2020-2021学年初三数学上册同步练习：点和圆的位置关系

2020-2021学年初三数学上册同步练习：点和圆的位置关系

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：点和圆的位置关系 1．下列说法错误的是（ ）． A．经过已知点 P 和Q的圆的圆心轨迹是线段PQ的垂直平分线 B．到点 A 的距离等于2cm 的点的轨迹是以点 A 为圆心，2cm 长为半径的圆 C．与直线 AB 距离为 3 的点的轨迹是平行于直线 AB 且和 AB 距离为 3 的两条直线 D．以线段 AB 为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线 【答案】D 【解析】【分析】利于垂直平分线的定义、圆的定义、轨迹的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、经过已知点 P 和 Q 的圆的圆心轨迹是线段 PQ 的垂直平分线，正确； B、到点 A 的距离等于 2cm 的点的轨迹是以点 A 为圆心，2cm 长为半径的圆，正确； C、与直线 AB 距离为 3 的点的轨迹是平行于直线 AB 且和 AB 距离为 3 的两条直线，正确； D、以线段 AB 为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线，线段 AB 的中点除 外，所以此选项错误符合题意. 故选：D． 【点评】本题考查了轨迹的知识，解题的关键是能够了解轨迹的定义，要注意不重不漏． 2．如图 2，在平面直角坐标系中，点 A B C、 、 的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、 2 ），则 ABC外接圆的 圆心坐标是 A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 【答案】D 【解析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 解答：解：根据垂径定理的推论，则 作弦 AB、AC 的垂直平分线，交点 O1即为圆心，且坐标是（3，1）． 故选 D． 3．在 Rt△ ABC 中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点 C 的距离等于（ ）. A．13 cm B．13.5 cm C．14 cm D．14.5 cm 【答案】D 【解析】【分析】此题应根据勾股定理先求出斜边 AB 的长度为 29，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心， 在直角三角形中，它的外心就是斜边的中点，顶点 C 与外心的距离即为斜边的中线． 【详解】 先根据题意画图，知道 AB 为三角形的斜边求得 AB2=AC2+BC2=202+212=841=292 ，要理解外心是这个三角 形外接圆的圆心，要求得该直角三角形的外接圆的圆心，则为 AB 边的一半， 求得 AB 的一半为 14.5，应 该选择答案为 D. 【点评】本题考查了勾股定理和三角形的外接圆和圆心，解题的关键是要理解外心是这个三角形外接圆的 圆心. 4．若等边三角形的边长为 2 cm，则其外接圆的半径等于（ ）； A． 3 3 cm B． 2 3 3 cm C． 3 2 cm D． 3 cm 【答案】B 【解析】【分析】根据三角形外接圆的概念进行画图分析计算. 【详解】 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心是三角形三条边的垂直平 方线的交点，设圆的半径为 xcm，则 1.5x= 3 ，所以 x= 2 3 3 cm. 【点评】本题考查了学生对外接圆掌握，把握外接圆的概念和其性质运用是解决此题的关键. 5．到点 A 的距离都为 3 的点的轨迹是：______. 【答案】以点 A 为圆心，3 为半径的圆． 【解析】【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点 A 的距离等于 3 的点的集合是圆． 【详解】 根据圆的定义可知，到点 A 的距离等于 3 的点的集合是以点 A 为圆心，3 为半径的圆． 故答案为：以点 A 为圆心，3 为半径的圆． 【点评】此题考查圆的定义，正确理解定义是解题关键． 6．在 Rt△ ABC 中，两直角边的长分别为 6 和 8，则这个三角形的外接圆半径长为_____． 【答案】5 【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可． 【详解】 由勾股定理得：AB＝ 2 26 8 ＝10， ∵∠ACB＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径， ∴这个三角形的外接圆直径是 10； ∴这个三角形的外接圆半径长为 5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了 90 度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键. 7．若点 O 是等腰△ ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边 BC=2，则△ ABC 的面积为_________________. 【答案】2 3 或2 3 【解析】【分析】分两种情形讨论：①当圆心 O 在△ ABC 内部时．②当点 O 在△ ABC 外时．分别求解即可． 【详解】 ①当圆心 O 在△ ABC 内部时，作 AE⊥BC 于 E． ∵OB=OC，∠BOC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=OC=BC=2， ∴AE=OA+OE=2+ 3 ， ∴S△ ABC= 1 2 •BC•AE= 1 2 ×2×（2+ 3 ）=2+ 3 ． ②当点 O 在△ ABC 外时，连接 OA 交 BC 于 E． S△ ABC= 1 2 •BC•AE= 1 2 ×2×（2- 3 ）=2- 3 ， 故答案为 2+ 3 或 2- 3 ． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分 类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 8．如图，已知等腰△ ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ ABC 的外接圆．并计算 此外接圆的半径． 【答案】见解析 【解析】【分析】作出 AB，AC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角 形的顶点为半径画圆可得△ ABC 的外接圆；再根据垂径定理得出∠BAO=60°，得出△ ABO 为等边三角形， 从而求得外接圆的半径． 【详解】 作出 AB，AC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径 画圆，画图如下： ∵AB=AC=8， ∴弧 AB=弧 AC ∵∠BAC=120°，AO⊥BC， ∴∠BAO=60°， ∵OA=OB ∴△ABO 为等边三角形， ∴OA=OB =AB=8 ∴△ABC 的外接圆的半径为 8． 【点评】本题考查三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图，解题的 关键是掌握三角形外接圆的确定及垂径定理的应用、等边三角形的判定和性质和尺规作图. 9．如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点 I，延长 AI 交⊙O 于点 D，连结 BD， DC． (1)求证：BD＝DC＝DI； (2)若⊙O 的半径为 10 cm，∠BAC＝120°，求△ BDC 的面积． 【答案】(1)见解析； (2) S△ BOC75 3 cm2. 【解析】【分析】(1)根据 AI 和 BI 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线来证明 BD＝CD，再证明∠ABI＝∠CBI， ∠DBC＝∠BAD，求得∠DBI＝∠DIB.即可； (2)先求出∠BAD＝∠CAD＝∠BCD＝60°.，证明△ DBC 是等边三角形，再求出 BD 即可. 【详解】 (1)∵AI 和 BI 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.∴BD＝CD，∠DBC＝ ∠CAD＝∠BAD.∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI.∠DIB＝∠ABI＋∠BAD.又∵∠ABI＝∠CBI，∠DBC＝∠BAD， ∴∠DBI＝∠DIB.∴BD＝DI.∴DB＝DC＝DI (2)∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BCD＝60°.∵BD ＝DC，∴△DBC是等边三角形．∵⊙O的半径为 10 cm，即BO＝DO＝CO＝10 cm，∴BD＝10 3 cm.∴S△ BOC ＝ 3 4 ×(10 3 )2＝75 3 (cm2) 【点评】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的外接圆是解题的关键. 10．⊙O 的半径 r＝5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离 OD＝3 cm，在直线 l 上有 P，Q，R 三点，且有 PD＝4 cm， QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么 P，Q，R 三点与⊙O 的位置关系各是怎样的？ 【答案】点 P 在⊙O 上；点 Q 在⊙O 外；点 R 在⊙O 内． 【解析】【分析】连接 OR、OP、OQ，根据勾股定理求得 OR、OP、OQ 的长，再与半径比较即可解答. 【详解】 如图，连接 OR，OP，OQ. ∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且 OD⊥l，∴OP＝ ＝ ＝5(cm)＝r， ∴点 P 在⊙O 上； ∵QD＝5 cm，∴OQ＝ ＝ ＝ (cm)>5 cm＝r， ∴点 Q 在⊙O 外；∵RD＝3 cm， ∴OR＝ ＝ ＝3 (cm)<5 cm＝r， ∴点 R 在⊙O 内． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再比 较点到圆心的距离与圆半径大小关系完成判定． 11．已知三角形的三边长分别为 2 2 cm，2 3 cm，2 5 cm，求它的外接圆半径. 【答案】 5 cm. 【解析】【分析】根据勾股定理先求出斜边长，再除以 2 就是外接圆的半径. 【详解】 （2 2 ）2+（2 3 ）2=20=（2 5 ）2 根据勾股定理可知，这个三角形为直角三角形, 又∵直角三角形外接圆直径为斜边边长, ∴ 直径为 2 5 cm 它的外接圆半径是:2 5 ÷2= 5 cm. 答: 它的外接圆的半径是 5 cm. 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形外接圆与圆心，解题的关键是掌握勾股定理和三角形外接 圆的概念.