6.设w＞0，函数y＝sin(wx＋)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则w的最小值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．3‎ ‎7.如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于 （ ）‎ ‎ A．2 B． ‎ ‎ C． D． ‎8.已知a＜0，则“ax0＝b”的充要条件是 （ ）‎ ‎ A．$x∈R，ax2－bx≥ax02－bx0 B．$x∈R，ax2－bx≤ax02－bx0‎ ‎ C．"x∈R，ax2－bx≤ax02－bx0 D．"x∈R，ax2－bx≥ax02－bx0 ‎ ‎9.设F1、F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足 ‎| PF2 |＝| F1F2 |，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎10.已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，过AB分别作直线x＝－1的垂线，垂足分别是M、N．那么以线段MN为直径的圆与直线l的位置关系是 （ ）‎ ‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 ‎11.已知函数f (x)＝x3＋2x－1（x＜0）与g(x)＝x3－log2 (x＋a)＋1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围为 （ ）‎ ‎ A．(－∞，2) B．(0，) C．(，2) D．(2，＋∞) ‎ ‎12.函数f (x)＝(x2－3)ex，当m在R上变化时，设关于x的方程f 2(x)－mf (x)－＝0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为 （ ）‎ ‎ A. 3 B. 1或3 C. 3或5 D. 1或3或5‎ 第Ⅱ卷　非选题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上.‎ ‎13.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝ .‎ ‎14.如果不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)在函数y＝2x＋a的图象上，那么实数a的取值范围是 .‎ ‎15.四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝2，AD＝BC＝4，则它的外接球表面积等于 .‎ ‎16.四边形ABCD中，∠BAC＝90°，BD＋CD＝2，则它的面积最大值等于 .‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝n2－3n.‎ ‎ （I）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（II）设bn＝，数列{bn}的前n项和Tn（n∈N），当Tn＞ 时，求n的最小值.‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)sin C．‎ ‎（I）求角A的大小；‎ ‎（II）若a＝，cos B＝，D为AC的中点，求BD的长．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（I）求证：AD⊥BM；‎ ‎（II）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为．‎ 图2‎ 图1‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F(－1，0)，离心率e＝左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）.‎ ‎（I）求椭圆M的方程；‎ ‎（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求| S1－S2 |的最大值，并求此时l的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数f (x)＝ex－x2－x－1，函数f ¢(x)为f (x)的导函数.‎ ‎（I）求函数f ¢(x)的单调区间和极值；‎ ‎（II）已知函数y＝g (x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于原点对称，证明：当x＞0时，f (x)＞g (x)；‎ ‎（Ⅲ）如果x1≠x2，且f (x1)＋f (x2)＝0，证明：x1＋x2＜0.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为r＝2sinq.‎ ‎（I）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（II）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求| PA |＋| PB |的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f (x)＝| x－ |＋| x＋m |（m＞0）. ‎ ‎（I）证明：f (x)≥4；‎ ‎（II）若f (1)＞5，求m的取值范围.‎ 漳州市第二片区教研联盟高三年联考 数学试题（理工类）参考答案与评分标准 一、选择题（每小题5分）：1～5 DABBC 6～10 DDCCB 11～12 AA 二、填空题（每小题5分）：13. 2 14. [－3，1] 15. 32π 16. 三、解答题：‎ ‎17【解】（I）∵Sn＝n2－3n.‎ ‎∴当n＝1时，S1＝12－3×1＝－2，即 a1＝－2 （1分）‎ ‎ 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－3(n－1)＝n2－5n＋4‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝2n－4 （3分）‎ 显然，n＝1时，2n－4＝－2＝a1也满足上式 （4分）‎ ‎∴数列{an}的通项公式an＝2n－4 （6分）‎ ‎ （II）bn＝＝＝－ （7分）‎ ‎∴Tn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝ （9分）‎ 令＞ 得 n＞2016 （11分）‎ ‎∵n∈N，故n的最小值为2017 （12分）‎ ‎18【解】（I）由asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)sin C，根据正弦定理 得 ‎ a2＝(b－c)b＋(c－b)c，整理得，a2＝b2＋c2－bc （2分）‎ 由余弦定理 得 cosA＝＝ （4分）‎ 又A∈(0，p) ，所以A＝ （5分）‎ ‎（II）由cos B＝，可得sin B＝＝ ‎∴cos C＝－cos(A＋B)＝sin Asin B－cos Acos B＝×－×＝－ （7分）‎ 又a＝，由正弦定理，可得 b＝＝＝2‎ ‎∴CD＝AC＝1 （9分）‎ 在△BCD中，由余弦定理 得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝()2＋12－2××1×(－)＝13 （11分）‎ 所以BD＝. （12分）‎ 图2‎ 图1‎ ‎19（I）【证明】在图1的长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，‎ ‎ ∴AM＝BM＝2，所以AM2＋BM2＝AB2‎ ‎ ∴BM⊥AM. （2分）‎ ‎ 在图2中，‎ ‎ ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM ‎ ‎ ∴BM⊥平面ADM （4分）‎ ‎ ∵AD⊂平面ADM ‎ ‎ ∴AD⊥BM （5分）‎ ‎（II）【解】取AM中点O，AB中点F，建立空间直角坐标系O－xyz，如图 ‎ 则A(1，0，0)，B(－1，2，0)，D(0，0，1)，M(－1，0，0)‎ ‎ ＝(1， 0，1)，＝(－1，2，－1)，设＝l （7分）‎ ‎ 则平面AMD的一个法向量＝(0，1，0) （8分）‎ ‎＝＋l＝(1－l，2l，1－l)，＝(－2，0，0)，‎ 设平面AME的一个法向量为＝(x，y，z)‎ 则即 （9分）‎ ‎ 取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝ 所以＝(0，1，)，‎ ‎ ∵二面角E-AM-D的余弦值为 （10分）‎ ‎ ∴| cosá，ñ |＝＝ 即＝ ‎ 解得l＝， （11分）‎ 综上，当E为BD的中点时，二面角E-AM-D的余弦值为． （12分）‎ ‎20【解】（I）设椭圆M的半焦距为c，即c＝1， （1分）‎ 又离心率e＝，即＝ ‎∴a＝2，b2＝a2－c2＝3 （3分）‎ ‎∴椭圆M的方程为 ＋＝1 （4分）‎ ‎（II）设直线l的方程为x＝my－1，C(x1，y2)，D(x2，y2)，联立方程组 ，消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9＝0 （6分）‎ ‎∴y1＋y2＝， y1y2＝－＜0 （7分）‎ S1＝S△ABC＝| AB |·| y1 |，S2＝S△ABD＝| AB |·| y2 |，且y1，y2异号 ‎∴| S1－S2 |＝| AB |·| y1＋y2 |＝×4×| y1＋y2|＝＝ （9分）‎ ‎∵3| m |＋≥2＝4，‎ 当且仅当3| m |＝，即m＝±时，等号成立 ‎∴| S1－S2 |的最大值为＝ （11分）‎ 此时l的方程为x±2y＋＝0 （12分）‎ ‎21【解】（I）f ¢(x)＝ex－x－1， f ¢¢(x)＝ex－1 （2分）‎ ‎ 当x＜0时，f ¢¢(x)＜0，当x＞0时，f ¢¢(x)＞0‎ ‎ ∴f ¢(x)在(－∞，0)上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增.‎ ‎ 当x＝0时，f ¢(0)＝0为f ¢(x)极小值，无极大值. （4分）‎ ‎（II）由题意g (x)＝－f (－x)＝－e－x＋x2－x＋1， （5分）‎ ‎ 令F (x)＝f (x)－g (x)＝f (x)＋f (－x)＝ex＋e－x－x2－2（x≥0），‎ ‎ F ¢(x)＝ex－e－x－2x，F ¢¢(x)＝ex＋e－x－2≥0 （6分）‎ 因此，F ¢(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而有F ¢(x)≥F ¢(0)＝0；‎ 因此，F (x)在[0，＋∞)上单调递增， （7分）‎ 当x＞0时，有F (x)＞F (0)＝0，即f (x)＞g (x). （8分）‎ ‎（III）由（I）知，f ¢(x)≥0，即f (x)在R上单调递增，且f (0)＝0. （9分）‎ ‎ 因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，‎ 要证x1＋x2＜0，即证x1＜－x2.‎ 因为f (x)单调递增，f (x1)＋f (x2)＝0‎ 故只需证－f (x2)＝f (x1)＜f (－x2)，即f (x2)＋f (－x2)＞0 （10分）‎ 因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1＋x2＜0成立. （12分）‎ ‎22【解】（I）由圆的极坐标方程r＝2sinq可得，r2＝2rsinq ‎∴x2＋y2＝2y ‎∴圆C的直角坐标方程为，x2＋y2－2y＝0 （5分）‎ ‎（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程 则t1，t2是下面方程的根 ‎(3＋t)2＋(＋t)2－2(＋t)＝0‎ 整理得，t2＋3t＋4＝0‎ 所以，t1＋t2＝－3，t1t2＝4（t1，t2同号）‎ ‎∵直线l过P(3，)‎ ‎∴根据t的几何意义可知| PA |＝| t1 |，| PB |＝| t2 |‎ ‎∴| PA |＋| PB |＝| t1 |＋| t2 |＝| t1＋t2 |＝3 （10分）‎ ‎23（I）【证明】f (x)＝| x－ |＋| x＋m |≥| (x－)－(x＋m) |＝| ＋m |‎ 因为m＞0，所以f (x)＝| ＋m |＝＋m≥2＝4‎ 当且仅当m＝2时，等号成立. （5分）‎ ‎（II）【解】由m＞0及f (1)＞5得，| 1－ |＋1＋m＞5 （）‎ ‎①当0＜m≤4时，不等式（）可化为＋m＞5，即m2－5m＋4＞0‎ 解得，m＞4，或m＜1‎ 所以，0＜m＜1‎ ‎②当m＞4时，不等式（）可化为2－＋m＞5，即m2－3m－4＞0‎ 解得，m＞4，或m＜－1‎ 所以，m＞4‎ 综上，m的取值范围是(0，1) U (4，＋∞) （10分）‎