中考数学压轴题全解全析大全+中考模拟预测等精品资料大全集

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中考数学压轴题全解 全析大全+中考模拟预测等精品资料大全集 考数学压轴题全解全析 1.(深圳) 如图 7，在平面直角坐标系中，抛物线 21 64y x  与直线 1 2y x 相交于 A B， 两点． （1）求线段 AB 的长． （2）若一个扇形的周长等于（1）中线段 AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积 是多少？ （3）如图 8，线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 C D， 两点，垂足为点 M ，分别求出 OM OC OD， ， 的长，并验证等式 2 2 2 1 1 1 OC OD OM   是否成立． （4）如图 9，在 Rt ABC△ 中， 90ACB  ∠ ，CD AB ，垂足为 D ，设 BC a ， AC b ， AB c ． CD b ，试说明： 2 2 2 1 1 1 a b h   ． 解（1） ∴A（-4，-2），B（6，3） 分别过 A、B 两点作 xAE  轴， yBF  轴，垂足分别为 E、F ∴AB=OA+OB 2222 3624  55 （2）设扇形的半径为 x ，则弧长为 )255( x ，扇形的面积为 y 则 )255(2 1 xxy  xx 52 52  16 125)4 55( 2  x ∵ 01 a ∴当 4 55x 时，函数有最大值 16 125最大y （3）过点 A 作 AE⊥ x 轴，垂足为点 E ∵CD 垂直平分 AB，点 M 为垂足 ∴ 2 5522 55 2 1  OAABOM ∵ COMEOAOMCAEO  , ∴△AEO∽△CMO ∴ CO AO OM OE  ∴ CO 52 2 5 4  ∴ 4 5 4 1522 5 CO 同理可得 2 5OD ∴ 5 4 25 20)5 2()5 4(11 22 22  ODOC ∴ 5 41 2  OM ∴ 图 7 图 8 图 9 222 111 OMODOC  （4）等式 222 111 hba  成立．理由如下： ∵ ABCDACB  ,90 ∴ 222 2 1 2 1 baABhABab  ∴ hcab  ∴ 2222 hcba  ∴ 22222 )( hbaba  ∴ 222 222 222 22 )( hba hba hba ba  ∴ 22 22 2 1 ba ba h  ∴ 222 111 bah  ∴ 222 111 hba  2. （梅州 11 分）如图 12，直角梯形 ABCD 中， 90 6 4 3AB CD A AB AD DC    ∥ ， °， ， ， ， 动点 P 从点 A 出发，沿 A D C B   方向移动，动点 Q 从点 A 出发，在 AB 边上移动．设点 P 移 动的路程为 x ，点 Q 移动的路程为 y ，线段 PQ 平分梯形 ABCD 的周长． （1）求 y 与 x 的函数关系式，并求出 x y， 的取值范围； （2）当 PQ AC∥ 时，求 x y， 的值； （3）当 P 不在 BC 边上时，线段 PQ 能否平分梯形 ABCD 的 面积？若能，求出此时 x 的值；若不能，说明理由． 解：（1）过 C 作 CE AB⊥ 于 E ，则 3 4CD AE CE  ， ，可得 5BC  ， 所以梯形 ABCD 的周长为 18．····················································································· 1 分 PQ 平分 ABCD 的周长，所以 9x y  ，····································································2 分 因为 0 6y≤ ≤ ，所以 3 9x≤ ≤ ， 所求关系式为： 9 3 9y x x   ，≤ ≤ ．·················3 分 （2）依题意， P 只能在 BC 边上， 7 9x≤ ≤ ． 12 6PB x BQ y   ， ， 因为 PQ AC∥ ，所以 BPQ BCA△ ∽△ ，所以 BP BQ BC BA  ，得·······································4 分 12 6 5 6 x y  ，即 6 5 42x y  ， 解方程组 9 6 5 42 x y x y      ， 得 87 12 11 11x y ， ．······ 6 分 （3）梯形 ABCD 的面积为 18．························································································ 7 分 当 P 不在 BC 边上，则 3 7x≤ ≤ （ a ）当 3 4x ≤ 时， P 在 AD 边上， 1 2APQS xy△ ． 如果线段 PQ 能平分梯形 ABCD 的面积，则有 1 92 xy  ······················································· 8 分 可得： 9 18. x y xy     ， 解得 3 6 x y    ， ；（ 6 3x y ， 舍去）．····················································· 9 分 图 12 （ b ）当 4 7x≤ ≤ 时，点 P 在 DC 边上，此时 1 4( 4 )2ADPQS x y    ． 如果线段 PQ 能平分梯形 ABCD 的面积，则有 1 4( 4 ) 92 x y    ， 可得 9 2 2 17. x y x y      ， 此方程组无解． 所以当 3x  时，线段 PQ 能平分梯形 ABCD 的面积．11 分 3. （韶关 9 分）如图 6，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线 3 2y x   与 坐标轴交于 D、E。设 M 是 AB 的中点，P 是线段 DE 上的动点. （1）求 M、D 两点的坐标； （2）当 P 在什么位置时，PA=PB？求出此时 P 点的坐标； （3）过 P 作 PH⊥BC，垂足为 H，当以 PM 为直径的⊙F 与 BC 相切于点 N 时，求梯形 PMBH 的面积. 解：（1） 3(4,1), ( ,0)2M D ·······················2 分 （2）∵PA=PB，∴点 P 在线段 AB 的中垂线上， ∴点 P 的纵坐标是 1，又∵点 P 在 3 2y x   上， ∴点 P 的坐标为 1( ,1)2 ···························4 分 （1） 设 P（x,y），连结 PN、MN、NF. ∵点 P 在 3 2y x   上，∴ 3( , )2P x x  依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F 是圆心. ∴N 是线段 HB 的中点，HN=NB= 4 2 x ， 3 12 ( ) , 12 2PH x x BM       ················6 分 ∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，∴∠HPN=∠BNM，又∠PHN=∠B=90° ∴Rt△PNH∽Rt△NMB, ∴ 4 1 2 2, 41 2 x xHN PH xBM BN       ∴ 2 12 14 0x x   ，解得： 36 22( 2x x   舍去）， 6 22x   ······················8 分 1(1 6 22 )(4 6 22)( ) 37 192 222 2 2 4PMBH BM HP BHS          ·········· ·9 分. 4. （广州市 12 分）已知 Rt△ABC 中，AB=BC，在 Rt△ADE 中，AD=DE，连结 EC，取 EC 中 点 M，连结 DM 和 BM， （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图①，求证：BM=DM 且 BM ⊥DM； （2）如图①中的△ADE 绕点 A 逆时针转小于 45°的角，如图②，那么（1）中的结论是 否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。 解：（1）∵△ABC 和△ADE 都是 Rt△，且 AB=BC,AD=DE，∴∠EDC=∠EBC=90°,又 M 是 EC 的 中点，∴ BM= 1 2 EC, DM= 1 2 EC, ∴ BM=DM ; 又 BM=MC , ∴∠MBC=∠MCB ∵ ∠BME 是△BMC 的外角，∴ ∠BME=∠MBC+∠MCB=2∠MCB，同理∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD ∴∠BME+∠DME=2(∠MCB+∠MCD)=2×45°= 90°, 即∠BMD=90° ∴ BM⊥DM. (2)如图，延长 DM 到 N，使 MN=DM,连结 BD、BN、CN， ∵ EM=CM , ∠EMD=∠C MN , DM=NM ∴△EMD≌△CMN ∴∠DEM=∠NCM=∠BCM+∠BCN , CN=DE=AD , 在△AEC 中 ，∵∠DAE+∠DEA=90° ∴ ∠ACE+∠CAD+∠CED=90° ∵∠CAD=45°－∠BAD ∠DEM=∠NCM=∠BCM+∠BCN=∠CED ∴∠ACE+45°－∠BAD+∠BCM+∠BCN=90° 又 ∠ACE+∠BCM=45°，∴ 45°－∠BAD+ 45°+∠BCN=90° ∴∠BAD=∠BCN ， 又 AB=CB ,AD=CN ∴△ABD≌△CBN ∴BD=BN ∠ABD=∠CBN ∴ ∠DBC+∠CBN=∠DBC+∠ABD=90°，又∵ BD=BN，DM=MN ∴ BM=DM 且 BM⊥DM； 5.（广东省 9 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3a，两动点 E、F 分别从顶点 B、C 同时开始以相同速度沿 BC、CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边 EG＝BC，B、E、C、G 在一直线上。 (1)若 BE＝a，求 DH 的长； (2)当 E 点在 BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。 解：（1）连结 FH,则 FH∥BE,且 FH=BE, 在 Rｔ△DFH 中，DF=3 2a a a  ，FH= a ∠DFH=90°，∴DH= 2 2 5DF FH a  (2) 设 BE= x ，△DHE 的面积为 y , 依题意，有： ∴当 3 2x a ，即 1 2BE BC ,亦即 E 是 BC 的中点时， y 取得最小值 ∴△DHE 的面积取得最小值是 227 8 a 6.（茂名 10 分）如图，已知平面直角坐标系 xoy 中，有一矩形纸片 OABC，O 为坐标原点， AB x∥ 轴， B（3， 3 ），现将纸片按如图折叠，AD，DE 为折痕， 30OAD   ．折叠 后，点 O 落在点 1O ，点 C 落在点 1C ，并且 1DO 与 1DC 在同一直线上． （1）求折痕 AD 所在直线的解析式；（3 分） （2）求经过三点 O， 1C ，C 的抛物线的解析式；（3 分） (第 25 题图) CDO A B EO1 C1 x y （3）若⊙ P 的半径为 R ，圆心 P 在（2）的抛物线上运动， ⊙ P 与两坐标轴都相切时，求⊙ P 半径 R 的值．（4 分） 解：（1）由已知得 3, 30OA OAD    ． ∴ 3tan30 3 13OD OA     ，∴    0 3 1 0A D， ， ， ． 设直线 AD 的解析式为 y kx b  ．把 A，D 坐标代入上式得： 3 0 b k b     ，解得： 3 3 k b     折痕 AD 所在的直线的解析式是 3 3y x   （2）过 1C 作 1C F OC 于点 F， 由已知得 1 60ADO ADO     ， ∴ 1 60C DC   ． 又 DC＝3－1＝2， ∴ 1 2DC DC  ． ∴在 1Rt C DF△ 中， 1 1 1sin 2 sin60 3C F DC C DF      ． 1 1 12DF DC  ，∴  1 2, 3C ，而已知  3,0C ． 法一：设经过三点 O，C1，C 的抛物线的解析式是  3y ax x  点  1 2 3C ， 在抛物线上， ∴  2 2 3 3a   ， ∴ 3 2a   ∴   23 3 3 332 2 2y x x x x      为所求 法二：设经过三点 O，C1，C 的抛物线的解析式是 2 ,( 0)y ax bx c a    ． 把 O，C1，C 的坐标代入上式得: 0 4 2 3 9 3 0 c a b c a b c          ， 解得 3 3 3 2 0 a b c         ， ∴ 23 3 3 2 2y x x   为所求． （3）设圆心  ,P x y ，则当⊙P 与两坐标轴都相切时，有 y x  ． 由 y x ，得 23 3 3 2 2x x x   ，解得 1 0x  （舍去）， 2 2 33 3x   ． 由 y x  ，得 23 3 3 2 2x x x    解得 1 0x  （舍去）， 2 2 33 3x   ． ∴所求⊙P 的半径 2 33 3R   或 2 33 3R   ． 7（佛山 13 分）．在 Rt ABC△ 中， 90 2BAC AB AC   ， ， 点 D 在 BC 所在的直线上运动，作 45ADE   （ A D E， ， 按 逆时针方向）． （1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上运动， DE 交 AC 于 E ． (第 25 题图) CDO A B O1 C1 x y F A B D C E 第 25 题图 1 ①求证： ABD DCE△ ∽△ ； ②当 ADE△ 是等腰三角形时，求 AE 的长． （2）①如图 2，若点 D 在 BC 的延长线上运动， DE 的 反向延长线与 AC 的延长线相交于点 E ，是否存在点 D ， 使 ADE△ 是等腰三角形？若存在，写出所有点 D 的位置；若不存在，请简要说明理由； ②如图 3，若点 D 在 BC 的反向延长线上运动，是否存在点 D ，使 ADE△ 是等腰三角形？ 若存在，写出所有点 D 的位置；若不存在，请简要说明理由． (1) ①证明：在 Rt ABC△ 中，∵ 90 2BAC AB AC   ， ∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135° ∴∠ADB=∠DEC ∴ ABD DCE△ ∽△ ② 当 ADE△ 是等腰三角形时,分以下两种情况讨论 ∵∠AED＞∠C=45°∴∠AED≠∠ADE，∴MAD≠AE ∴ 如果 DE=AE，则∠ADE=∠DAE=45°∴ ∠AED=90°, 此时，E 为 AC 的中点，∴AE= 1 2 AC=1. 如果 AD=DE，由于 ABD DCE△ ∽△ ，∴ △ABD≌△DCE, ∴BD=CE,AB=DC,设 BD=CE= x 在 Rt ABC△ 中，∵ 90 2BAC AB AC   ， ， ∴ BC= 2 2 , DC= 2 2 － x ∴ 2 2 － x =2 ,解得， x = 2 2 －2 ，∴ AE= 4 －2 2 (2)①存在。当 D 在 BC 的延长线上，且 CD=CA 时， ADE△ 是等腰三角形. 证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′, ∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又 CD=CA ，∴ ∠CAD=∠CDA , ∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE′, ∴ ADE△ 是等腰三角形. ②不存在. 因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45°∴∠ADE≠∠E ∴ ADE△ 不可能是等腰三角形。 第二章 方程与不等式 第 1 课时 一次方程（组） 【备考演练】 一、选择题 1．(2017·南充) 如果 a＋3＝0，那么 a 值为( ) A．3 B．－3 C.1 3 D．－1 3 2．(2017·天津) 方程组 y＝2x 3x＋y＝15 的解是( ) C A BD E C DB A E 第 25 题图 2 第 25 题图 3 A. x＝2 y＝3 B. x＝4 y＝3 C. x＝4 y＝8 D. x＝3 y＝6 3．一件服装标价 200 元， 若以 6 折销售， 仍可获利 20%, 则这件服装的进价是( ) A．100 元 B．105 元 C．108 元 D．118 元 4．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人 3 个还欠 3 个，如果每人 2 个又多 2 个， 请问共有多少个小朋友？( ) A．4 个 B．5 个 C．10 个 D．12 个 5．(2017·深圳)．一球鞋厂，现打折促销卖出 330 双球鞋，比上个月多卖 10%，设上个月 卖出 x 双，列出方程( ) A．10%x＝330 B．(1－10%)x＝330 C．(1－10%)2x＝330 D．(1＋10%)x＝330 二、填空题 1．解方程：3(x＋4)＝x 的解为__________. 2．方程组 x＋y＝3 2x－y＝6 的解为__________． 3．某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该空调的进价为 2 000 元，则标价__________元． 4．某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人 数的 2 倍多 1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人，到瑞金的人数 为 y 人，请列出满足题意的方程组是______________________． 三、解答题 1．解方程：3y－1 4 －1＝5y－7 6 . 2．解方程组 2x＋y＝5 x－y＝1 . 3．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都 要决出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．已知九年级一班在 8 场比赛中得到 13 分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？ 4．(2017·安徽)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出 8 元，还盈余 3 元；每人出 7 元，则还差 4 元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题． 5．儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折优惠， 能比标价省 13.2 元．已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标 价各是多少元？ 四、能力提升 1．(2017·舟山) 若二元一次方程组 x＋y＝3 3x－5y＝4 的解为 x＝a y＝b ，则 a－b＝( ) A．1 B．3 C．－1 4 D.7 4 2．荔枝是广东特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元； 后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元．(每次两种荔枝的售价都不变) (1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元； (2)如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设 计一种购买方案，使所需总费用最低． 答案： 一、1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 二、1.x＝－6 2. x＝3 y＝0 3.2 750 4. x＋y＝34 x＝2y＋1 三、1.解：去分母，得 3(3y－1)－12＝2(5y－7) 去括号，得 9y－3－12＝10y－14 移项，得 9y－10y＝3＋12－14 合并同类项，得－y＝1 系数化为 1，得 y＝－1 2．解： 2x＋y＝5 ① x－y＝1 ② ， ①＋②得：3x＝6，解得 x＝2； 将 x＝2 代入②得：2－y＝1，解得：y＝1. ∴原方程组的解为 x＝2 y＝1 . 3．解：设胜了 x 场，那么负了(8－x)场，根据题意得：2x＋(8－x)＝13，解得：x＝5，8 －x＝3. 答：九年级一班胜、负场数分别是 5 和 3. 4．解：设共有 x 人，根据题意，得 8x－3＝7x＋4 解得 x＝7，所以物品价格为 8x－3＝53(元) 答：共有 7 人，所以物品价格为 53 元． 5．解：设一个文具盒标价为 x 元，则一个书包标价为(3x－6)元，依题意，得 (1－80%)(x＋3x－6)＝13.2 解此方程，得 x＝18，3x－6＝48. 答：书包和文具盒的标价分别是 48 元/个，18 元/个． 四、1.D 2．解：(1)设桂味售价为每千克 x 元，糯米糍售价为每千克 y 元， 则： 2x＋3y＝90 x＋2y＝55 解得： x＝15 y＝20 答：桂味售价为每千克 15 元，糯米糍售价为每千克 20 元． (2)设购买桂味 t 千克，总费用为 w 元，则购买糯米糍 12－t 千克， ∴12－t≥2t，∴t≤4 w＝15t＋20(12－t)＝－5t＋240. ∵k＝－5＜0 ∴w 随 t 的增大而减小 ∴当 t＝4 时，wmin＝220. 答：购买桂味 4 千克，糯米糍 8 千克是，总费用最少． 中考数学第 23 题集 1．(2018 广东)如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y=ax2+b（a≠0）与 x 轴 交于 A，B 两点，直线 y=x+m 过顶点 C 和点 B． （1）求 m 的值； （2）求函数 y=ax2+b（a≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由． 2．(2017 广东)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x2+ax+b 交 x 轴于 A（1， 0），B（3，0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴 相交于点 C． （1）求抛物线 y=﹣x2+ax+b 的解析式； （2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求 sin∠OCB 的值． 3．(2016 广东)如图，在直角坐标系中，直线 y=kx+1（k≠0）与双曲线 y= （x ＞0）相交于点 P（1，m ）． （1）求 k 的值； （2）若点 Q 与点 P 关于直线 y=x 成轴对称，则点 Q 的坐标是 Q（ ）； （3）若过 P、Q 二点的抛物线与 y 轴的交点为 N（0， ），求该抛物线的函数解 析式，并求出抛物线的对称轴方程． 4．(2015 广东)如图，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象与直线 y=3x 相交于 点 C，过直线上点 A（1，3）作 AB⊥x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D， 且 AB=3BD． （1）求 k 的值； （2）求点 C 的坐标； （3）在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC+MD 最小，求 点 M 的坐标． 5．(2015 广州)如图 1，关于 x 的二次函数 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），点 C （0，3），点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等？若存在求出点 P， 若不存在请说明理由； （3）如图 2，DE 的左侧抛物线上是否存在点 F，使 2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点 F 的坐标，若不存在请说明理由． 6(2016 深圳)．已知 O 为坐标原点，抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于点 A（x1，0），B（x2，0），与 y 轴交于点 C，且 O，C 两点间的距离为 3，x1•x2 ＜0，|x1|+|x2|=4，点 A，C 在直线 y2=﹣3x+t 上． （1）求点 C 的坐标； （2）当 y1 随着 x 的增大而增大时，求自变量 x 的取值范围； （3）将抛物线 y1 向左平移 n（n＞0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大 的部分为 P，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时， 求 2n2﹣5n 的最小值． 7．(2018 广州)如图，抛物线 y=ax2+2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0） （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1,点 P 是直线 y=x 上的动点,当直线 y=x 平分∠APB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，已知直线 y= x﹣ 分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D， 点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE．问：以 QD 为腰的等腰△QDE 的面积 是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 8．(2017 深圳)已知抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B （1）求 m 的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标； （3）当 ＜m≤8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的△ABP 的面积是否有 最值？若有，求出该最值及相对应的 m 值． 9．(2017 广州)如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（﹣1，0），B（4，0），交 y 轴 于点 C； （1）求抛物线的解析式（用一般式表示）； （2）点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△ABC= S△ABD？若存在请 直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由； （3）将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45°，与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长． 10．(2018 深圳)已知抛物线 y1=﹣x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y1 的对称轴与 y2 交于 点 A（﹣1，5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4． （1）求 y1 的解析式； （2）若 y2 随着 x 的增大而增大，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的解 析式． 11．(2018 广州)已知顶点为 A 抛物线 经过点 ，点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，直线 AB 与 x 轴相交于点 M，y 轴相交于点 E，抛物线与 y 轴相交 于点 F，在直线 AB 上有一点 P，若∠OPM=∠MAF，求△POE 的面积； （3）如图 2，点 Q 是折线 A﹣B﹣C 上一点，过点 Q 作 QN∥y 轴，过点 E 作 EN ∥x 轴，直线 QN 与直线 EN 相 交于点 N，连接 QE，将△QEN 沿 QE 翻折得到△QEN1，若点 N1 落在 x 轴上，请直接写出 Q 点的坐标． 12．已知抛物线 y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）． （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴 交于点 C，A，B，C 三点都在⊙P 上． ①试判断：不论 m 取任何正数，⊙P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定 点的坐标；若不是，说明理由； ②若点 C 关于直线 x=﹣ 的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE，BD，DE，△ BDE 的周长记为 l，⊙P 的半径记为 r，求 的值． 广东中考数学第 23 题集 参考答案与试题解析 一．解答题（共 12 小题） 1．如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y=ax2+b（a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，直线 y=x+m 过顶点 C 和点 B． （1）求 m 的值； （2）求函数 y=ax2+b（a≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由． 【分析】（1）把 C（0，﹣3）代入直线 y=x+m 中解答即可； （2）把 y=0 代入直线解析式得出点 B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系 式即可； （3）分 M 在 BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入 y=x+m， 可得：m=﹣3； （2）将 y=0 代入 y=x﹣3 得：x=3， 所以点 B 的坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入 y=ax2+b 中， 可得： ， 解得： ， 所以二次函数的解析式为：y= x2﹣3； （3）存在，分以下两种情况： ①若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC•tan30°= ， 设 DC 为 y=kx﹣3，代入（ ，0），可得：k= ， 联立两个方程可得： ， 解得： ， 所以 M1（3 ，6）； ②若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E，则∠OEC=45°+15°=60°， ∴OE=OC•tan60°=3 ， 设 EC 为 y=kx﹣3，代入（3 ，0）可得：k= ， 联立两个方程可得： ， 解得： ， 所以 M2（ ，﹣2）， 综上所述 M 的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）． 【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解 析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x2+ax+b 交 x 轴于 A（1，0），B（3， 0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C． （1）求抛物线 y=﹣x2+ax+b 的解析式； （2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求 sin∠OCB 的值． 【分析】（1）将点 A、B 代入抛物线 y=﹣x2+ax+b，解得 a，b 可得解析式； （2）由 C 点横坐标为 0 可得 P 点横坐标，将 P 点横坐标代入（1）中抛物线解析 式，易得 P 点坐标； （3）由 P 点的坐标可得 C 点坐标，由 B、C 的坐标，利用勾股定理可得 BC 长， 利用 sin∠OCB= 可得结果． 【解答】解：（1）将点 A、B 代入抛物线 y=﹣x2+ax+b 可得， ， 解得，a=4，b=﹣3， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3； （2）∵点 C 在 y 轴上， 所以 C 点横坐标 x=0， ∵点 P 是线段 BC 的中点， ∴点 P 横坐标 xP= = ， ∵点 P 在抛物线 y=﹣x2+4x﹣3 上， ∴yP= ﹣3= ， ∴点 P 的坐标为（ ， ）； （3）∵点 P 的坐标为（ ， ），点 P 是线段 BC 的中点， ∴点 C 的纵坐标为 2× ﹣0= ， ∴点 C 的坐标为（0， ）， ∴BC= = ， ∴sin∠OCB= = = ． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中 点求得点 P 的坐标是解答此题的关键． 3．如图，在直角坐标系中，直线 y=kx+1（k≠0）与双曲线 y= （x＞0）相交于 点 P（1，m ）． （1）求 k 的值； （2）若点 Q 与点 P 关于直线 y=x 成轴对称，则点 Q 的坐标是 Q（ 2，1 ）； （3）若过 P、Q 二点的抛物线与 y 轴的交点为 N（0， ），求该抛物线的函数解 析式，并求出抛物线的对称轴方程． 【分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可； （2）连接 PO，QO，PQ，作 PA⊥y 轴于 A，QB⊥x 轴于 B，于是得到 PA=1，OA=2， 根据点 Q 与点 P 关于直线 y=x 成轴对称，得到直线 y=x 垂直平分 PQ，根据线 段垂直平分线的性质得到 OP=OQ，根据全等三角形的性质得到 QB=PA=1， OB=OA=2，于是得到结论； （3）设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c，把 P、Q、N（0， ）代入 y=ax2+bx+c， 解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵直线 y=kx+1 与双曲线 y= （x＞0）交于点 A（1，m）， ∴m=2， 把 A（1，2）代入 y=kx+1 得：k+1=2， 解得：k=1； （2）连接 PO，QO，PQ，作 PA⊥y 轴于 A，QB⊥x 轴于 B，则 PA=1，OA=2， ∵点 Q 与点 P 关于直线 y=x 成轴对称， ∴直线 y=x 垂直平分 PQ， ∴OP=OQ， ∴∠POA=∠QOB， 在△OPA 与△OQB 中， ， ∴△POA≌△QOB， ∴QB=PA=1，OB=OA=2， ∴Q（2，1）； 故答案为：2，1； （3）设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c， ∵过 P、Q 二点的抛物线与 y 轴的交点为 N（0， ）， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的函数解析式为 y=﹣ x2+x+ ， ∴对称轴方程 x=﹣ = ． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性 质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值， 从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 4．如图，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象与直线 y=3x 相交于点 C，过直 线上点 A（1，3）作 AB⊥x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB=3BD． （1）求 k 的值； （2）求点 C 的坐标； （3）在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC+MD 最小，求 点 M 的坐标． 【分析】（1）根据 A 坐标，以及 AB=3BD 求出 D 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值； （2）直线 y=3x 与反比例解析式联立方程组即可求出点 C 坐标； （3）作 C 关于 y 轴的对称点 C′，连接 C′D 交 y 轴于 M，则 d=MC+MD 最小，得 到 C′（﹣ ， ），求得直线 C′D 的解析式为 y=﹣ x+1+ ，直线与 y 轴的 交点即为所求． 【解答】解：（1）∵A（1，3）， ∴AB=3，OB=1， ∵AB=3BD， ∴BD=1， ∴D（1，1） 将 D 坐标代入反比例解析式得：k=1； （2）由（1）知，k=1， ∴反比例函数的解析式为；y= ， 解： ， 解得： 或 ， ∵x＞0， ∴C（ ， ）； （3）如图，作 C 关于 y 轴的对称点 C′，连接 C′D 交 y 轴于 M，则 d=MC+MD 最 小， ∴C′（﹣ ， ）， 设直线 C′D 的解析式为：y=kx+b， ∴ ，∴ ， ∴y=（3﹣2 ）x+2 ﹣2， 当 x=0 时，y=2 ﹣2， ∴M（0，2 ﹣2）． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与 图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟 练掌握待定系数法是解本题的关键． 5．如图 1，关于 x 的二次函数 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），点 C（0，3）， 点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等？若存在求出点 P， 若不存在请说明理由； （3）如图 2，DE 的左侧抛物线上是否存在点 F，使 2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点 F 的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）把 A、C 两点坐标代入可求得 b、c，可求得抛物线解析式； （2）当点 P 在∠DAB 的平分线上时，过 P 作 PM⊥AD，设出 P 点坐标，可表示 出 PM、PE，由角平分线的性质可得到 PM=PE，可求得 P 点坐标；当点 P 在∠ DAB 外角平分线上时，同理可求得 P 点坐标； （3）可先求得△FBC 的面积，过 F 作 FQ⊥x 轴，交 BC 的延长线于 Q，可求得 FQ 的长，可设出 F 点坐标，表示出 B 点坐标，从而可表示出 FQ 的长，可求得 F 点坐标． 【解答】解： （1）∵二次函数 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），点 C（0，3）， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式 y=﹣x2﹣2x+3， （2）存在， 当 P 在∠DAB 的平分线上时，如图 1，作 PM⊥AD， 设 P（﹣1，m），则 PM=PD•sin∠ADE= （4﹣m），PE=m， ∵PM=PE， ∴ （4﹣m）=m，m= ﹣1， ∴P 点坐标为（﹣1， ﹣1）； 当 P 在∠DAB 的外角平分线上时，如图 2，作 PN⊥AD， 设 P（﹣1，n），则 PN=PD•sin∠ADE= （4﹣n），PE=﹣n， ∵PN=PE， ∴ （4﹣n）=﹣n，n=﹣ ﹣1， ∴P 点坐标为（﹣1，﹣ ﹣1）； 综上可知存在满足条件的 P 点，其坐标为（﹣1， ﹣1）或（﹣1，﹣ ﹣1）； （3）∵抛物线的解析式 y=﹣x2﹣2x+3， ∴B（1，0）， ∴S△EBC= EB•OC=3， ∵2S△FBC=3S△EBC， ∴S△FBC= ， 过 F 作 FQ⊥x 轴于点 H，交 BC 的延长线于 Q，过 F 作 FM⊥y 轴于点 M，如图 3， ∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ= HB•HQ﹣ BH•HF﹣ QF•FM= BH（HQ﹣HF）﹣ QF•FM= BH•QF﹣ QF•FM= QF•（BH﹣FM）= FQ•OB= FQ= ， ∴FQ=9， ∵BC 的解析式为 y=﹣3x+3， 设 F（x0，﹣x02﹣2x0+3）， ∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9， 解得：x0= 或 （舍去）， ∴点 F 的坐标是（ ， ）， ∵S△ABC=6＞ ， ∴点 F 不可能在 A 点下方， 综上可知 F 点的坐标为（ ， ）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、 三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在 （2）中注意分点 P 在∠DAB 的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在 （3）中求得 FQ 的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强， 难度适中． 6．已知 O 为坐标原点，抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于点 A（x1，0）， B（x2，0），与 y 轴交于点 C，且 O，C 两点间的距离为 3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4， 点 A，C 在直线 y2=﹣3x+t 上． （1）求点 C 的坐标； （2）当 y1 随着 x 的增大而增大时，求自变量 x 的取值范围； （3）将抛物线 y1 向左平移 n（n＞0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大 的部分为 P，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时， 求 2n2﹣5n 的最小值． 【分析】（1）利用 y 轴上点的坐标性质表示出 C 点坐标，再利用 O，C 两点间的 距离为 3 求出即可； （2）分别利用①若 C（0，3），即 c=3，以及②若 C（0，﹣3），即 c=﹣3，得出 A，B 点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案； （3）利用①若 c=3，则 y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出 y1 向左平 移 n 个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与 P 有公共点时得出 n 的取值范围，②若 c=﹣3，则 y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， y2=﹣3x﹣3，y1 向左平移 n 个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而 求出平移后的直线与 P 有公共点时得出 n 的取值范围，进而利用配方法求出 函数最值． 【解答】解：（1）令 x=0，则 y=c， 故 C（0，c）， ∵OC 的距离为 3， ∴|c|=3，即 c=±3， ∴C（0，3）或（0，﹣3）； （2）∵x1x2＜0， ∴x1，x2 异号， ①若 C（0，3），即 c=3， 把 C（0，3）代入 y2=﹣3x+t，则 0+t=3，即 t=3， ∴y2=﹣3x+3， 把 A（x1，0）代入 y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0， 即 x1=1， ∴A（1，0）， ∵x1，x2 异号，x1=1＞0，∴x2＜0， ∵|x1|+|x2|=4， ∴1﹣x2=4， 解得：x2=﹣3，则 B（﹣3，0）， 代入 y1=ax2+bx+3 得， ， 解得： ， ∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， 则当 x≤﹣1 时，y 随 x 增大而增大． ②若 C（0，﹣3），即 c=﹣3， 把 C（0，﹣3）代入 y2=﹣3x+t，则 0+t=﹣3，即 t=﹣3， ∴y2=﹣3x﹣3， 把 A（x1，0），代入 y2=﹣3x﹣3， 则﹣3x1﹣3=0， 即 x1=﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵x1，x2 异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0 ∵|x1|+|x2|=4， ∴1+x2=4， 解得：x2=3，则 B（3，0）， 代入 y1=ax2+bx﹣3 得， ， 解得： ， ∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， 则当 x≥1 时，y 随 x 增大而增大， 综上所述，若 c=3，当 y 随 x 增大而增大时，x≤﹣1； 若 c=﹣3，当 y 随 x 增大而增大时，x≥1； （3）①若 c=3，则 y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3， y1 向左平移 n 个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4， 则当 x≤﹣1﹣n 时，y 随 x 增大而增大， y2 向下平移 n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n， 要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x=﹣1﹣n，y3≥y4， 即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n， 解得：n≤﹣1， ∵n＞0，∴n≤﹣1 不符合条件，应舍去； ②若 c=﹣3，则 y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3， y1 向左平移 n 个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4， 则当 x≥1﹣n 时，y 随 x 增大而增大， y2 向下平移 n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n， 要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x=1﹣n，y3≤y4， 即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n， 解得：n≥1， 综上所述：n≥1， 2n2﹣5n=2（n﹣ ）2﹣ ， ∴当 n= 时，2n2﹣5n 的最小值为：﹣ ． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性 等知识，利用分类讨论得出 n 的取值范围是解题关键． 7．如图，抛物线 y=ax2+2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0） （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分∠APB 时，求点 P 的坐 标； （3）如图 2，已知直线 y= x﹣ 分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D， 点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE．问：以 QD 为腰的等腰△QDE 的面积 是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把 B 点坐标代入抛物线解析式可求得 a 的值，可求得抛物线解析式， 再令 y=0，可解得相应方程的根，可求得 A 点坐标； （2）当点 P 在 x 轴上方时，连接 AP 交 y 轴于点 B′，可证△OBP≌△OB′P，可求 得 B′坐标，利用待定系数法可求得直线 AP 的解析式，联立直线 y=x，可求得 P 点坐标；当点 P 在 x 轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO 在∠ APO 的内部，可知此时没有满足条件的点 P； （3）过 Q 作 QH⊥DE 于点 H，由直线 CF 的解析式可求得点 C、F 的坐标，结合 条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和 DH的长，分 DQ=DE和DQ=QE 两种情况，分别用 DQ 的长表示出△QDE 的面积，再设出点 Q 的坐标，利用 二次函数的性质可求得△QDE 的面积的最大值． 【解答】解： （1）把 B（1，0）代入 y=ax2+2x﹣3， 可得 a+2﹣3=0，解得 a=1， ∴抛物线解析式为 y=x2+2x﹣3， 令 y=0，可得 x2+2x﹣3=0，解得 x=1 或 x=﹣3， ∴A 点坐标为（﹣3，0）； （2）若 y=x 平分∠APB，则∠APO=∠BPO， 如图 1，若 P 点在 x 轴上方，PA 与 y 轴交于点 B′， 由于点 P 在直线 y=x 上，可知∠POB=∠POB′=45°， 在△BPO 和△B′PO 中 ， ∴△BPO≌△B′PO（ASA）， ∴BO=B′O=1， 设直线 AP 解析式为 y=kx+b，把 A、B′两点坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 AP 解析式为 y= x+1， 联立 ，解得 ， ∴P 点坐标为（ ， ）； 若 P 点在 x 轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP， ∴∠BPO=∠B′PO， 又∠B′PO 在∠APO 的内部， ∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的 P 点， 综上可知 P 点坐标为（ ， ）； （3）如图 2，作 QH⊥CF，交 CF 于点 H， ∵CF 为 y= x﹣ ， ∴可求得 C（ ，0），F（0，﹣ ）， ∴tan∠OFC= = ， ∵DQ∥y 轴， ∴∠QDH=∠MFD=∠OFC， ∴tan∠HDQ= ， 不妨设 DQ=t，DH= t，HQ= t， ∵△QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形， ∴若 DQ=DE，则 S△DEQ= DE•HQ= × t×t= t2， 若 DQ=QE，则 S△DEQ= DE•HQ= ×2DH•HQ= × t× t= t2， ∵ t2＜ t2， ∴当 DQ=QE 时△DEQ 的面积比 DQ=DE 时大． 设 Q 点坐标为（x，x2+2x﹣3），则 D（x， x﹣ ）， ∵Q 点在直线 CF 的下方， ∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ， 当 x=﹣ 时，tmax=3， ∴（S△DEQ）max= t2= ， 即以 QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为 ． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分 线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、 二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线 AP 的解析式是解题的 关键，在（3）中利用 DQ 表示出△QDE 的面积是解题的关键．本题考查知识 点较多，综合性较强，计算量大，难度较大． 8．已知抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B （1）求 m 的取值范围； （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标； （3）当 ＜m≤8 时，由（2）求出的点 P 和点 A，B 构成的△ABP 的面积是否有 最值？若有，求出该最值及相对应的 m 值． 【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0， 得出 1﹣4m≠0，解不等式即可； （2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要 x2﹣2x﹣3=0，那么 y 的值便与 m 无关， 解得 x=3 或 x=﹣1（舍去，此时 y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）； （3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=| ﹣4|，由已知条件得出 ≤ ＜4，得出 0＜ | ﹣4|≤ ，因此|AB|最大时，| |= ，解方程得出 m=8，或 m= （舍 去），即可得出结果． 【解答】（1）解：当 m=0 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当 m≠0 时， ∵抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、B， ∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0， ∴1﹣4m≠0， ∴m≠ ， ∴m 的取值范围为 m≠0 且 m≠ ； （2）证明：∵抛物线 y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m， ∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1， 抛物线过定点说明在这一点 y 与 m 无关， 显然当 x2﹣2x﹣3=0 时，y 与 m 无关， 解得：x=3 或 x=﹣1， 当 x=3 时，y=4，定点坐标为（3，4）； 当 x=﹣1 时，y=0，定点坐标为（﹣1，0）， ∵P 不在坐标轴上， ∴P（3，4）； （ 3 ） 解 ： |AB|=|xA ﹣ xB|= = = = =| |=| ﹣4|， ∵ ＜m≤8， ∴ ≤ ＜4， ∴﹣ ≤ ﹣4＜0， ∴0＜| ﹣4|≤ ， ∴|AB|最大时，| |= ， 解得：m=8，或 m= （舍去）， ∴当 m=8 时，|AB|有最大值 ， 此时△ABP 的面积最大，没有最小值， 则面积最大为： |AB|yP= × ×4= ． 【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根 的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点 P 的坐标是 解决问题的关键． 9．如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（﹣1，0），B（4，0），交 y 轴于点 C； （1）求抛物线的解析式（用一般式表示）； （2）点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△ABC= S△ABD？若存在请 直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由； （3）将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45°，与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长． 【分析】（1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由条件可求得点 D 到 x 轴的距离，即可求得 D 点的纵坐标，代入抛物线解 析式可求得 D 点坐标； （3）由条件可证得 BC⊥AC，设直线 AC 和 BE 交于点 F，过 F 作 FM⊥x 轴于点 M， 则可得 BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得 F 点的坐标，利用待定系数法 可求得直线 BE 解析式，联立直线 BE 和抛物线解析式可求得 E 点坐标，则可 求得 BE 的长． 【解答】解： （1）∵抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（﹣1，0），B（4，0）， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+2； （2）由题意可知 C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB=5，OC=2， ∴S△ABC= AB•OC= ×5×2=5， ∵S△ABC= S△ABD， ∴S△ABD= ×5= ， 设 D（x，y）， ∴ AB•|y|= ×5|y|= ，解得|y|=3， 当 y=3 时，由﹣ x2+ x+2=3，解得 x=1 或 x=2，此时 D 点坐标为（1，3）或（2， 3）； 当 y=﹣3 时，由﹣ x2+ x+2=﹣3，解得 x=﹣2（舍去）或 x=5，此时 D 点坐标为 （5，﹣3）； 综上可知存在满足条件的点 D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5， ∴AC= = ，BC= =2 ， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 为直角三角形，即 BC⊥AC， 如图，设直线 AC 与直线 BE 交于点 F，过 F 作 FM⊥x 轴于点 M， 由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴CF=BC=2 ， ∴ = ，即 = ，解得 OM=2， = ，即 = ，解得 FM=6， ∴F（2，6），且 B（4，0）， 设直线 BE 解析式为 y=kx+m，则可得 ，解得 ， ∴直线 BE 解析式为 y=﹣3x+12， 联立直线 BE 和抛物线解析式可得 ，解得 或 ， ∴E（5，﹣3）， ∴BE= = ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理 及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性 质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在 （2）中求得 D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线 BE 的解 析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问， 有一定的难度． 10．已知抛物线 y1=﹣x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y1 的对称轴与 y2 交于点 A（﹣1， 5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4． （1）求 y1 的解析式； （2）若 y2 随着 x 的增大而增大，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的解 析式． 【分析】（1）根据题意求得顶点 B 的坐标，然后根据顶点公式即可求得 m、n， 从而求得 y1 的解析式； （2）分两种情况讨论：当 y1 的解析式为 y1=﹣x2﹣2x 时，抛物线与 x 轴的交点（0， 0）或（﹣2，0），y2 经过（﹣2，0）和 A，符合题意； 当 y1=﹣x2﹣2x+8 时，解﹣x2﹣2x+8=0 求得抛物线与 x 轴的交点坐标，然后根据 A 的坐标和 y2 随着 x 的增大而增大，求得 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（﹣4， 0），然后根据待定系数法求得即可． 【解答】解：（1）∵抛物线 y1=﹣x2+mx+n，直线 y2=kx+b，y1 的对称轴与 y2 交于 点 A（﹣1，5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4． ∴B（﹣1，1）或（﹣1，9）， ∴﹣ =﹣1， =1 或 9， 解得 m=﹣2，n=0 或 8， ∴y1 的解析式为 y1=﹣x2﹣2x 或 y1=﹣x2﹣2x+8； （2）①当 y1 的解析式为 y1=﹣x2﹣2x 时，抛物线与 x 轴交点是（0.0）和（﹣2.0）， ∵y1 的对称轴与 y2 交于点 A（﹣1，5）， ∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（﹣2，0）， 把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得 ， 解得 ， ∴y2=5x+10． ②当 y1=﹣x2﹣2x+8 时，解﹣x2﹣2x+8=0 得 x=﹣4 或 2， ∵y2 随着 x 的增大而增大，且过点 A（﹣1，5）， ∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（﹣4，0）， 把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得 ， 解得 ； ∴y2= x+ ． 【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数 和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键． 11．已知顶点为 A 抛物线 经过点 ，点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，直线 AB 与 x 轴相交于点 M，y 轴相交于点 E，抛物线与 y 轴相交 于点 F，在直线 AB 上有一点 P，若∠OPM=∠MAF，求△POE 的面积； （3）如图 2，点 Q 是折线 A﹣B﹣C 上一点，过点 Q 作 QN∥y 轴，过点 E 作 EN ∥x 轴，直线 QN 与直线 EN 相交于点 N，连接 QE，将△QEN 沿 QE 翻折得到 △QEN1，若点 N1 落在 x 轴上，请直接写出 Q 点的坐标． 【分析】（1）将点 B 坐标代入解析式求得 a 的值即可得； （2）由∠OPM=∠MAF 知 OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE 得 ，即 OP= FA，设点 P（t，﹣2t﹣1），列出关于 t 的方程解之可得； （3）分点 Q 在 AB 上运动、点 Q 在 BC 上运动且 Q 在 y 轴左侧、点 Q 在 BC 上运 动且点 Q 在 y 轴右侧这三种情况分类讨论即可得． 【解答】解：（1）把点 代入 ， 解得：a=1， ∴抛物线的解析式为： ； （2）由 知 A（ ，﹣2）， 设直线 AB 解析式为：y=kx+b，代入点 A，B 的坐标， 得： ， 解得： ， ∴直线 AB 的解析式为：y=﹣2x﹣1， 易求 E（0，﹣1）， ， ， 若∠OPM=∠MAF， ∴OP∥AF， ∴△OPE∽△FAE， ∴ ， ∴ ， 设点 P（t，﹣2t﹣1），则： 解得 ， ， 由对称性知；当 时，也满足∠OPM=∠MAF， ∴ ， 都满足条件， ∵△POE 的面积= •OE•|t|， ∴△POE 的面积为 或 ． （3）若点 Q 在 AB 上运动，如图 1， 设 Q（a，﹣2a﹣1），则 NE=﹣a、QN=﹣2a， 由翻折知 QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a， 由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE， ∴ = = ，即 = = =2， ∴QR=2、ES= ， 由 NE+ES=NS=QR 可得﹣a+ =2， 解得：a=﹣ ， ∴Q（﹣ ， ）； 若点 Q 在 BC 上运动，且 Q 在 y 轴左侧，如图 2， 设 NE=a，则 N′E=a， 易知 RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3， ∴QR= 、SE= ﹣a， 在 Rt△SEN′中，（ ﹣a）2+12=a2， 解得：a= ， ∴Q（﹣ ，2）； 若点 Q 在 BC 上运动，且点 Q 在 y 轴右侧，如图 3， 设 NE=a，则 N′E=a， 易知 RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3， ∴QR= 、SE= ﹣a， 在 Rt△SEN′中，（ ﹣a）2+12=a2， 解得：a= ， ∴Q（ ，2）． 综上，点 Q 的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，2）或（ ，2）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函 数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点． 12．已知抛物线 y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）． （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴 交于点 C，A，B，C 三点都在⊙P 上． ①试判断：不论 m 取任何正数，⊙P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定 点的坐标；若不是，说明理由； ②若点 C 关于直线 x=﹣ 的对称点为点 E，点 D（0，1），连接 BE，BD，DE，△ BDE 的周长记为 l，⊙P 的半径记为 r，求 的值． 【分析】（1）令 y=0，再求出判别式，判断即可得出结论； （2）先求出 OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2）， ①判断出∠OCB=∠OAF，求出 tan∠OCB= ，即可求出 OF=1，即可得出结论； ②先设出 BD=n，再判断出∠DCE=90°，得出 DE 是⊙P 的直径，进而求出 BE=2n， DE= n，即可得出结论． 【解答】解：（1）令 y=0， ∴x2+mx﹣2m﹣4=0， ∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16， ∵m＞0， ∴△＞0， ∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2） 令 y=0， ∴x2+mx﹣2m﹣4=0， ∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0， ∴x=2 或 x=﹣（m+2）， ∴A（2，0），B（﹣（m+2），0）， ∴OA=2，OB=m+2， 令 x=0， ∴y=﹣2（m+2）， ∴C（0，﹣2（m+2））， ∴OC=2（m+2）， ①通过定点（0，1）理由：如图， ∵点 A，B，C 在⊙P 上， ∴∠OCB=∠OAF， 在 Rt△BOC 中，tan∠OCB= = = ， 在 Rt△AOF 中，tan∠OAF= = = ， ∴OF=1， ∴点 F 的坐标为（0，1）； ②如图 1，由①知，点 F（0，1）， ∵D（0，1）， ∴点 D 在⊙P 上， ∵点 E 是点 C 关于抛物线的对称轴的对称点， ∴∠DCE=90°， ∴DE 是⊙P 的直径， ∴∠DBE=90°， ∵∠BED=∠OCB， ∴tan∠BED= ， 设 BD=n， 在 Rt△BDE 中，tan∠BED= = = ， ∴BE=2n， 根据勾股定理得，DE= = n， ∴l=BD+BE+DE=（3+ ）n，r= DE= n， ∴ = = ． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周 角定理，锐角三角函数，勾股定理，对称性，求出点 A，B，C 的坐标是解本 题的关键 中考数学试卷及解析 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出地四个选 项中，只有一个是正确地，请把答题卡上对应题目所选地选项涂黑． 1．（3 分）四个实数 0、 、﹣3.14、2 中，最小地数是（ ） A．0 B． C．﹣3.14 D．2 2．（3 分）据有关部门统计，2018 年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游 客约 14420000 人次，将数 14420000 用科学记数法表示为（ ）b5E2RGbCAP A．1.442×107 B．0.1442×107 C．1.442×108 D．0.1442×108 3．（3 分）如图，由 5 个相同正方体组合而成地几何体，它地主视图是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）数据 1、5、7、4、8 地中位数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（3 分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形地是（ ） A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形 6．（3 分）不等式 3x﹣1≥x+3 地解集是（ ） A．x≤4 B．x≥4C．x≤2D．x≥2 7．（3 分）在△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 地中点，则△ADE 与△ABC 地 面积之比为（ ） A． B． C． D． 8．（3 分）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B 地大小是（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．（3 分）关于 x 地一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等地实数根，则实数 m 地取值范围是（ ） A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥ 10．（3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上地一动点，它从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，设△PAD 地面积为 y，P 点地运动时间为 x，则 y 关于 x 地 函数图象大致为（ ）p1EanqFDPw A． B． C． D． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（3 分）同圆中，已知弧 AB 所对地圆心角是 100°，则弧 AB 所对地圆周角是． 12．（3 分）分解因式：x2﹣2x+1=． 13．（3 分）一个正数地平方根分别是 x+1 和 x﹣5，则 x=． 14．（3 分）已知 +|b﹣1|=0，则 a+1=． 15．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径地半圆 O 与 BC 相 切于点 E，连接 BD，则阴影部分地面积为．（结果保留π）DXDiTa9E3d 16．（3 分）如图，已知等边△OA1B1，顶点 A1 在双曲线 y= （x＞0）上，点 B1 地坐标为（2，0）．过 B1 作 B1A2∥OA1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2∥A1B1 交 x 轴于点 B2，得到第二个等边△B1A2B2；过 B2 作 B2A3∥B1A2 交双曲线于点 A3，过 A3 作 A3B3∥A2B2 交 x 轴于点 B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点 B6 地坐标为．RTCrpUDGiT 三、解答题（一） 17．（6 分）计算：|﹣2|﹣20180+（ ）﹣1 18．（6 分）先化简，再求值： • ，其中 a= ． 19．（6 分）如图，BD 是菱形 ABCD 地对角线，∠CBD=75°， （1）请用尺规作图法，作 AB 地垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不要求 写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF，求∠DBF 地度数． 20．（7 分）某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片地单价比 B 型芯片地 单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片地条数与用 4200 元购买 B 型 芯片地条数相等．5PCzVD7HxA （1）求该公司购买地 A、B 型芯片地单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了 200 条，且购买地总费用为 6280 元，求购买了多少条 A 型芯片？ 21．（7 分）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员 工一周地工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图 1 和图 2 所示地不完 整统计图．jLBHrnAILg （1）被调查员工人数为人： （2）把条形统计图补充完整； （3）若该企业有员工 10000 人，请估计该企业某周地工作量完成情况为“剩少量” 地员工有多少人？ 22．（7 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠， 使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE．xHAQX74J0X （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF 是等腰三角形． 23．（9 分）如图，已知顶点为 C（0，﹣3）地抛物线 y=ax2+b（a≠0）与 x 轴交 于 A，B 两点，直线 y=x+m 过顶点 C 和点 B．LDAYtRyKfE （1）求 m 地值； （2）求函数 y=ax2+b（a≠0）地解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点 M 地坐标；若 不存在，请说明理由． 24．（9 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径地⊙O 经过点 C， 连接 AC，OD 交于点 E．Zzz6ZB2Ltk （1）证明：OD∥BC； （2）若 tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于⊙O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 地长． 25．（9 分）已知 Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边 OB=4，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如题图 1，连接 BC．dvzfvkwMI1 （1）填空：∠OBC=°； （2）如图 1，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 地长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿 O→C→B 路 径匀速运动，N 沿 O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 地运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 地运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒， △OMN 地面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？rqyn14ZNXI 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出地四个选 项中，只有一个是正确地，请把答题卡上对应题目所选地选项涂黑．EmxvxOtOco 1．（3 分）四个实数 0、 、﹣3.14、2 中，最小地数是（ ） A．0 B． C．﹣3.14 D．2 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实 数绝对值大地反而小，据此判断即可．SixE2yXPq5 【解答】解：根据实数比较大小地方法，可得 ﹣3.14＜0＜ ＜2， 所以最小地数是﹣3.14． 故选：C． 【点评】此题主要考查了实数大小比较地方法，要熟练掌握，解答此题地关键是 要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大地反而小．6ewMyirQFL 2．（3 分）据有关部门统计，2018 年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游 客约 14420000 人次，将数 14420000 用科学记数法表示为（ ）kavU42VRUs A．1.442×107 B．0.1442×107 C．1.442×108 D．0.1442×108 【分析】根据科学记数法地表示方法可以将题目中地数据用科学记数法表示，本 题得以解决． 【解答】解：14420000=1.442×107， 故选：A． 【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大地数，解答本题地关键是明确科学记数 法地表示方法． 3．（3 分）如图，由 5 个相同正方体组合而成地几何体，它地主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到地图形解答即可． 【解答】解：根据主视图地定义可知，此几何体地主视图是 B 中地图形， 故选：B． 【点评】本题考查地是简单几何体地三视图地作图，主视图、左视图、俯视图是 分别从物体正面、侧面和上面看所得到地图形．y6v3ALoS89 4．（3 分）数据 1、5、7、4、8 地中位数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据中位数地定义判断即可； 【解答】解：将数据重新排列为 1、4、5、7、8， 则这组数据地中位数为 5 故选：B． 【点评】本题考查了确定一组数据地中位数地能力．中位数是将一组数据从小到 大（或从大到小）重新排列后，最中间地那个数（最中间两个数地平均数），叫 做这组数据地中位数．M2ub6vSTnP 5．（3 分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形地是（ ） A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形地概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形地概念：轴对称图形地关键是寻 找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合．0YujCfmUCw 6．（3 分）不等式 3x﹣1≥x+3 地解集是（ ） A．x≤4 B．x≥4C．x≤2D．x≥2 【分析】根据解不等式地步骤：①移项；②合并同类项；③化系数为 1 即可得． 【解答】解：移项，得：3x﹣x≥3+1， 合并同类项，得：2x≥4， 系数化为 1，得：x≥2， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题地关键是掌握解一元一次不等式 地步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为 1．eUts8ZQVRd 7．（3 分）在△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 地中点，则△ADE 与△ABC 地 面积之比为（ ） A． B． C． D． 【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 地中点，可得出 DE 为△ABC 地中位线，进 而可得出 DE∥BC 及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形地性质即可求出△ADE 与 △ABC 地面积之比．sQsAEJkW5T 【解答】解：∵点 D、E 分别为边 AB、AC 地中点， ∴DE 为△ABC 地中位线， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ =（ ）2= ． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形地判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角 形地中位线定理找出 DE∥BC 是解题地关键．GMsIasNXkA 8．（3 分）如图，AB∥CD，则∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B 地大小是（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】依据三角形内角和定理，可得∠D=40°，再根据平行线地性质，即可得 到∠B=∠D=40°． 【解答】解：∵∠DEC=100°，∠C=40°， ∴∠D=40°， 又∵AB∥CD， ∴∠B=∠D=40°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线性质地应用，运用两直线平行，内错角相等是解题地 关键． 9．（3 分）关于 x 地一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等地实数根，则实数 m 地取值范围是（ ） A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥ 【分析】根据一元二次方程地根地判别式，建立关于 m 地不等式，求出 m 地取 值范围即可． 【解答】解：∵关于 x 地一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等地实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m＜ ． 故选：A． 【点评】此题考查了根地判别式，一元二次方程根地情况与判别式△地关系：（1） △＞0 ⇔ 方程有两个不相等地实数根；（2）△=0 ⇔ 方程有两个相等地实数根；（3） △＜0 ⇔ 方程没有实数根．TIrRGchYzg 10．（3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上地一动点，它从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，设△PAD 地面积为 y，P 点地运动时间为 x，则 y 关于 x 地 函数图象大致为（ ）7EqZcWLZNX A． B． C ． D． 【分析】设菱形地高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利用三角形地面积公式列式求出相应地函数关系式，然后选择答案 即可．lzq7IGf02E 【解答】解：分三种情况： ①当 P 在 AB 边上时，如图 1， 设菱形地高为 h， y= AP•h， ∵AP 随 x 地增大而增大，h 不变， ∴y 随 x 地增大而增大， 故选项 C 不正确； ②当 P 在边 BC 上时，如图 2， y= AD•h， AD 和 h 都不变， ∴在这个过程中，y 不变， 故选项 A 不正确； ③当 P 在边 CD 上时，如图 3， y= PD•h， ∵PD 随 x 地增大而减小，h 不变， ∴y 随 x 地增大而减小， ∵P 点从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D， ∴P 在三条线段上运动地时间相同， 故选项 D 不正确； 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题地函数图象，菱形地性质，根据点 P 地位置地不同， 分三段求出△PAD 地面积地表达式是解题地关键．zvpgeqJ1hk 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（3 分）同圆中，已知弧 AB 所对地圆心角是 100°，则弧 AB 所对地圆周角是 50° ． 【分析】直接利用圆周角定理求解． 【解答】解：弧 AB 所对地圆心角是 100°，则弧 AB 所对地圆周角为 50°． 故答案为 50°． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角相 等，都等于这条弧所对地圆心角地一半．NrpoJac3v1 12．（3 分）分解因式：x2﹣2x+1= （x﹣1）2． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2． 【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公 式是解题地关键． 13．（3 分）一个正数地平方根分别是 x+1 和 x﹣5，则 x= 2 ． 【分析】根据正数地两个平方根互为相反数列出关于 x 地方程，解之可得． 【解答】解：根据题意知 x+1+x﹣5=0， 解得：x=2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查地是平方根地定义和性质，熟练掌握平方根地定义和性质 是解题地关键． 14．（3 分）已知 +|b﹣1|=0，则 a+1= 2 ． 【分析】直接利用非负数地性质结合绝对值地性质得出 a，b 地值进而得出答案． 【解答】解：∵ +|b﹣1|=0， ∴b﹣1=0，a﹣b=0， 解得：b=1，a=1， 故 a+1=2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了非负数地性质以及绝对值地性质，正确得出 a，b 地值 是解题关键． 15．（3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径地半圆 O 与 BC 相 切于点 E，连接 BD，则阴影部分地面积为 π ．（结果保留π）1nowfTG4KI 【分析】连接 OE，如图，利用切线地性质得 OD=2，OE⊥BC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD 计算由弧 DE、线段 EC、 CD 所围成地面积，然后利用三角形地面积减去刚才计算地面积即可得到阴影部 分地面积．fjnFLDa5Zo 【解答】解：连接 OE，如图， ∵以 AD 为直径地半圆 O 与 BC 相切于点 E， ∴OD=2，OE⊥BC， 易得四边形 OECD 为正方形， ∴由弧 DE、线段 EC、CD 所围成地面积=S 正方形 OECD﹣S 扇形 EOD=22﹣ =4﹣π， ∴阴影部分地面积= ×2×4﹣（4﹣π）=π． 故答案为π． 【点评】本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．若出现圆地 切线，必连过切点地半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形地性质和 扇形地面积公式．tfnNhnE6e5 16．（3 分）如图，已知等边△OA1B1，顶点 A1 在双曲线 y= （x＞0）上，点 B1 地坐标为（2，0）．过 B1 作 B1A2∥OA1 交双曲线于点 A2，过 A2 作 A2B2∥A1B1 交 x 轴于点 B2，得到第二个等边△B1A2B2；过 B2 作 B2A3∥B1A2 交双曲线于点 A3，过 A3 作 A3B3∥A2B2 交 x 轴于点 B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点 B6 地坐标为 （2 ，0） ．HbmVN777sL 【分析】根据等边三角形地性质以及反比例函数图象上点地坐标特征分别求出 B2、B3、B4 地坐标，得出规律，进而求出点 B6 地坐标．V7l4jRB8Hs 【解答】解：如图，作 A2C⊥x 轴于点 C，设 B1C=a，则 A2C= a， OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a， a）． ∵点 A2 在双曲线 y= （x＞0）上， ∴（2+a）• a= ， 解得 a= ﹣1，或 a=﹣ ﹣1（舍去）， ∴OB2=OB1+2B1C=2+2 ﹣2=2 ， ∴点 B2 地坐标为（2 ，0）； 作 A3D⊥x 轴于点 D，设 B2D=b，则 A3D= b， OD=OB2+B2D=2 +b，A2（2 +b， b）． ∵点 A3 在双曲线 y= （x＞0）上， ∴（2 +b）• b= ， 解得 b=﹣ + ，或 b=﹣ ﹣ （舍去）， ∴OB3=OB2+2B2D=2 ﹣2 +2 =2 ， ∴点 B3 地坐标为（2 ，0）； 同理可得点 B4 地坐标为（2 ，0）即（4，0）； …， ∴点 Bn 地坐标为（2 ，0）， ∴点 B6 地坐标为（2 ，0）． 故答案为（2 ，0）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点地坐标特征，等边三角形地性质，正确 求出 B2、B3、B4 地坐标进而得出点 Bn 地规律是解题地关键．83lcPA59W9 三、解答题（一） 17．（6 分）计算：|﹣2|﹣20180+（ ）﹣1 【分析】直接利用负指数幂地性质以及零指数幂地性质、绝对值地性质进而化简 得出答案． 【解答】解：原式=2﹣1+2 =3． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（6 分）先化简，再求值： • ，其中 a= ． 【分析】原式先因式分解，再约分即可化简，继而将 a 地值代入计算． 【解答】解：原式= • =2a， 当 a= 时， 原式=2× = ． 【点评】本题主要考查分式地化简求值，解题地关键是熟练掌握分式混合运算顺 序和运算法则． 19．（6 分）如图，BD 是菱形 ABCD 地对角线，∠CBD=75°， （1）请用尺规作图法，作 AB 地垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不要求 写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF，求∠DBF 地度数． 【分析】（1）分别以 A、B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，过两弧地交点作直 线即可； （2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF 计算即可； 【解答】解：（1）如图所示，直线 EF 即为所求； （2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=30°， ∵EF 垂直平分线线段 AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=30°， ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段地垂直平分线地性质，菱形地性质等知 识，解题地关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．mZkklkzaaP 20．（7 分）某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片地单价比 B 型芯片地 单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片地条数与用 4200 元购买 B 型 芯片地条数相等．AVktR43bpw （1）求该公司购买地 A、B 型芯片地单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了 200 条，且购买地总费用为 6280 元，求购买了多少条 A 型芯片？ 【分析】（1）设 B 型芯片地单价为 x 元/条，则 A 型芯片地单价为（x﹣9）元/条， 根据数量=总价÷单价结合用 3120 元购买 A 型芯片地条数与用 4200 元购买 B 型 芯片地条数相等，即可得出关于 x 地分式方程，解之经检验后即可得出结论； ORjBnOwcEd （2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200﹣a）条 B 型芯片，根据总价=单价×数 量，即可得出关于 a 地一元一次方程，解之即可得出结论．2MiJTy0dTT 【解答】解：（1）设 B 型芯片地单价为 x 元/条，则 A 型芯片地单价为（x﹣9） 元/条， 根据题意得： = ， 解得：x=35， 经检验，x=35 是原方程地解， ∴x﹣9=26． 答：A 型芯片地单价为 26 元/条，B 型芯片地单价为 35 元/条． （2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200﹣a）条 B 型芯片， 根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280， 解得：a=80． 答：购买了 80 条 A 型芯片． 【点评】本题考查了分式方程地应用以及一元一次方程地应用，解题地关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一 次方程．gIiSpiue7A 21．（7 分）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员 工一周地工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图 1 和图 2 所示地不完 整统计图．uEh0U1Yfmh （1）被调查员工人数为 800 人： （2）把条形统计图补充完整； （3）若该企业有员工 10000 人，请估计该企业某周地工作量完成情况为“剩少量” 地员工有多少人？ 【分析】（1）由“不剩”地人数及其所占百分比可得答案； （2）用总人数减去其它类型人数求得“剩少量”地人数，据此补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中“剩少量”人数所占百分比可得． 【解答】解：（1）被调查员工人数为 400÷50%=800 人， 故答案为：800； （2）“剩少量”地人数为 800﹣（400+80+20）=300 人， 补全条形图如下： （3）估计该企业某周地工作量完成情况为“剩少量”地员工有 10000× =3500 人． 【点评】本题考查地是条形统计图和扇形统计图地综合运用，读懂统计图，从不 同地统计图中得到必要地信息是解决问题地关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目地数据；扇形统计图直接反映部分占总体地百分比大小．也考查了用样本 估计总体．IAg9qLsgBX 22．（7 分）如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠， 使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE．WwghWvVhPE （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF 是等腰三角形． 【分析】（1）根据矩形地性质可得出 AD=BC、AB=CD，结合折叠地性质可得出 AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE≌△CED（SSS）；asfpsfpi4k （2）根据全等三角形地性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出 EF=DF， 由此即可证出△DEF 是等腰三角形．ooeyYZTjj1 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，AB=CD． 由折叠地性质可得：BC=CE，AB=AE， ∴AD=CE，AE=CD． 在△ADE 和△CED 中， ， ∴△ADE≌△CED（SSS）． （2）由（1）得△ADE≌△CED， ∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF， ∴EF=DF， ∴△DEF 是等腰三角形． 【点评】本题考查了全等三角形地判定与性质、翻折变换以及矩形地性质，解题 地关键是：（1）根据矩形地性质结合折叠地性质找出 AD=CE、AE=CD；（2）利用 全等三角形地性质找出∠DEF=∠EDF．BkeGuInkxI 23．（9 分）如图，已知顶点为 C（0，﹣3）地抛物线 y=ax2+b（a≠0）与 x 轴交 于 A，B 两点，直线 y=x+m 过顶点 C 和点 B．PgdO0sRlMo （1）求 m 地值； （2）求函数 y=ax2+b（a≠0）地解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点 M 地坐标；若 不存在，请说明理由． 【分析】（1）把 C（0，﹣3）代入直线 y=x+m 中解答即可； （2）把 y=0 代入直线解析式得出点 B 地坐标，再利用待定系数法确定函数关系 式即可； （3）分 M 在 BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入 y=x+m， 可得：m=﹣3； （2）将 y=0 代入 y=x﹣3 得：x=3， 所以点 B 地坐标为（3，0）， 将（0，﹣3）、（3，0）代入 y=ax2+b 中， 可得： ， 解得： ， 所以二次函数地解析式为：y= x2﹣3； （3）存在，分以下两种情况： ①若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC•tan30°= ， 设 DC 为 y=kx﹣3，代入（ ，0），可得：k= ， 联立两个方程可得： ， 解得： ， 所以 M1（3 ，6）； ②若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E，则∠OEC=45°﹣15°=30°， ∴OE=OC•tan60°=3 ， 设 EC 为 y=kx﹣3，代入（3 ，0）可得：k= ， 联立两个方程可得： ， 解得： ， 所以 M2（ ，﹣2）， 综上所述 M 地坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）． 【点评】此题主要考查了二次函数地综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解 析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．3cdXwckm15 24．（9 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径地⊙O 经过点 C， 连接 AC，OD 交于点 E．h8c52WOngM （1）证明：OD∥BC； （2）若 tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于⊙O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 地长． 【分析】（1）连接 OC，证△OAD≌△OCD 得∠ADO=∠CDO，由 AD=CD 知 DE⊥ AC，再由 AB 为直径知 BC⊥AC，从而得 OD∥BC；v4bdyGious （2）根据 tan∠ABC=2 可设 BC=a、则 AC=2a、AD=AB= = ，证 OE 为中位线知 OE= a、AE=CE= AC=a，进一步求得 DE= =2a，再△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；J0bm4qMpJ9 （3）先证△AFD∽△BAD 得 DF•BD=AD2①，再证△AED∽△OAD 得 OD•DE=AD2 ②，由①②得 DF•BD=OD•DE，即 = ，结合∠EDF=∠BDO 知△EDF∽△BDO， 据此可得 = ，结合（2）可得相关线段地长，代入计算可得．XVauA9grYP 【解答】解：（1）连接 OC， 在△OAD 和△OCD 中， ∵ ， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO=∠CDO， 又 AD=CD， ∴DE⊥AC， ∵AB 为⊙O 地直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=90°，即 BC⊥AC， ∴OD∥BC； （2）∵tan∠ABC= =2， ∴设 BC=a、则 AC=2a， ∴AD=AB= = ， ∵OE∥BC，且 AO=BO， ∴OE= BC= a，AE=CE= AC=a， 在△AED 中，DE= =2a， 在△AOD 中，AO2+AD2=（ ）2+（ a）2= a2，OD2=（OF+DF）2=（ a+2a） 2= a2，bR9C6TJscw ∴AO2+AD2=OD2， ∴∠OAD=90°， 则 DA 与⊙O 相切； （3）连接 AF， ∵AB 是⊙O 地直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， ∴ = ，即 DF•BD=AD2①， 又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴ = ，即 OD•DE=AD2②， 由①②可得 DF•BD=OD•DE，即 = ， 又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1， ∴AB=AD= 、OD= 、ED=2、BD= 、OB= ， ∴ = ，即 = ， 解得：EF= ． 【点评】本题主要考查圆地综合问题，解题地关键是掌握等腰三角形地性质、全 等三角形地判定与性质、相似三角形地判定与性质及勾股定理逆定理等知识 点．pN9LBDdtrd 25．（9 分）已知 Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边 OB=4，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如题图 1，连接 BC．DJ8T7nHuGT （1）填空：∠OBC= 60 °； （2）如图 1，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 地长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿 O→C→B 路 径匀速运动，N 沿 O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 地运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 地运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒， △OMN 地面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？QF81D7bvUA 【分析】（1）只要证明△OBC 是等边三角形即可； （2）求出△AOC 地面积，利用三角形地面积公式计算即可； （3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当 0＜x≤ 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NE⊥OC 且交 OC 于点 E．②当 ＜x≤4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动．4B7a9QFw9h ③当 4＜x≤4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OG⊥BC 于 G． 【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠OBC=60°． 故答案为 60． （2）如图 1 中， ∵OB=4，∠ABO=30°， ∴OA= OB=2，AB= OA=2 ， ∴S△AOC= •OA•AB= ×2×2 =2 ， ∵△BOC 是等边三角形， ∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°， ∴AC= =2 ， ∴OP= = = ． （3）①当 0＜x≤ 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NE⊥ OC 且交 OC 于点 E． 则 NE=ON•sin60°= x， ∴S△OMN= •OM•NE= ×1.5x× x， ∴y= x2． ∴x= 时，y 有最大值，最大值= ． ②当 ＜x≤4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动． 作 MH⊥OB 于 H．则 BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°= （8﹣1.5x）， ∴y= ×ON×MH=﹣ x2+2 x． 当 x= 时，y 取最大值，y＜ ， ③当 4＜x≤4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OG⊥BC 于 G． MN=12﹣2.5x，OG=AB=2 ， ∴y= •MN•OG=12 ﹣ x， 当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2 ， 综上所述，y 有最大值，最大值为 ． 【点评】本题考查几何变换综合题、30 度地直角三角形地性质、等边三角形地 判定和性质、三角形地面积等知识，解题地关键是学会用分类讨论地思想思考问 题，属于中考压轴题． 题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型 1 探究图形面积数量关系及最值等问题 1．(2016·贵港模拟)如图甲，四边形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，顶 点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A，D，交 y 轴于点 C.已知 A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标； (2)设△AOC 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0＜t≤3)时，△AOC 与△ABC 重叠部分的面积 为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并指出 t 的取值范围； (3)当 0＜t≤3 2 时，求 S 的最大值． 解：(1)设抛物线的解析式为 y＝a(x－3)(x＋1)． ∵将 C(0，3)代入，得－3a＝3，解得 a＝－1. ∴y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴B(1，4)． (2)设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b. ∵将 A(3，0)，B(1，4)代入 y＝kx＋b 得 3k＋b＝0， k＋b＝4， 解得 k＝－2， b＝6， ∴y＝－2x＋6. 过点 C 作射线 CF∥x轴交 AB 于点 F. ∵将 y＝3代入直线 AB 的解析式得： －2x＋6＝3，得 x＝3 2 ，∴F(3 2 ，3)． 图 1 ①当 0＜t≤3 2 时，如图 1 所示． 设△AOC 平移到△PNM 的位置，PM 交 AB 于点 H，MN 交 AC 于点 G.则 ON＝AP＝t，过点 H 作 LK⊥x 轴于点 K，交 CF 于点 L. 由△AHP∽△FHM，得 AP FM ＝HK HL ，即 t 3 2 －t ＝ HK 3－HK .解得 HK＝2t. ∴S＝S△MNP－S△G NA－S△HAP＝1 2 ×3×3－1 2 (3－t)2－1 2 t×2t＝－3 2 t2＋3t. 图 2 ②当3 2 ＜t≤3 时，如图 2 所示： 设△AOC 平移到△PQR 的位置，RQ 交 AB 于点 I，交 AC 于点 V. ∵直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋6， ∴V(t，t＋3)，I(t，－2t＋6)． ∴IV＝－2t＋6－(－t＋3)＝－t＋3，AQ＝3－t. ∴S＝S△IVA＝1 2 AQ·IV＝1 2 (3－t)2＝1 2 t2－3t＋9 2 . 综上所述，S＝ －3 2 t2＋3t（0

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