2019学年高二数学下学期期中试题 理 新人教通用版

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2019学年高二数学下学期期中试题 理 新人教通用版

‎2019高二年级期中考试 数学试卷(理科)‎ ‎  时量:120分钟 总分:150分 命题人:‎ 班级: 姓名: 考号:‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1、复数的共轭复数是( )‎ ‎ ‎ ‎2、与的大小关系是(  )‎ ‎ 无法确定 ‎3、已知,计算得,,,,,由此推算:当时,有(  )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、函数的减区间为(  )‎ ‎ ‎ ‎5、用数学归纳法证明时,第一步应验证不等式(  )‎ ‎ ‎ ‎6、小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他共7人,一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨,给家里每人一个,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个,则梨子的不同分法共有(  )‎ 9‎ ‎96种 120种 480种 720种 ‎7、有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.以上推理中(  )‎ 大前提错误 小前提错误 推理形式错误 结论正确 ‎ ‎8、某工厂师徒二人加工相同型号的零件,是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为,徒弟加工一个零件是精品的概率为,师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为(  )‎ ‎ ‎ ‎9、的二项展开式中,的系数是(  )‎ ‎ ‎ ‎10、某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲乙两人都抢到红包的情况有(  )‎ ‎35种 24种 18种 9种 ‎11、一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数是一个随机变量,其分布列为,则的值为(  )‎ ‎ ‎ ‎12、已知,都是定义在上的函数,且,<,,则的值为(  )‎ 9‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13、已知,则。‎ ‎14、已知,,,则。‎ ‎15、若曲线上存在垂直与轴的切线,则实数的取值范围是。‎ ‎16、若函数(为常数,是自然对数的底)恰有两个极值点,则实数的取值范围是。‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎17、已知函数在点处的切线方程为;‎ ‎(1)求实数,的值;‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎18、已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项,而的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求的值.‎ ‎19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:‎ 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎(Ⅰ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;‎ ‎(Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为,求随机变量的概率分布列.‎ 9‎ ‎ 20、一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元,设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完,每万件的销售收入为万元,且每万件国家给予补助万元.(为自然对数的底数,是一个常数)‎ ‎(Ⅰ)写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式 ‎(Ⅱ)当月产量在 万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生成量值(万件).(注:月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本)‎ ‎21、已知数列满足,,试比较与的大小并证明.‎ ‎22、已知,,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求在是递减的,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)是否存在实数,使的极大值为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 9‎ ‎2019高二年级期中考试 数学答案 ‎ ‎ 一.选择题(共12小题)‎ D A D B D C A A A C C B 二.填空题(共4小题)‎ ‎13、7.  14、1.  15、 16.(0,).‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎17.已知函数f(x)=ax2﹣blnx在点A(1,f(1))处的切线方程为y=1;‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),‎ f′(x)=2ax﹣,‎ f(1)=a=1,f′(1)=2a﹣b=0①,‎ 将a=1代入2a﹣b=0,解得:b=2; 。。。。 5分 ‎(2)由(1)得:f(x)=x2﹣2lnx,‎ ‎∴f′(x)=2x﹣=,‎ 令f′(x)>0,解得:x>1,‎ 令f′(x)<0,解得:x<1,‎ ‎∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,‎ ‎∴f(x)极小值=f(1)=1. 。。。。10分 ‎【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查导数的应用,求函数的单调区间、极值问题,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.已知(a2+1)n展开式中各项系数之和等于(x2+)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求a的值.‎ 9‎ ‎【解答】解:由(x2+)5得,‎ Tr+1=C5r(x2)5﹣r()r=()5﹣r•C5r•x.‎ 令Tr+1为常数项,则20﹣5r=0,‎ ‎∴r=4,∴常数项T5=C54×=16.‎ 又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n.‎ 由题意得2n=16,∴n=4.‎ 由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,‎ ‎∴C42a4=54,‎ ‎∴a=±.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质,解题时要注意根据实际情况灵活地运用公式.‎ ‎ ‎ ‎19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:‎ 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎(Ⅰ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;‎ ‎(Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)从20名学生随机选出3名的方法数为,‎ 选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为:‎ 所以 ‎(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2,3,‎ ‎,‎ 9‎ 所以ξ的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列的求法,是中档题,解题时要注意排列组合知识的合理运用.‎ ‎20.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元,设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为4﹣x万元,且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元.(e为自然对数的底数,e是一个常数)‎ ‎(Ⅰ)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式 ‎(Ⅱ)当月产量在[1,2e]万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生成量值(万件).(注:月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本)‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于:月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本,可得 ‎(Ⅱ)f(x)=﹣x2+2(e+1)x﹣2elnx﹣2的定义域为[1,2e],‎ 且 列表如下:‎ x ‎(1,e)‎ e ‎(e,2e]‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 增 极大值f(e)‎ ‎ 减 由上表得:f(x)=﹣x2+2(e+1)x﹣2elnx﹣2在定义域[1,2e]上的最大值为f(e).‎ 且f(e)=e2﹣2.即:月生产量在[1,2e]万件时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f(e)=e2﹣2,此时的月生产量值为e(万件).‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识,考查学生利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力,属于难题.‎ 9‎ ‎ ‎ ‎21.已知数列{an}满足an+1﹣an=1,a1=1,试比较与的大小并证明.‎ ‎【解答】解:≥.‎ 证明如下:由an+1﹣an=1,a1=1,知数列{an}为首项是1,公差为1的等差数列,‎ ‎∴通项公式为an=n.‎ 要证≥,‎ 只要证:1+++…+≥,下面用数学归纳证明:‎ n=1时,1+=,结论成立,‎ 当n=2时,左边=1+=,结论成立;‎ 假设n=k时结论成立,即1+++…+≥,‎ 那么:n=k+1时,1+++…++…+>++…+‎ ‎>++…+>+=,即n=k+1时,结论也成立.‎ 综上所述,n∈N,结论成立.‎ ‎【点评】本题是数列与不等式的综合题,考查了数学归纳法与放缩法证明数列不等式,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.已知f(x)=x2+ax+a(a≤2,x∈R),g(x)=ex,φ(x)=.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求φ(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求φ(x)在x∈[1,+∞)是递减的,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)是否存在实数a,使φ(x)的极大值为3?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(I)当a=1时,φ(x)=(x2+x+1)e﹣x.φ′(x)=e﹣x(﹣x2+x)‎ 当φ′(x)>0时,0<x<1;当φ′(x)<0时,x>1或x<0‎ 9‎ ‎∴φ(x)单调减区间为(﹣∞,0),(1,+∞),单调增区间为(0,1);‎ ‎(II)φ′(x)=e﹣x[﹣x2+(2﹣a)x]‎ ‎∵φ(x)在x∈[1,+∞)是递减的,‎ ‎∴φ′(x)≤0在x∈[1,+∞)恒成立,‎ ‎∴﹣x2+(2﹣a)x≤0在x∈[1,+∞)恒成立,‎ ‎∴2﹣a≤x在x∈[1,+∞)恒成立,‎ ‎∴2﹣a≤1‎ ‎∴a≥1‎ ‎∵a≤2,1≤a≤2;‎ ‎(III)φ′(x)=(2x+a)e﹣x﹣e﹣x(x2+ax+a)=e﹣x[﹣x2+(2﹣a)x]‎ 令φ′(x)=0,得x=0或x=2﹣a:‎ 由表可知,φ(x)极大=φ(2﹣a)=(4﹣a)ea﹣2‎ 设μ(a)=(4﹣a)ea﹣2,μ′(a)=(3﹣a)ea﹣2>0,‎ ‎∴μ(a)在(﹣∞,2)上是增函数,‎ ‎∴μ(a)≤μ(2)=2<3,即(4﹣a)ea﹣2≠3,‎ ‎∴不存在实数a,使φ(x)极大值为3.‎ ‎【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,属于中档题.‎ ‎ ‎ 9‎
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