陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学（文）试题

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学（文）试题

数学试卷（文）‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.设集合，Z为整数集，则中元素的个数是 A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意，，故其中的元素个数为5，选C.‎ 考点：集合中交集的运算.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由或，故x的可取值为−1，2，，‎ 故选：D．‎ ‎3.已知点在幂函数的图象上，则的表达式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数的解析式，代入M点的坐标即可求出幂函数表达式.‎ ‎【详解】设 ，‎ 则 ‎ 则的表达式为 ‎【点睛】本题考查幂函数表达式求解，是基础题，意在考查幂函数基础知识的掌握情况和幂指数的运算能力，解题中需要能熟练应用幂指数运算性质.‎ ‎4.函数的定义域为( )‎ A. (0，＋∞) B. (1，＋∞)‎ C. (0，1) D. (0，1)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数式的真数大于，无理式根号内部的代数式大于或等于，联立不等式组求得的取值范围，用集合或区间表示后得到原函数的定义域 ‎【详解】要使函数有意义，应满足 解得，‎ 故原函数的定义域为 故选 ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，属于基础题．‎ ‎5.若且为第四象限，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系式求出，然后求解即可．‎ ‎【详解】解：，则为第四象限角，，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．‎ ‎6.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数y=Asin（ωx+φ）图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 则平移后图象对应的函数解析式为 ‎ 令，求得，可得平移后函数的图象的对称轴为 ， 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎7.已知数列的前项和，则的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式，由，能够求出数列的通项公式．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 当时，，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，属于中档题．‎ ‎8.已知数列中满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列满足，，可得，利用累加求和、等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】解：数列满足，，可得，‎ 则 ‎．‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9.函数的单调递增区间是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，‎ 令t=，则y=lnt，‎ ‎∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；‎ x∈(4,+∞)时,t=为增函数；‎ y=lnt为增函数，‎ 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，‎ 故选D 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.‎ 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；‎ 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.‎ 简称为“同增异减”.‎ ‎10.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且Øq的一个充分不必要条件是Øp，则 a的取值范围是 A. [1，＋∞) B. (－∞，1]‎ C. [－1，＋∞) D. (－∞，－3]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式得到命题，进而可得，由即可得，最后根据充分条件和必要条件的定义即可得结果.‎ ‎【详解】由，知或，则为，为，‎ 又是的充分不必要条件，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，充分条件和必要条件与集合间关系的等价转化，属于中档题．‎ ‎11.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．‎ 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．‎ ‎12.若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 方程有两个不等的实根和，所以-=a,=a,相减得=0，所以 ‎=1，所以当时取等号，而不等，所以>2.‎ 故选C 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.命题“，”的否定是______．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．‎ ‎【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，‎ 即，；‎ 故答案为，；‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎14.．设，一元二次方程有整数根充要条件是 ‎ ‎【答案】3或4‎ ‎【解析】‎ 直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．‎ ‎，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．‎ ‎15. 观察下列等式 照此规律，第个等式为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即 ‎16.已知函数f（x）=2sinωx+1（ω＞0）在区间[﹣，]上是增函数，则ω的取值范围 ‎________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的单调性可得答案．‎ ‎【详解】函数f（x）=2sinωx+1（ω＞0），‎ f（x）区间[﹣，]上是增函数，‎ 则有，k∈Z，‎ 解得：ω≤1﹣4k且，‎ ‎∵ω＞0，‎ ‎∴（0，]．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．‎ 三、解答题．（本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男生人数多于女生人数；②女生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男生人数．问：‎ ‎（1）若教师人数为4，则女生人数的最大值为多少？‎ ‎（2）该小组人数的最小值为多少？‎ ‎【答案】（1）6；（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设男生有人，女生有人，根据人员构成同时满足的三个条件，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出，的取值范围，结合，均为正整数且 ‎，即可得出，的值，此问得解；‎ ‎（2）设男生有人，女生有人，教师有人，根据人员构成同时满足的三个条件，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出，的取值范围（用含的代数式表示），结合，，均为正整数且，即可得出的最小值，进而可得出，的最小值，将其相加即可得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）设男生有人，女生有人，‎ 依题意，得：，，‎ 解得：，．‎ ‎，均为正整数，，‎ 或7，或6．‎ 故答案为：6．‎ ‎（2）设男生有人，女生有人，教师有人，‎ 依题意，得：，，‎ 解得：，．‎ 又，，均为正整数，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的最小值为3．‎ 当时，，，‎ ‎．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键，属于基础题．‎ ‎18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2），此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ ‎19.已知函数 ‎（I）求的值 ‎（II）求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．‎ ‎（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．‎ ‎【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，‎ ‎＝﹣cos2xsin2x，‎ ‎＝﹣2，‎ 则f（）＝﹣2sin（）＝2，‎ ‎（Ⅱ）因为．‎ 所以的最小正周期是．‎ 由正弦函数的性质得 ‎，‎ 解得，‎ 所以，的单调递增区间是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎20.已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）设数列的公差为，‎ 令得，所以.‎ 令得，所以.‎ 解得，所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以 所以 两式相减，得 所以 考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.‎ ‎21.【2018年新课标I卷文】已知函数．‎ ‎（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；‎ ‎(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.‎ 详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．‎ 由题设知，f ′（2）=0，所以a=．‎ 从而f（x）=，f ′（x）=．‎ 当02时，f ′（x）>0．‎ 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．‎ ‎（2）当a≥时，f（x）≥．‎ 设g（x）=，则 ‎ 当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．‎ 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．‎ 因此，当时，．‎ 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.‎ ‎22.证明：，在上是减函数，在上是增函数．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，且，求出，从而判断出函数的单调性．‎ 同理可证函数在上的单调性；‎ ‎【详解】解：在上是增函数，‎ 设，且，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，而，，，即，‎ 二次函数在区间上是增函数．‎ 在上是减函数，‎ 设，且，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，而，，，即，‎ 二次函数在区间上是减函数．‎ ‎【点睛】本题考察了二次函数的单调性，利用定义研究函数的单调性，属于基础题.‎