数学(理)卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班第三次质检(2017

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数学(理)卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班第三次质检(2017

衡阳八中2017届高三年级第三次质检试卷 理科数学(试题卷)‎ 注意事项:‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷,分两卷。其中共23题,满分150分,考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题(每题5分,共60分)‎ 本卷共12题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合M={x|log3x≤1},N={x|x2+x﹣2≤0},则M∩N等于(  )‎ A.{x|﹣2≤x≤1} B.{x|1≤x≤3} C.{x|0<x≤1} D.{x|0<x≤3}‎ ‎2.已知复数的实部为﹣1,则复数z﹣b在复平面上对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知等比数列{an}的前n项和Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(  )‎ A.4n﹣1 B.4n﹣1 C.2n﹣1 D.2n﹣1‎ ‎4.已知a=log23+log2,b=,c=log32则a,b,c的大小关系是( )‎ A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c D.a>b>c ‎5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数y=f(x)的图象(  )‎ A.关于点(,0)对称 B.关于直线x=对称 C.关于点(,0)对称 D.关于直线x=对称 ‎6.已知函数 ‎,若函数g(x)=f(x)﹣m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.某几何体是组合体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知数列{an}满足an+an﹣1=(﹣1)n,Sn是其前n项和,若 S2017=﹣1007﹣b,且a1b>0,则+的最小值为(  )‎ A.3﹣2 B.3 C.2 D.3+2‎ ‎9.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近于圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的(四舍五入精确到小数点后两位)的值为(  )(参考数据:sin15°=0.2588,sin75°=0.1305)‎ ‎[来源]‎ A.3.10 B.3.11 C.3.12 D.3.13‎ ‎10.已知函数fM(x)的定义域为实数集R,满足(M是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集A,B,且A∩B=∅,则的值域为(  )‎ A. B.{1} C. D.‎ ‎11.设分别是双曲线的左、右焦点,是的右支上的点,射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为( )‎ A. B. 3 C. D.‎ ‎12.设函数是的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数 都有对称中心,其中满足.已知函数,则( )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(共90分)‎ 二.填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.(x﹣)4(x﹣2)的展开式中,x2的系数为   .‎ ‎14.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,是边长为2的正三角形,为球的直径,且,则此三棱锥的体积为________.‎ ‎15.已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为   .‎ ‎16.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0),F1(﹣c,0)是左焦点,圆x2+y2=c2与双曲线左支的一个交点是P,若直线PF1与双曲线右支有交点,则双曲线的离心率的取值范围是   .‎ 三.解答题(共8题,共70分)‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 已知数列{an}、{bn}满足:a1=,an+bn=1,bn+1=.‎ ‎(Ⅰ)求b1,b2,b3,b4;‎ ‎(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式4aSn<bn恒成立时,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE.‎ ‎(I)求证:平面EAC⊥平面PBC;‎ ‎(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元. 在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(I)求X的分布列;‎ ‎(II)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;‎ ‎(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 如图,已知椭圆的离心率为,其左、右顶点分别为A1(﹣2,0),A2(2,0).过点D(1,0)的直线l与该椭圆相交于M、N两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2,试问:是否存在实数λ,使得k2=λk1?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,令,求在的最大值和最小值;‎ ‎(3)当时,函数图像上的点都在不等式组所表示的区域内,求实数a的取值范围.‎ 选做题:考生从22、23题中任选一题作答,共10分。‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点P,Q分别是线C1,C2的动点,求|PQ|的最小值.‎ ‎23.已知函数f(x)=|x|, g(x)=﹣|x﹣a|+m. ‎ ‎(1)解关于x的不等式g[f(x)]+2﹣m>0; ‎ ‎(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ 衡阳八中2017届高三年级第三次质检参考答案理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B D B D C B D B B A D ‎13.16‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.(,+∞)‎ ‎17.‎ ‎(Ⅰ),‎ ‎∵[lg(Sn﹣m)+lg(Sn+2﹣m)]=2lg(Sn+1﹣m),‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴数列{cn}是以﹣4为首项,﹣1为公差的等差数列.‎ ‎∴cn=﹣4+(n﹣1)•(﹣1)=﹣n﹣3.‎ ‎(Ⅲ)由于,‎ 所以,‎ 从而..…‎ ‎∴‎ ‎∴…‎ 由条件知(a﹣1)n2+(3a﹣6)n﹣8<0恒成立即可满足条件,‎ 设f(n)=(a﹣1)n2+(3a﹣6)n﹣8,‎ 当a=1时,f(n)=﹣3n﹣8<0恒成立 当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立,‎ 当a<1时,对称轴,‎ f(n)在(1,+∞)为单调递减函数.‎ f(1)=(a﹣1)n2+(3a﹣6)n﹣8=(a﹣1)+(3a﹣6)﹣8=4a﹣15<0,‎ ‎∴,‎ ‎∴a<1时4aSn<bn恒成立 综上知:a≤1时,4aSn<bn恒成立 ‎18.‎ ‎(I)证明:∵PC⊥底面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴PC⊥AC.‎ ‎∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,∴AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴AC⊥BC,又BC∩PC=C,‎ ‎∴AC⊥平面PBC,又AC⊂平面EAC,‎ ‎∴平面EAC⊥平面PBC.‎ ‎(II)解:取AB的中点F,两角CF,则CF⊥AB,以点C为原点,建立空间直角坐标系,‎ 可得:C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0),‎ 设P(0,0,a)(a>0),则E,‎ ‎=(1, 1,0),=(0,0,a),=,‎ 取=(1,﹣ 1,0),则=0,‎ ‎∴为平面PAC的法向量.‎ 设=(x,y,z)为平面EAC的法向量,则,即,‎ 取=(a,﹣a,﹣4),‎ ‎∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为,‎ ‎∴===,解得a=4,‎ ‎∴=(4,﹣4,﹣4),=(1,1,﹣4).‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=||===,‎ ‎∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.‎ ‎19.‎ ‎(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04;‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;‎ P(X=22)=0.2×0.2=0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.‎ ‎(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).‎ 当n=19时,‎ EY=19×200×0.68+(19×200+500) ×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3×500) ×0.04=4040.‎ 当n=20时,‎ EY=20×200×0.88+(20×200+500) ×0.08+(20×200+2×500) ×0.04=4080.‎ 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.‎ ‎20.‎ ‎(Ⅰ)依题意可知a=2.‎ ‎∵,∴c=,得.‎ ‎∴椭圆C的方程为:;‎ ‎(Ⅱ)设直线A1M的方程为y=k1(x+2),直线NA2的方程为y=k2(x﹣2).‎ 联立方程组,得.‎ 解得点M的坐标为(,),‎ 同理,可解得点N的坐标为(,).‎ 由M,D,N三点共线,得=,化简有(4k1k2+1)(k2﹣3k1)=0.‎ ‎∵k1,k2同号,∴4k1k2+1>0,则k2=3k1.‎ 故存在λ=3,使得结论成立.‎ ‎21.‎ ‎(1)递增区间是(0,2),递减区间是(2),=(3)‎ ‎22.‎ ‎(1)曲线C1的参数方程为为参数),‎ 可得:,sinα=y,‎ 则,‎ 故得C1直角坐标方程,‎ 曲线C2的极坐标方程为.‎ 则ρsinθ+ρcosθ=4‎ ‎∵ρsinθ=y,ρcosθ=x,‎ ‎∴x+y=4.‎ 故得C2的直角坐标方程为:x+y﹣4=0.‎ ‎(2)设.‎ 即|PQ|的最小值为.‎ ‎23.‎ ‎(1)由g[f(x)]+2﹣m>0得||x|﹣a|<2, ‎ ‎∴﹣2<|x|﹣a<2,∴a﹣2<|x|<a+2 ‎ 故:当a≥2时,不等式的解集为{x|﹣a﹣2<x<﹣a+2或a﹣2<x<a+2} ‎ 当﹣2<a<2时,不等式的解集为{x|﹣a﹣2<x<a+2} ‎ 当a≤﹣2时,不等式的解集为空集. ‎ ‎(2)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方 ‎ ‎∴f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣a|+|x|恒成立 ‎ ‎∵|x﹣a|+|x|≥|(x﹣a)﹣x|=|a|. ‎ ‎∴m的取值范围为(﹣∞,|a|). ‎
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