湖北高考理科数学试卷答案解析

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湖北高考理科数学试卷答案解析

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 学(理工类) 【34】(A,湖北,理 1)在复平面内,复数 ( 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】(A,湖北,理 1)D 解析: ,则 ,其对应点 Z(1,-1)位于第四象限. 【1】(A,湖北,理 2)已知全集为 ,集合 , ,则 A. B. C. D. 考点名称 集合 【1】(A,湖北,理 2)C 解析:∵ , ,∴ . 【2】(A,湖北,理 3 文 3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降落在指定范 围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. ∨ B. ∨ C. ∧ D. ∨ 考点名称 常用逻辑语句 【2】(A,湖北,理 3 文 3)A 解析:因为 p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则 是“没有降落在指定范围”, 是“乙 没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ∨ . 【6】(B,湖北,理 4 文 6)将函数 的图象向左平移 个单位长度后,所得 到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A. B. C. D. 考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】(B,湖北,理 4 文 6)B 解析:因为 可化为 (x∈R),将它向左平移 个单位得 ,其图像关于 y 轴对称. 2i 1 iz = + i i1i)i(1i1 i2 +=−=+=z i1−=z R 1{ ( ) 1}2 xA x= ≤ 2{ 6 8 0}B x x x= − + ≤ A B =R  { 0}x x ≤ { 2 4}x x≤ ≤ { 0 2 4}x x x≤ < >或 { 0 2 4}x x x< ≤ ≥或 4,20862 ><⇔>+− xxxx 012 1 ≥⇔≤     x x A B =R  { 0 2 4}x x x≤ < >或 ( )p¬ ( )q¬ p ( )q¬ ( )p¬ ( )q¬ p q p− q− ( )p¬ ( )q¬ 3cos sin ( )y x x x= + ∈R ( 0)m m > π 12 π 6 π 3 5π 6 3cos sin ( )y x x x= + ∈R )6cos(2 π−= xy π 6 xxy cos26)6(cos2 =    −+= ππ 【17】(B,湖北,文 2 理 5)已知 ,则双曲线 : 与 : 的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】(B,湖北,文 2 理 5)D 解析:对于双曲线 C1,有 , . 对于双曲线 C2,有 , .即这两双曲线的离心率相等. 【7】(B,湖北,理 6 文 7)已知点 、 、 、 ,则向量 在 方向上的投 影为 A. B. C. D. 考点名称 平面向量的概念及其运算 【7】(A,湖北,理 6 文 7)A 解析: =(2,1), =(5,5),则向量 在向量 方向上的射影为 . 【31】(C,湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 A. B. C. D. 考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】(C,湖北,理 7)C 解析:令 =0,解得 t =4 或 t= (不合题意,舍去),即汽车经过 4 秒中后停止,在此期 间汽车继续行驶的距离为 = . 【21】(B,湖北,理 8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积 分别记为 , , , ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A. B. C. D. π0 4 θ< < 1C 2 2 2 2 1cos sin x y θ θ− = 2C 2 2 2 2 2 1sin sin tan y x θ θ θ− = 1sincos 222 =+= θθc θcos 1== a ce θθθθθ 222222 tansecsin)tan1(sin =⋅=+=c θθ θ cos 1 sin tan === a ce ( 1, 1)A − (1, 2)B ( 2, 1)C − − (3, 4)D AB CD 3 2 2 3 15 2 3 2 2 − 3 15 2 − AB CD AB CD 2 23 25 5152 55 )5,5()1,2(cos 22 =×+×= + ⋅=⋅= CD CDABAB θ 25( ) 7 3 1v t t t = − + + 1 25ln5+ 118 25ln 3 + 4 25ln5+ 4 50ln 2+ 25( ) 7 3 1v t t t = − + + 3 8− ∫∫ ++−= 4 0 4 0 d)1 2537(d)( tttttv 4 0 2 )1ln(252 37      ++−= ttt 5ln254 + 1V 2V 3V 4V 1 2 4 3V V V V< < < 1 3 2 4V V V V< < < 2 1 3 4V V V V< < < 2 3 1 4V V V V< < < 考点名称 空间几何体与三视图 【21】(B,湖北,理 8) C 解析:显然 ,所以 B 不正确. 又 , , , ,从而 . 【26】(B,湖北,理 9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过 搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 ,则 的均值 A. B. C. D. 考点名称 统计 【26】(B,湖北,理 9)B 125 个同样大小的小正方体的面数共有 125×6=750,涂了油漆的面数有 25×6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为 ,则它的涂漆面数为 的均值 . 【29】(C,湖北,理 10)已知 为常数,函数 有两个极值点 , ,则 A. , B. , C. , D. , 考点名称 导数及其应用 【29】(C,湖北,理 10)D 解析: ,由 由两个极值点,得 有两个不等的实数解,即 有两个实数解,从而直线 与曲线 有两个交点. 过点(0,-1)作 的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率 ,切线方程为 . 切点在切线上,则 , 又切点在曲线 上,则 ,即切点为(1,0),切线方程为 . 再由直线 32 VV < ππ 3 7)1212(3 22 1 =×++=V ππ 221 2 2 =⋅⋅=V 823 3 ==V 3 28)2424(3 1 22 4 =×++=V 2 1 3 4V V V V< < < X X ( )E X = 126 125 6 5 168 125 7 5 5 1 750 150 = X ( )E X = 5 665 1 =× a ( ) (ln )f x x x ax= − 1x 2 1 2( )x x x< 1( ) 0f x > 2 1( ) 2f x > − 1( ) 0f x < 2 1( ) 2f x < − 1( ) 0f x > 2 1( ) 2f x < − 1( ) 0f x < 2 1( ) 2f x > − axxxf 21ln)(' −+= ( ) (ln )f x x x ax= − 0)(' =xf 12ln −= axx 12 −= axy xy ln= xy ln= 0 1 xk = 11 0 −= xxy 01 0 0 0 =−= x xy xy ln= 10ln 00 =⇒= xx 1−= xy 第 8 题图 第 9 题图 与曲线 有两个交点.,知直线 位于两直线 和 之间,如图所示, 其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得 0<a< . .则这函数的两个极点 满足 ,所以 ,而 ,即 ,所以 . 【26】(A,湖北,理 11)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间, 频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中 的值为_________; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 内的户数为_________. 考点名称 统计 【26】(A,湖北,理 11)(Ⅰ)0.0044 (Ⅱ)70 解析:(Ⅰ) =0.0044; (Ⅱ)用电量落在区间 内的户数为 . 【24】(A,湖北,理 12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程 序,输出的结果 _________. 考点名称 算法初步与框图 【24】(A,湖北,理 12)5 解析:已知初始值 ,∵ ,则执行程序, 得 ;因为 ,则执行程序,得 ; ,则第三次执行程序,得 ;∵ , 则第四次执行程序,得 ;∵ ,执行输出 i, . 【 13 】( C , 湖 北 , 理 13 ) 设 , 且 满 足 : , , 则 _________. 考点名称 【13】(C,湖北,理 13) 解析: 【39】(湖北理 14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10, , 第 个三角形数为 . 记第 个 边形数为 ,以下列出了部分 k 边形数中第 个数的表达式: 12 −= axy xy ln= 12 −= axy 0=y 1−= xy 2 1 21, xx 21 10 xx <<< )()1()( 21 xffxf << )0,2 1()1( −∈−= af )()( 21 xfaxf <−< 2 1)(,0)( 21 −>< xfxf x [100,250) )]0012.00024.020036.00060.0(501[50 1 +×++−=x [100,250) 7010050)0044.00060.00036.0( =××++ i = 1,10 == ia 410 ≠=a 2,5 == ia 45 ≠=a 3,16 == ia 416 ≠=a 4,8 == ia 48 ≠=a 5,4 == ia 4=a 5=i , ,x y z ∈R 2 2 2 1x y z+ + = 2 3 14x y z+ + = x y z+ + = 3 14 7  n 2( 1) 1 1 2 2 2 n n n n + = + n k ( , ) ( 3)N n k k ≥ n 否 1i i= + ?4a = 10, 1a i= = 开始 是 结束 a 是奇数 ? 3 1a a= + 2 aa = 是 否 输出 i 第 11 题图 第 12 题图 三角形数 , 正方形数 , 五边形数 , 六边形数 , ……………………………………… 可以推测 的表达式,由此计算 _________. 考点名称 创新与拓展 【13】(C,湖北,理 13)1000 解析:三角形数 , 正方形数 = , 五边形数 = , 六边形数 = = , ……………………………………… 推测 k 边形 . 所以 . 【37】(B,湖北,理 15)如图,圆 上一点 在直径 上的射影为 ,点 在半径 上的射影为 .若 ,则 的值为_________. 考点名称 选修 4-1:几何证明选讲 【37】(B,湖北,理 15)8 解析:根据题设,易知 , Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD,∴ ,即 CO=3OD=9OE, 在 Rt△ODE 中, , 21 1( ,3) 2 2N n n n= + 2( ,4)N n n= 23 1( ,5) 2 2N n n n= − 2( ,6) 2N n n n= − ( , )N n k (10,24)N = 21 1( ,3) 2 2N n n n= + 2( ,4)N n n= nn )2 1 2 1()2 1 2 1( 2 2 12 −++  个 23 1( ,5) 2 2N n n n= − nn )2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1( 2 2 13 −−+++  个 2( ,6) 2N n n n= − nn )2 1 2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1 2 1( 2 12 2 2 14    − −−−++++ 个个 =),( knN nn kk )2 1...2 1 2 1 2 1 2 1()2 1 2 1...2 1 2 1( 2 1)4( 2 2 1)2(      −−− −−−−−+++++ 个个 nknk )4(2 1)2(2 1 2 −−−= 1000100110010)424(2 110)224(2 1)24,10( 2 =−=×−×−×−×=N O C AB D D OC E 3AB AD= CE EO DOAOOC 3== 1 3=== OD OC DE CD OE OD 222222 89 OEOEOEOEDODE =−=−= OD E BA 第 15 题图 C 在 Rt△CDE 中, ,即 ,∴ . 【36】(A,湖北,理 16) 在直角坐标系 中,椭圆 的参数方程为 ( 为参数, ). 在 极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,直线 与圆 的极坐标方程分别为 (m 为非零常数) 与 . 若直线 经过椭圆 的焦点,且与圆 相切,则椭圆 的离心率为_________. 考点名称 选修 4-4:坐标系与参数方程 【36】(A,湖北,理 16) 椭圆 C 的方程可以化为 ,圆 O 的方程可化为 ,直线 l 的 方 程 可 化 为 , 因 为 直 线 l 经 过 椭 圆 的 焦 点 , 且 与 圆 O 相 切 , 则 , , ,所以椭圆的离心率 . 【 10 】( B , 湖 北 , 理 17 ) 在 △ 中 , 角 , , 对 应 的 边 分 别 是 , , . 已 知 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ 的面积 , ,求 的值. 考点名称 解三角形 【10】(B,湖北,理 17)(Ⅰ)由 ,得 , 即 ,解得 或 (舍去). 因为 ,所以 . (Ⅱ)由 得 . 又 ,知 . 由余弦定理得 故 . 又由正弦定理得 . 【19】(B,湖北,理 18)已知等比数列 满足: , . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求 的最小值;若不存在,说明理由. 考点名称 等比数列 222222 89 DEDEDEDECDCE =−=−= 264OE= 642 2 = EO CE 8= EO CE xOy C cos , sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ 0a b> > xOy l O π 2sin( )4 2 mρ θ + = bρ = l C O C 6 3 12 2 2 2 =+ b y a x 222 byx =+ myx =+ mc = mb 2 2= mmma 2 6 2 2 2 =+= 3 6 2 6 === m m a ce ABC A B C a b c cos2 3cos( ) 1A B C− + = ABC 5 3S = 5b = sin sinB C cos2 3cos( ) 1A B C− + = 22cos 3cos 2 0A A+ − = (2cos 1)(cos 2) 0A A− + = 1cos 2A = cos 2A = − 0 πA< < π 3A = 1 1 3 3sin 5 3,2 2 2 4S bc A bc bc= = ⋅ = = 20bc = 5b = 4c = 2 2 2 2 cos 25 16 20 21,a b c bc A= + − = + − = 21a = 2 2 20 3 5sin sin sin sin sin 21 4 7 b c bcB C A A Aa a a = ⋅ = = × = { }na 2 3| | 10a a− = 1 2 3 125a a a = { }na m 1 2 1 1 1 1 ma a a + + + ≥ m 【19】(B,湖北,理 18)(Ⅰ)设等比数列 的公比为 q,则由已知可得 解得 或 故 ,或 . (Ⅱ)若 ,则 ,故 是首项为 ,公比为 的等比数列, 从而 . 若 ,则 ,故 是首项为 ,公比为 的等比数列, 从而 故 . 综上,对任何正整数 ,总有 . 故不存在正整数 ,使得 成立. 【23】(B,湖北,理 19)如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的 点,直线 平面 , , 分别是 , 的中点. (Ⅰ)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的位置 关系,并加以证明; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 与圆 的另一个交点为 ,且点 Q 满足 . 记直线 与平面 所成的角为 ,异面直线 与 所成的角 为 ,二面角 的大小为 ,求证: . 考点名称 空间向量与立体几何 【23】(B,湖北,理 19)(Ⅰ)直线 ∥平面 ,证明如下: 连接 ,因为 , 分别是 , 的中点,所以 ∥ . 又 平面 ,且 平面 ,所以 ∥平面 . 而 平面 ,且平面 平面 ,所以 ∥ . 因为 平面 , 平面 ,所以直线 ∥平面 . (Ⅱ)(综合法)如图 1,连接 ,由(Ⅰ)可知交线 即为直线 ,且 ∥ . 因为 是 的直径,所以 ,于是 . 已知 平面 ,而 平面 ,所以 . { }na 3 3 1 2 1 1 125, | | 10, a q a q a q  = − = 1 5,3 3, a q  =  = 1 5, 1. a q = −  = − 15 33 n na −= ⋅ 15 ( 1)n na −= − ⋅ − 15 33 n na −= ⋅ 11 3 1( )5 3 n na −= ⋅ 1{ } na 3 5 1 3 1 3 1[1 ( ) ]1 9 1 95 3 [1 ( ) ] 11 10 3 101 3 m m m n na= ⋅ − = = ⋅ − < < − ∑ 1( 5) ( 1)n na −= − ⋅ − 11 1 ( 1)5 n na −= − − 1{ } na 1 5 − 1− 1 1 , 2 1 ( ),1 5 0 2 ( ). m n n m k k a m k k + = + − = − ∈=   = ∈ ∑ N N, 1 1 1 m n na= <∑ m 1 1 1 m n na= <∑ m 1 2 1 1 1 1 ma a a + + + ≥ AB O C O ,A B PC ⊥ ABC E F PA PC BEF ABC l l PAC O D 1 2DQ CP=  PQ ABC θ PQ EF α E l C− − β sin sin sinθ α β= l PAC EF E F PA PC EF AC EF ⊄ ABC AC ⊂ ABC EF ABC EF ⊂ BEF BEF  ABC l= EF l l ⊄ PAC EF ⊂ PAC l PAC BD l BD l AC AB O AC BC⊥ l BC⊥ PC ⊥ ABC l ⊂ ABC PC l⊥ 第 19 题图 第 19 题解答图 1 而 ,所以 平面 . 连接 , ,因为 平面 ,所以 . 故 就是二面角 的平面角,即 . 由 ,作 ∥ ,且 . 连接 , ,因为 是 的中点, ,所以 , 从而四边形 是平行四边形, ∥ . 连接 ,因为 平面 ,所以 是 在平面 内的射影, 故 就是直线 与平面 所成的角,即 . 又 平面 ,有 ,知 为锐角, 故 为异面直线 与 所成的角,即 , 于是在 △ , △ , △ 中,分别可得 , , , 从而 ,即 . (Ⅱ)(向量法)如图 2,由 ,作 ∥ ,且 . 连接 , , , , ,由(Ⅰ)可知交线 即为直线 . 以点 为原点,向量 所在直线分别为 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系,设 ,则有 , . 于是 , , , 所以 ,从而 . 又取平面 的一个法向量为 ,可得 , 设平面 的一个法向量为 , 所以由 可得 取 . 于是 ,从而 . PC BC C= l ⊥ PBC BE BF BF ⊂ PBC l BF⊥ CBF∠ E l C− − CBF β∠ = 1 2DQ CP=  DQ CP 1 2DQ CP= PQ DF F CP 2CP PF= DQ PF= DQPF PQ FD CD PC ⊥ ABC CD FD ABC CDF∠ PQ ABC CDF θ∠ = BD ⊥ PBC BD BF⊥ BDF∠ BDF∠ PQ EF BDF α∠ = Rt DCF Rt FBD Rt BCF sin CF DF θ = sin BF DF α = sin CF BF β = sin sin sinCF BF CF BF DF DF α β θ= ⋅ = = sin sin sinθ α β= 1 2DQ CP=  DQ CP 1 2DQ CP= PQ EF BE BF BD l BD C , ,CA CB CP   , ,x y z , , 2CA a CB b CP c= = = (0, 0, 0), ( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, 2 ), ( , , )C A a B b P c Q a b c 1( , 0, ), (0, 0, )2E a c F c 1( , 0, 0)2FE a= ( , , )QP a b c= − − (0, , )BF b c= − 2 2 2 | |cos | | | | FE QP a FE QP a b c α ⋅= = ⋅ + +     2 2 2 2 2 2 sin 1 cos b c a b c α α += − = + + ABC (0, 0, 1)=m 2 2 2 | |sin | | | | QP c QP a b c θ ⋅= = ⋅ + +   m m BEF ( , , )x y z=n 0, 0, FE BF  ⋅ = ⋅ =   n n 1 0,2 0. ax by cz  = − + = (0, , )c b=n 2 2 | || cos | | | | | b b c β ⋅= =⋅ + m n m n 2 2 2 sin 1 cos c b c β β= − = + 第 19 题解答图 2 故 ,即 . 【40】(B,湖北,理 20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量. 记 一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 . (Ⅰ)求 的值; (参考数据:若 ~ ,有 , , .) (Ⅱ)某客运公司用 、 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. 、 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元 /辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 型车不多于 型车 7 辆. 若每天要以不 小于 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 型车、 型车各多少辆? 考点名称 随机变量及其分布,简单的线性规划 【40】(B,湖北,理 20)(Ⅰ)由于随机变量 服从正态分布 ,故有 , . 由正态分布的对称性,可得 . (Ⅱ)设 型、 型车辆的数量分别为 辆,则相应的营 运成本为 . 依题意, 还需满足: . 由 ( Ⅰ ) 知 , , 故 等价于 . 于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数 达到最小的 . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 . 由图可知,当直线 经过可行域的点 P 时,直线 在 y 轴上截距 最小,即 z 取得最小值. 故应配备 型车 5 辆、 型车 12 辆. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sinb c c c a b c b c a b c α β θ+= ⋅ = = + + + + + sin sin sinθ α β= X 2(800, 50 )N 0p 0p X 2( , )N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− < ≤ + = A B A B B A 0p A B X 2(800, 50 )N 800µ = 50σ = (700 900) 0.9544P X< ≤ = 0 ( 900) ( 800) (800 900)p P X P X P X= ≤ = ≤ + < ≤ 1 1 (700 900) 0.97722 2 P X= + < ≤ = A B , x y 1600 2400x y+ , x y 021, 7, ( 36 60 )x y y x P X x y p+ ≤ ≤ + ≤ + ≥ 0 ( 900)p P X= ≤ 0( 36 60 )P X x y p≤ + ≥ 36 60 900x y+ ≥ 21, 7, 36 60 900, , 0 , , x y y x x y x y x y + ≤  ≤ + + ≥  ≥ ∈ N, 1600 2400z x y= + ,x y (5,12), (7,14), (15,6)P Q R 1600 2400z x y= + 1600 2400z x y= + 2400 z A B 第 20 题解答图 【16】(C,湖北,理 21)如图,已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长 轴均为 且在 轴上,短轴长分别为 , ,过原点且不与 轴 重合的直线 与 , 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.记 ,△ 和△ 的面积分别为 和 . (Ⅰ)当直线 与 轴重合时,若 ,求 的值; (Ⅱ)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 ? 并说明理由. 考点名称 直线与圆锥曲线 【16】(C,湖北,理 21)依题意可设椭圆 和 的方程分别为 : , : . 其中 , (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 与 轴重合,即直线 的方程为 ,则 , ,所以 . 在 C1 和 C2 的方程中分别令 ,可得 , , , 于是 . 若 ,则 ,化简得 . 由 ,可解得 . 故当直线 与 轴重合时,若 ,则 . 解法 2:如图 1,若直线 与 轴重合,则 , ; , . 所以 . 若 ,则 ,化简得 . 由 ,可解得 . 故当直线 与 轴重合时,若 ,则 . 1C 2C O MN x 2m 2 ( )n m n> x l 1C 2C m n λ = BDM ABN 1S 2S l y 1 2S Sλ= λ λ 1 2S Sλ= 1C 2C 1C 2 2 2 2 1x y a m + = 2C 2 2 2 2 1x y a n + = 0a m n> > > 1.m n λ = > l y l 0x = 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | | | S BD S AB = 0x = Ay m= By n= Dy m= − | || | 1 | | | | 1 B D A B y yBD m n AB y y m n λ λ − + += = =− − − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + l y | | | | | |BD OB OD m n= + = + | | | | | |AB OA OB m n= − = − 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | 1 | | 1 S BD m n S AB m n λ λ + += = =− − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + O x y B A 第 21 题图 C D M N O x y B A 第 21 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 21 题解答图 2 C D M N (Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 . 根据对称性, 不妨设直线 : , 点 , 到直线 的距离分别为 , ,则 因为 , ,所以 . 又 , ,所以 ,即 . 由对称性可知 ,所以 , ,于是 . ① 将 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得 , . 根据对称性可知 , ,于是 . ② 从而由①和②式可得 . ③ 令 ,则由 ,可得 ,于是由③可解得 . 因为 ,所以 . 于是③式关于 有解,当且仅当 , 等价于 . 由 ,可解得 , 即 ,由 ,解得 ,所以 当 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 ; 当 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 . 根据对称性, 不妨设直线 : , 点 , 到直线 的距离分别为 , ,则 因为 , ,所以 . 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = | | | |BD ABλ= | | | |AB CD= | | | | | | ( 1) | |BC BD AB ABλ= − = − | | | | | | ( 1) | |AD BD AB ABλ= + = + | | 1 | | 1 AD BC λ λ += − l 2 2 2A amx a k m = + 2 2 2B anx a k n = + C Bx x= − D Ax x= − 2 2 2 2 2 2 22 1 | | 2| | | | 21 | | A D A BB C k x x xAD m a k n BC x n a k mk x x + − += = = ++ − 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) a k n a k m λ λ λ + +=+ − 1 ( 1)t λ λ λ += − m n> 1t ≠ 2 2 2 2 2 2 ( 1) (1 ) n tk a t λ −= − 0k ≠ 2 0k > k 2 2 2 2 2 ( 1) 0(1 ) n t a t λ − >− 2 2 2 1( 1)( ) 0t t λ− − < 1λ > 1 1tλ < < 1 1 1( 1) λ λ λ λ +< <− 1λ > 1 2λ > + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 又 , ,所以 . 因为 ,所以 . 由点 , 分别在 C1,C2 上,可得 , ,两式相减可得 , 依题意 ,所以 . 所以由上式解得 . 因为 ,所以由 ,可解得 . 从而 ,解得 ,所以 当 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 ; 当 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 【40】(湖北理 22)设 是正整数, 为正有理数. (Ⅰ)求函数 的最小值; (Ⅱ)证明: ; (Ⅲ)设 ,记 为不小于 的最小整数,例如 , , . 令 ,求 的值. (参考数据: , , , ) 考点名称 导数,函数的性质,不等式,创新与拓展,交汇与整合 【40】(湖北理 22)(Ⅰ)因为 ,令 ,解得 . 当 时, ,所以 在 内是减函数; 当 时, ,所以 在 内是增函数. 故函数 在 处取得最小值 . (Ⅱ)由(Ⅰ),当 时,有 ,即 ,且等号当且仅当 时成立, 故当 且 时,有 . ① 在①中,令 (这时 且 ),得 . 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = 2 2 1 | || | | | 1 | | B D A B A BA B k x x x xBD AB x xk x x λ+ − += = =−+ − 1 1 A B x x λ λ += − ( , )A AA x kx ( , )B BB x kx 2 2 2 2 2 1A Ax k x a m + = 2 2 2 2 2 1B Bx k x a n + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0A B A Bx x k x x a m λ− −+ = 0A Bx x> > 2 2 A Bx x> 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B B A m x xk a x xλ −= − 2 0k > 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0( ) A B B A m x x a x xλ − >− 1 A B x x λ< < 11 1 λ λλ +< <− 1 2λ > + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= n r 1( ) (1 ) ( 1) 1 ( 1)rf x x r x x+= + − + − > − 1 1 1 1( 1) ( 1) 1 1 r r r r rn n n nnr r + + + +− − + −< <+ + x∈R x   x 2 2=   π 4=   3 12  − = −   3 3 3 381 82 83 125S = + + + + S   4 380 344.7≈ 4 381 350.5≈ 4 3124 618.3≈ 4 3126 631.7≈ ( ) ( 1)(1 ) ( 1) ( 1)[(1 ) 1]r rf x r x r r x′ = + + − + = + + − ( ) 0f x′ = 0x = 1 0x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,0)− 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0x = (0) 0f = ( 1, )x∈ − +∞ ( ) (0) 0f x f≥ = 1(1 ) 1 ( 1)rx r x++ ≥ + + 0x = 1x > − 0x ≠ 1(1 ) 1 ( 1)rx r x++ > + + 1x n = 1x > − 0x ≠ 11 1(1 ) 1r r n n + ++ > + 上式两边同乘 ,得 ,即 ② 当 时,在①中令 (这时 且 ),类似可得 ③ 且当 时,③也成立. 综合②,③得 ④ (Ⅲ)在④中,令 , 分别取值 81,82,83,…,125,得 , , , ……… . 将以上各式相加,并整理得 . 代入数据计算,可得 , . 由 的定义,得 . 新|课|标|第|一|网 1rn + 1 1( 1) ( 1)r r rn n n r+ ++ > + + 1 1( 1) .1 r r r n nn r + ++ −< + 1n > 1x n = − 1x > − 0x ≠ 1 1( 1) .1 r r r n nn r + +− −> + 1n = 1 1 1 1( 1) ( 1) .1 1 r r r r rn n n nnr r + + + +− − + −< <+ + 1 3r = n 4 4 4 4 33 3 3 33 381 80 81 (82 81 )4 4 − < −( )< 4 4 4 4 33 3 3 33 382 81 82 (83 82 )4 4 − < −( )< 4 4 4 4 33 3 3 33 383 82 83 (84 83 )4 4 − < < −( ) 4 4 4 4 33 3 3 33 3125 124 125 (126 125 )4 4 − < < −( ) 4 4 4 4 3 3 3 33 3125 80 (126 81 )4 4S− < < −( ) 4 4 3 33 125 80 210.24 − ≈( ) 4 4 3 33 126 81 210.94 − ≈( ) S   211S =  
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