一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用

一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用

一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用 周红卫 ‎(宁波万里国际学校 315040)‎ 带电粒子在磁场(或复合场)中的运动是高考的常考题型，在各省市的高考中都处于主角的位置。在诸多的带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类平行运动的等速粒子的平面磁聚焦问题很受青睐，在竞赛中也得到了体现。现对此进行一个举例分析。‎ Y X ‎0‎ V 图1‎ A5‎ A4‎ A3‎ A2‎ A1‎ 模型的建立：如图1几何图形，若干个等半径的圆可以交于一点，这些圆的圆心自身也落在一个同样大小的圆上。假设我们以此交点为原点建立一个坐标系，做每个圆最顶端的切线，这些切线互相平行，这些切点刚好落在同样大小的另一个圆上。我们可以依此图形为基础，构造一个物理上的带电粒子运动模型：假设一束互相平行的带电粒子平行于x轴射来，刚好从各圆的切点处进入一个匀强磁场，由于其圆周运动的半径相同，各粒子将按照切点以右的圆周运动，最后将汇聚于原点O。反之，假设从原点处向x轴以上各个方向发射速度相等的同中粒子，且刚好运动到水平方向时失去磁场，那么这些粒子将平行于x轴向x轴负向运动。在此基础上构造的物理模型在高考和竞赛中频频出现，以下几例为证。‎ 一 突出对粒子运动径迹的考察 例1 (09年海南卷)如图2，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：‎ 图3‎ ‎（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；‎ ‎（2）此匀强磁场区域的最小面积。‎ A BA CBA DCBA 图2‎ 解析 （1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力大小为，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为，按照牛顿定律有 联立两式得 ‎（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。‎ 为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如图3所示。图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由知，圆弧AP的半径仍为，在以A为原点、AB为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为 消去参数θ得 这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为 点评 这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹。‎ 从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力，这类题目也是几乎所有高考题目的选择对象。但对于平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题有过深入分析和研究，对带电粒子的运动做过分类研究的学生而言，他们就属于“有备而来”，遇到类似题目会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情。‎ 二 突出对粒子运动“汇聚点”的考察 例2 （09年浙江卷）如图4所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0

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