【数学】2020届浙江一轮复习通用版2-3函数的奇偶性与周期性作业

【数学】2020届浙江一轮复习通用版2-3函数的奇偶性与周期性作业

‎§ 2.3　函数的奇偶性与周期性 A组　基础题组 ‎1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.y=‎1+‎x‎2‎ B.y=x+‎1‎x C.y=2x+‎1‎‎2‎x D.y=x+ex 答案　D　易知y=‎1+‎x‎2‎与y=2x+‎1‎‎2‎x是偶函数,y=x+‎1‎x是奇函数,故选D.‎ ‎2.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(　　)‎ A.f(-1)>fπ‎3‎>f(-π) B.fπ‎3‎>f(-1)>f(-π)‎ C.f(-π)>f(-1)>fπ‎3‎ D.f(-1)>f(-π)>fπ‎3‎ 答案　A　由题意得0<1<π‎3‎<π<4⇒f(-1)=f(1)>fπ‎3‎>f(π)=f(-π),故选A.‎ ‎3.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f‎23π‎6‎=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.0 D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　A　∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),∴f(x)的周期T=2π,‎ 又∵当0≤x<π时, f(x)=0,‎ ‎∴f‎5π‎6‎=0,即f‎-π‎6‎+π=f‎-‎π‎6‎+sin‎-‎π‎6‎=0,‎ ‎∴f‎-‎π‎6‎=‎1‎‎2‎,∴f‎23π‎6‎=f‎4π-‎π‎6‎=f‎-‎π‎6‎=‎1‎‎2‎.故选A.‎ ‎4.已知f(x),g(x),h(x)为R上的函数,其中函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,则(　　)‎ A.函数h(g(x))为偶函数 B.函数h(f(x))为奇函数 C.函数g(h(x))为偶函数 D.函数f(h(x))为奇函数 答案　A　设F(x)=h(g(x)),因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即F(-x)=h(g(-x))=h(g(x))=F(x),所以函数h(g(x))是偶函数,故选A.‎ ‎5.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=log2(x+2)-3x+a(a∈R),则 f(-2)=(　　)‎ A.-1 B.-5 C.1 D.5‎ 答案　D　因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即a=-1.‎ 故f(x)=log2(x+2)-3x-1(x≥0),所以f(-2)=-f(2)=5.‎ ‎6.已知函数f(x)=x3+cosπ‎2‎‎-x+1,若f(a)=2,则f(-a)的值为(　　)‎ A.3 B.0 C.-1 D.-2‎ 答案　B　∵函数f(x)=x3+cosπ‎2‎‎-x+1,∴f(x)=x3+sin x+1,∵f(a)=2,∴f(a)=a3+sin a+1=2,∴a3+sin a=1,‎ ‎∴f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-1+1=0.故选B.‎ ‎7.已知函数f(x)=cos(x+α)(x≥0),‎sin(x+β)(x<0)‎是偶函数,则α,β的可能取值是(　　)‎ A.α=π,β=π‎2‎ B.α=β=π‎3‎ ‎ C.α=π‎3‎,β=π‎6‎ D.α=π‎4‎,β=‎‎3π‎4‎ 答案　C　因为函数f(x)=cos(x+α)(x≥0),‎sin(x+β)(x<0)‎是偶函数,所以当x<0时,cos(-x+α)=sin(x+β),利用两角和差公式展开并整理,得 sin x(sin α-cos β)+cos x(cos α-sin β)=0对x<0恒成立,因而sinα-cosβ=0,‎cosα-sinβ=0,‎将两式两边平方后相加可得,2-2(sin αcos β+cos αsin β)=0,因而sin(α+β)=1,故α+β=2kπ+π‎2‎,k∈Z,故选C.‎ ‎8.设函数f(x)=lg(1+|2x|)-‎1‎‎1+‎x‎4‎,则使f(3x-2)0时, f(x)=lg(1+2x)-‎1‎‎1+‎x‎4‎,函数f(x)单调递增,根据偶函数的性质可知, f(3x-2)0,‎a,x=0,‎g(2x),x<0‎为奇函数,则a=　　　, f(g(-2))=　　　. ‎ 答案　0;-25‎ 解析　由题意,知a=f(0)=0.设x<0,则-x>0, f(-x)=x2-2x+1=-f(x),∴g(2x)=-x2+2x-1,∴g(-2)=-4,∴f(g(-2))=f(-4)=-16-8-1=-25.‎ ‎11.(2019汤溪中学月考)下列函数中,既是偶函数又是区间(0,+∞)上的增函数的有　　　　.(填写所有符合条件的序号) ‎ ‎①y=x3;②y=|x|+1;③y=x‎3‎‎2‎;④y=‎lnx(x>0),‎ln(-x)(x<0).‎ 答案　②④‎ 解析　①令f(x)=x3,∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),∴y=f(x)=x3为奇函数;‎ ‎②令f(x)=|x|+1,∵f(x)=|x|+1=|-x|+1=f(-x),∴y=f(x)=|x|+1为偶函数,当x>0时,y=|x|+1=x+1,∴函数在(0,+∞)上单调递增;‎ ‎③由函数y=x‎3‎‎2‎的定义域为[0,+∞),可知此函数为非奇非偶函数;‎ ‎④y=lnx(x>0),‎ln(-x)(x<0),‎即y=ln|x|(x≠0),则易知此函数为偶函数,又当x>0时,y=ln x,∴函数在(0,+∞)上单调递增.‎ 综上可得符合要求的有②④.‎ ‎12.设函数f(x)=ln(1+|x|)-‎1‎‎1+‎x‎2‎,则使得f(x)>f(3x-1)成立的x的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎‎,‎‎1‎‎2‎ 解析　f(x)=ln(1+|x|)-‎1‎‎1+‎x‎2‎,定义域为R,∵f(-x)=f(x),∴函数f(x)为偶函数,当x>0时, f(x)=ln(1+x)-‎1‎‎1+‎x‎2‎单调递增,又f(x)>f(3x-1),∴|x|>|3x-1|,∴x2>(3x-1)2,∴x的取值范围是‎1‎‎4‎‎,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎13.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　a≤-5‎ 解析　因为当x≥0时, f(x)=x2,所以此时函数f(x)单调递增,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上单调递增,则对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,即x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.‎ B组　提升题组 ‎1.(2019效实中学月考)已知f(x)=‎1‎‎2‎x‎-a+b是奇函数,其中a>0,b∈R,则f(1)=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1 B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.2‎ 答案　C　因为f(x)=‎1‎‎2‎x‎-a+b是奇函数,所以f(-x)+f(x)=0(x∈R),即‎1‎‎2‎‎-x‎-a+b+‎1‎‎2‎x‎-a+b=0恒成立,即‎2‎x‎1-a·‎2‎x ‎+‎1‎‎2‎x‎-a=-2b,所以22x-2a·2x+1=-2b[-a·22x+(a2+1)·2x-a]恒成立,即‎1=2ab,‎‎-2a=-2b(a‎2‎+1),‎又a>0,所以a=1,‎b=‎1‎‎2‎,‎ 故f(x)=‎1‎‎2‎x‎-1‎+‎1‎‎2‎,所以f(1)=‎3‎‎2‎.故选C.‎ ‎2.下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在‎0,‎π‎2‎上单调递减且为偶函数的是(　　)‎ A.y=sin|x| B.y=cos|x|‎ C.y=|tan x| D.y=-ln|sin x|‎ 答案　D　A:y=sin|x|在‎0,‎π‎2‎上单调递增,故A错误;B:y=cos|x|=cos x的最小正周期T=2π,故B错误;C:y=|tan x|在‎0,‎π‎2‎上单调递增,故C错误.故选D.‎ ‎3.已知函数f(x)=‎1+x(x≥0),‎‎1-x(x<0),‎则下列命题正确的是(　　)‎ A.函数y=f(sin x)是奇函数,也是周期函数 B.函数y=f(sin x)是偶函数,但不是周期函数 C.函数y=fsin‎1‎x是偶函数,但不是周期函数 D.函数y=fsin‎1‎x是偶函数,也是周期函数 答案　C　将函数改写为f(x)=1+|x|,x∈R的形式,易知y=f(sin x)=1+|sin x|为偶函数,且为周期函数;y=fsin‎1‎x=1+sin‎1‎x为偶函数,但不是周期函数.故选C.‎ ‎4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=x2,且对任意的x1,x2∈[0,+∞)均有f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎>x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎(x1≠x2).若f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-2>0,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(1,+∞) B.(-∞,1) C. (2,+∞) D. (-∞,2)‎ 答案　A　设g(x)=f(x)-x‎2‎‎2‎,又f(x)+f(-x)=x2,∴g(x)+g(-x)=f(x)-x‎2‎‎2‎+f(-x)-‎(-x‎)‎‎2‎‎2‎=0,故g(x)为奇函数.又g(x‎1‎)-g(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=f(x‎1‎)-f(x‎2‎)+‎x‎2‎‎2‎‎-‎x‎1‎‎2‎‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎-x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎>0,故g(x)在R上单调递增,g(4m-2)-g(2m)=f(4m-2)-f(2m)-‎1‎‎2‎[(4m-2)2-(2m)2]=f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-2>0⇒g(4m-2)>g(2m)⇒4m-2>2m⇒m>1.‎ ‎5.已知f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(ax+1)-f(x-2)≤0在x∈‎1‎‎2‎‎,1‎上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-2,0]‎ 解析　∵f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(x)在(-∞,0)上为减函数.‎ ‎∴f(ax+1)-f(x-2)≤0⇔f(ax+1)≤f(x-2)⇔|ax+1|≤|x-2|.‎ 当x∈‎1‎‎2‎‎,1‎时,x-2<0,‎ ‎∴|ax+1|≤2-x.‎ ‎∴x-2≤ax+1≤2-x.‎ ‎∴1-‎3‎x≤a≤‎1‎x-1在x∈‎1‎‎2‎‎,1‎上恒成立.‎ 当x∈‎1‎‎2‎‎,1‎时,‎1-‎‎3‎xmax=-2,‎1‎x‎-1‎min=0,‎ ‎∴-2≤a≤0.‎ ‎6.已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,常数a∈R).‎ ‎(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},‎ 当a=0时, f(x)=x2(x≠0),显然为偶函数;‎ 当a≠0时, f(1)=1+a, f(-1)=1-a,‎ 所以f(1)≠f(-1),且f(-1)≠-f(1),‎ 所以当a≠0时,函数f(x)=x2+ax(x≠0,常数a∈R)既不是奇函数,也不是偶函数.‎ ‎(2)f '(x)=2x-ax‎2‎=‎2x‎3‎-ax‎2‎,当a≤0时,对任意x∈[2,+∞), f '(x)>0恒成立,满足题意;当a>0时,令f '(x)=‎2x‎3‎-ax‎2‎>0,解得x>‎3‎a‎2‎,由f(x)在[2,+∞)上是增函数,可知‎3‎a‎2‎≤2,解得0

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