数学卷·2018届山东省济南市高二上学期期末数学试卷(文科)(解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届山东省济南市高二上学期期末数学试卷(文科)(解析版)

‎2016-2017学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合M={﹣3,﹣2,﹣1},N={x|(x+2)(x﹣3)<0},则M∩N=(  )‎ A.{﹣1} B.{﹣2,﹣1} C.{﹣2,﹣1} D.{﹣3,3}‎ ‎2.命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为(  )‎ A.若>1,则lnx≤0 B.若≤1,则lnx>0‎ C.若≤1,则lnx≤0 D.若lnx>0,则>1‎ ‎3.双曲线y2﹣=1的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±7x C.y=±x D.y=±x ‎4.在等差数列{an}中,a4+a6=6,且a2=1,则公差d等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知球O的半径为R,体积为V,则“R>”是“V>36π”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 ‎6.双曲线﹣=1的焦距的最小值为(  )‎ A. B.2 C.5 D.10‎ ‎7.抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7,则A、B到y轴的距离之和为(  )‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎8.命题p:∃x∈R,2<,命题q:若M为曲线y2=4x2上一点,A(,0),则|MA|的最小值为,那么下列命题为真命题的是(  )‎ A.(¬p)∧(¬q) B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q ‎9.若变量x,y满足约束条件,且z=仅在点A(﹣1,‎ ‎)处取得最大值,则实数a的取值范围为(  )‎ A.[﹣2,﹣1) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,1)‎ ‎10.飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内,已知飞机的高度为海拔15000m,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°,经过108s后又看到山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为(  )‎ A.(15﹣18sin18°cos78°)km B.(15﹣18sin18°sin78°)km C.(15﹣20sin18°cos78°)km D.(15﹣20sin18°sin78°)km ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分).‎ ‎11.命题“∃x∈R,tanx≥0”的否定是  .‎ ‎12.若x>0,y>0, +=,则x+4y的最小值为  .‎ ‎13.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增).根据此诗,可以得出塔的顶层和底层共有  盏灯.‎ ‎14.设x,y满足不等式组,且此不等式组表示的平面区域的整点的个数为n(整点是指横坐标,纵坐标均为整数的点),则z=nx﹣3y﹣1的最大值为  .‎ ‎15.直线y=2b与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左支、右支分别交于B,C两点,A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.‎ ‎16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=4,cosA=,sinB=,c>4.‎ ‎(1)求b;‎ ‎(2)求△ABC的周长.‎ ‎17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,3a7=a42,a2=2a1,在等差数列{bn}中,b3=a4,b15=a5‎ ‎(1)求证:Sn=2an﹣3‎ ‎(2)求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2sin2A+sin2B=sin2C.‎ ‎(1)若b=2a=4,求△ABC的面积;‎ ‎(2)求的最小值,并确定此时的值.‎ ‎19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(4,﹣4).‎ ‎(1)若抛物线C上一动点M到准线的距离为d,D(﹣1,3),求d+|MD|的最小值;‎ ‎(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,且线段AB的中点为N(2,),求直线l的方程.‎ ‎20.如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,直线x=﹣a与y=b交于点D,且|BD|=3,过点B作直线l交直线x=﹣a于点M,交椭圆于另一点P.‎ ‎(1)求直线MB与直线PA的斜率之积;‎ ‎(2)证明: •为定值.‎ ‎21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2,直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若椭圆C上存在两个不同的点A,B,关于直线l:y=﹣(x+)对称.且:△AOB面积为,求k的值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合M={﹣3,﹣2,﹣1},N={x|(x+2)(x﹣3)<0},则M∩N=(  )‎ A.{﹣1} B.{﹣2,﹣1} C.{﹣2,﹣1} D.{﹣3,3}‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】求出集合N的等价条件,结合交集的定义进行求解即可.‎ ‎【解答】解:N={x|(x+2)(x﹣3)<0}={x|﹣2<x<3},‎ ‎∵M={﹣3,﹣2,﹣1},‎ ‎∴M∩N={﹣1},‎ 故选:A ‎ ‎ ‎2.命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为(  )‎ A.若>1,则lnx≤0 B.若≤1,则lnx>0‎ C.若≤1,则lnx≤0 D.若lnx>0,则>1‎ ‎【考点】四种命题.‎ ‎【分析】根据已知中的原命题,结合否命题的定义,可得答案.‎ ‎【解答】解:命题:“若>1,则lnx>0”的否命题为命题:“若≤1,则lnx≤0”,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎3.双曲线y2﹣=1的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±7x C.y=±x D.y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y2﹣=0,整理后就得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线y2﹣=1,‎ ‎∴双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y2﹣=0,即y=±x.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.在等差数列{an}中,a4+a6=6,且a2=1,则公差d等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由已知结合等差数列的通项公式化为关于d的方程求解.‎ ‎【解答】解:在等差数列{an}中,由a4+a6=6,且a2=1,‎ 得a2+2d+a2+4d=6,即2+6d=6,∴d=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.已知球O的半径为R,体积为V,则“R>”是“V>36π”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】利用球的体积计算公式与不等式的性质、充要条件的性质即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:∵R>,∴>=>36π.‎ ‎∴“R>”是“V>36π”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.双曲线﹣=1的焦距的最小值为(  )‎ A. B.2 C.5 D.10‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】由题意,2c=2,即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意,2c=2,‎ ‎∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7,则A、B到y轴的距离之和为(  )‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A、B到y轴的距离之和.‎ ‎【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=﹣1‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ ‎∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7‎ ‎∴x1+x2=5,‎ ‎∴A、B到y轴的距离之和为5,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.命题p:∃x∈R,2<,命题q:若M为曲线y2=4x2上一点,A(,0),则|MA|的最小值为,那么下列命题为真命题的是(  )‎ A.(¬p)∧(¬q) B.p∨(¬q) C.p∧(¬q) D.(¬p)∧q ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与二次函数的单调性即可判断命题p的真假,利用点到直线的距离公式即可判断出命题q的真假.再利用复合命题真假的判断方法,即可判断出真假.‎ ‎【解答】解:命题p:∵2>>,∴命题p是假命题.‎ 命题q:曲线y2=4x2,化为y=±2x,∴|MA|的最小值==,因此命题q为真命题.‎ ‎∴下列命题为真命题的是D:(¬p)∧q,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.若变量x,y满足约束条件,且z=仅在点A(﹣1,)处取得最大值,则实数a的取值范围为(  )‎ A.[﹣2,﹣1) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣2,﹣1) D.(﹣1,1)‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ z=的几何意义是区域内的动点P(x,y)到 定点D(a,0)的斜率,‎ 由图象知当﹣1≤a≤0时,DP的斜率没有最大值,‎ 当a≤﹣2时,DB的斜率最大,不满足条件.‎ 当﹣2<a<﹣1时,DA的斜率最大,此时满足条件.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内,已知飞机的高度为海拔15000m,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°,经过108s后又看到山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为(  )‎ A.(15﹣18sin18°cos78°)km B.(15﹣18sin18°sin78°)km C.(15﹣20sin18°cos78°)km D.(15﹣20sin18°sin78°)km ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】先求AB的长,在△ABC中,可求BC的长,进而由于CD⊥AD,所以CD=BCsin∠CBD,故可得山顶的海拔高度 ‎【解答】解:如图,∠A=18°,∠ACB=60°,‎ AB=1000×108×=30(km )‎ ‎∴在△ABC中,BC==20sin18°‎ ‎∵CD⊥AD,‎ ‎∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°‎ 山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分).‎ ‎11.命题“∃x∈R,tanx≥0”的否定是 ∀x∈R,tanx<0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.‎ ‎【解答】解:根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为:‎ ‎∀x∈R,tanx<0,‎ 故答案为:∀x∈R,tanx<0‎ ‎ ‎ ‎12.若x>0,y>0, +=,则x+4y的最小值为 64 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵x>0,y>0, +=,‎ 则x+4y=4(x+4y)=4(8+)≥4=64,当且仅当x=4y=32时取等号.‎ 故答案为:64.‎ ‎ ‎ ‎13.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增).根据此诗,可以得出塔的顶层和底层共有 195 盏灯.‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列,且公比为2,然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列,且公比为2,‎ 设塔的顶层灯的盏灯为x,则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381,解得x=3,‎ 可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯.‎ 故答案为:195.‎ ‎ ‎ ‎14.设x,y满足不等式组,且此不等式组表示的平面区域的整点的个数为n(整点是指横坐标,纵坐标均为整数的点),则z=nx﹣3y﹣1的最大值为 47 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出整点个数,利用线性规划的知识进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由图象知平面区域内整点个数为16个,‎ 即n=16,‎ 则z=16x﹣3y﹣1,即y=x﹣,‎ 平移直线y=x﹣,由图象知当直线y=x﹣‎ 经过点A(3,0)时,‎ y=x﹣的截距最小,此时z最大,‎ 此时z=16×3﹣0﹣1=47,‎ 故答案为:47‎ ‎ ‎ ‎15.直线y=2b与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左支、右支分别交于B,C两点,A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用条件得出∠AOC=60°,C(b,2b),代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,b=a,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵∠AOC=∠BOC,‎ ‎∴∠AOC=60°,‎ ‎∴C(b,2b),‎ 代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,∴b=a,‎ ‎∴c==a,‎ ‎∴e==,‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.‎ ‎16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=4,cosA=,sinB=,c>4.‎ ‎(1)求b;‎ ‎(2)求△ABC的周长.‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】(1)由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA的值,进而由正弦定理可得b的值.‎ ‎(2)由已知及余弦定理可得c的值,即可得解△ABC的周长.‎ ‎【解答】解:(1)∵a=4,cosA=,sinB=,‎ ‎∴sinA==,‎ ‎∴由正弦定理可得:b===5.‎ ‎(2)∵由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:16=25+c2﹣2×,‎ 整理可得:2c2﹣15c+18=0,解得:c=6或(由C>4,舍去),‎ ‎∴△ABC的周长=a+b+c=4+5+6=15.‎ ‎ ‎ ‎17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,3a7=a42,a2=2a1,在等差数列{bn}中,b3=a4,b15=a5‎ ‎(1)求证:Sn=2an﹣3‎ ‎(2)求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由3a7=a42,a2=2a1,可得=,解得q,a1.再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.‎ ‎(2)利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出.‎ ‎【解答】(1)证明:设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵3a7=a42,a2=2a1,∴ =,q=2.‎ 解得a1=3.‎ ‎∴an=3×2n﹣1,Sn==3×2n﹣3.‎ ‎∴Sn=2an﹣3.‎ ‎(2)解:设等差数列{bn}的公差为d,b3=a4=3×23=24,b15=a5=3×24=48.‎ ‎∴48=24+12d,解得d=2.‎ ‎∴bn=24+2(n﹣3)=2n+18.‎ ‎==2.‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=2+…+‎ ‎=2=.‎ ‎ ‎ ‎18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2sin2A+sin2B=sin2C.‎ ‎(1)若b=2a=4,求△ABC的面积;‎ ‎(2)求的最小值,并确定此时的值.‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】(1)2sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得2a2+b2=c2,b=2a=4,c=2,求出sinC,即可求△ABC的面积;‎ ‎(2)利用基本不等式求的最小值,并确定此时的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵2sin2A+sin2B=sin2C,‎ ‎∴由正弦定理可得2a2+b2=c2,‎ ‎∵b=2a=4,∴c=2,‎ ‎∴cosC==﹣,‎ ‎∴sinC=,‎ ‎∴△ABC的面积S==;‎ ‎(2)2a2+b2=c2≥2ab,‎ ‎∴≥2,即的最小值为2,‎ 此时b=a,c=2a, =2.‎ ‎ ‎ ‎19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(4,﹣4).‎ ‎(1)若抛物线C上一动点M到准线的距离为d,D(﹣1,3),求d+|MD|的最小值;‎ ‎(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,且线段AB的中点为N(2,),求直线l的方程.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)将点(4,﹣4)代入抛物线y2=2px(p>0)可得p值,利用抛物线的定义,求d+|MD|的最小值;‎ ‎(2)根据线段AB的中点为N(2,),利用点差法,求出直线斜率,可得直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(4,﹣4),可得p=2,‎ 抛物线的准线方程为x=﹣1,‎ d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==,‎ ‎∴d+|MD|的最小值为;‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 代入抛物线方程,两式相减得:(y1+y2)(y1﹣y2)=4(x1﹣x2),‎ ‎∴直线l的斜率k==6,‎ 故直线l的方程为y﹣=6(x﹣2),‎ 即18x﹣3y﹣35=0.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,直线x=﹣a与y=b交于点D,且|BD|=3,过点B作直线l交直线x=﹣a于点M,交椭圆于另一点P.‎ ‎(1)求直线MB与直线PA的斜率之积;‎ ‎(2)证明: •为定值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)利用已知条件列出方程组,求解可得椭圆的方程.设M(﹣2,y0),P(x1,y1),推出=(x1,y1),=(﹣2,y0).直线BM的方程,代入椭圆方程,由韦达定理得x1,y1,由此能求出直线MB与直线PA的斜率之积.‎ ‎(2)•=﹣2x1+y0y1,由此能证明•为定值.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为,‎ 直线x=﹣a与y=b交于点D,且|BD|=3,‎ ‎∴由题意可得,解得a=2,b=c=,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎∴A(﹣2,0),B(2,0),设M(﹣2,y0),P(x1,y1),‎ 则(x1,y1),=(﹣2,y0),‎ 直线BM的方程为y=﹣(x﹣2),即y=﹣x+,‎ 代入椭圆方程x2+2y2=4,得(1+)x2﹣+﹣4=0,‎ 由韦达定理,得2x1=,‎ ‎∴,,‎ ‎∴kMB•kPA==﹣×=﹣=﹣.‎ ‎∴直线MB与直线PA的斜率之积为﹣.‎ 证明:(2)∵(x1,y1),=(﹣2,y0),‎ ‎,,‎ ‎∴•=﹣2x1+y0y1=﹣+==4.‎ ‎∴•为定值4.‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2,直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若椭圆C上存在两个不同的点A,B,关于直线l:y=﹣(x+)对称.且:△AOB面积为,求k的值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由题意可知:2a=2,a=, =2,即=2,解得:b=1,即可求得椭圆的标准方程;‎ ‎(2)(i)由题意可知:设直线y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式求得中点P坐标,代入直线方程l方程,由△>0,即可求得k的取值范围;‎ 由三角形的面积公式可知:S=丨m丨•丨x1﹣x2丨==,即可求得k的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆C: +=1(a>b>0)上一点到两焦点间的距离之和为2,即2a=2,a=,‎ 由O到直线4x﹣3y+3=0距离d==,‎ 直线4x﹣3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为,‎ 则=2,即=2,解得:b=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为:;‎ ‎(2)由题意可知:直线l:y=﹣(x+)对称,则设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎,整理得:(2+k2)x2+2kmx+m2﹣2=0,‎ 由韦达定理可知:x1+x2=﹣,x1•x2=,‎ 根据题意:△=4k2m2﹣4(2+k2)(m2﹣2)=8(k2﹣m2+2)>0,‎ 设线段AB的中点P(x0,y0),则x0==﹣,y0=kx0+m=,‎ ‎∵点P在直线y=﹣(x+)上, =﹣(﹣+),‎ ‎∴m=﹣,代入△>0,可得3k4+4k2﹣4>0,‎ 解得:k2>,则k<﹣或k>,‎ ‎(2)直线AB与y轴交点横坐标为m,‎ ‎△AOB面积S=丨m丨•丨x1﹣x2丨=•丨m丨•=,‎ 则=,整理得:k2=1,解得:k=±1,‎ k的值±1.‎ ‎ ‎ ‎2017年2月1日
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