数学理卷·2018届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（一诊）（2017

数学理卷·2018届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（一诊）（2017

四川省南充市2018届高三第一次高考适应性考试（一诊）‎ 数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）‎ A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上 ‎2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知向量是互相垂直的单位向量，且，则（ ）‎ A． B．1 C．6 D．‎ ‎4. 已知变量与变量之间具有相关关系，并测得如下一组数据 则变量与之间的线性回归方程可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设，其中都是非零实数，若，那么 （ ）‎ A．1 B．2 C．0 D． ‎ ‎6. 若，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）‎ A． B．4 C. 3 D．‎ ‎8. 若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知抛物线，直线，为抛物线的两条切线，切点分别为，则“点在上”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12. 已知函数（是自然对数的底数）.若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中有理项系数之和为 ．‎ ‎14. 函数的单调递增区间是 ．‎ ‎15．若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是 ．‎ ‎16．定义域为的偶函数满足对，有，且当时， ，若函数在上至多有三个零点，则的取值范围是 ‎ ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和.‎ ‎（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方（如 图）.‎ ‎（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.（以频率分布直方图中的频率作为概率）‎ ‎19. 如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为.‎ ‎（1）若是椭圆上的任意一点，求的取值范围；‎ ‎（2）已知直线与椭圆相交于不同的两点 (均不是长轴的端点），，垂足为且，求证:直线恒过定点.‎ ‎21.已知，函数.‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，已知函数，若对任意，总存在 ，使得成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的倾斜角；‎ ‎（2）设点和交于两点，求.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，证明：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CCDBA 6-10: DABBA 11、12：CC 二、填空题 ‎13. 32 14. 15. 4 16.‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：当时，，‎ 由得，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，于是.‎ ‎（2）解：令，‎ 则，①‎ ‎①得，②‎ ‎①﹣②，得 所以.‎ ‎18.解：（1）由题意，得 解得；‎ 由最高矩形中点横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数为20克；‎ ‎50个样本小球重量的平均值为 ‎ (克）‎ 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24. 6克 ‎ ‎（2）该盒子中小球重量在内的概率为0.2，‎ 的可能取值为0，1，2，3.‎ 由题意知，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 所以.‎ ‎（或者）‎ ‎19.（1）证明：取中点,连结.‎ 由题意可得,‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面,‎ 同理可证平面.‎ 因为,‎ 所以平面平面,‎ 又平面,‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：取的中点,连接.‎ 由题意可得两两垂直,以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. ‎ 令，则.‎ 所以.‎ 设平面的法向量 则 令，则 因为是平面的一个法向量 所以 所以锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）设，又 ‎ 所以，‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以，即，且，所以，‎ 函数在单调递增，‎ 当时，取最小值为0；‎ 当时，取最大值为12.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎（2）由题意：‎ 联立得，‎ 由得 ‎①‎ 设，则.‎ ‎，‎ 所以 即 ‎，‎ 所以或均适合①.‎ 当时，直线过点，舍去，‎ 当时，直线过定点.‎ ‎21.解：（1）因为，‎ 要使在为减函数，则需在上恒成立. ‎ 即在上恒成立，‎ 因为在为增函数，所以在的最小值为，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以.‎ ‎，‎ 当时，，在上为递增，‎ 当时，，在上为递减，‎ 所以的最大值为，‎ 所以的值域为.‎ 若对任意，总存在.使得成立，则，‎ 函数在的值域是在的值域的子集.‎ 对于函数，‎ ‎①当时，的最大值为，所以在上的值域为，‎ 由得；‎ ‎②当时，的最大值为，所以在上的值域为，‎ 由得或 (舍）.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）由消去参数，得 即的普通方程为 由，得①‎ 将代入①得 所以直线的斜率角为.‎ ‎（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)‎ 即(为参数)，‎ 代入并化简得 设两点对应的参数分别为.‎ 则，所以 所以.‎ ‎23. （1）解：①当时，原不等式化为解得；‎ ‎②当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；‎ ‎③当时，原不等式化为解.‎ 综上，或 ‎ ‎（2）证明，因为.‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，即证，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以成立.‎ 所以原不等式成立.‎