数学（理）卷·2018届河南省林州市第一中学高二4月调研考试（2017-04）
2015级高二下学期4月调研考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙，丁两本不能连排，则不同的排法共有( )
A．12种 B．20种 C．24种 D．48种
3．已知实数m，n满足＝1－ni(其中i是虚数单位)，则双曲线mx2－ny2＝1的离心率为 ( )
A． B． C． 2 D．3
4．证明<1＋＋＋＋…＋
1)，当n＝2时，中间式子等于 ( )
A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋＋
5．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A．320 B．160 C．96 D．60
6设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
7．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )
A．24种 B．36种 C．60种 D．66种
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
9．若函数f (x)＝cos x＋2xf ′，则f 与f 的大小关系是( )
A．f ＝f B．f ＞f
C．f ＜f D．不确定
10．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝( )
A.3 －3或3 C.3 D．－3
11．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( )
A．1 B．－1 C．0
D．2
12．已知a≥0，函数f (x)＝(x2－2ax)ex，若f (x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为__________．
14．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，为z的共轭复数，则＝___________.
15． 5的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．
16．已知f (x)＝x3－6x2＋9x－abc，a 0； ②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0； ④f (0)f (3)<0.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值.
18．（12分）已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
19．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．
20．（12分）某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价为85%)．问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知.
（1）设是上的一点，证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
22．（12分）已知f (x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．
(1)假设m＝－2，求f (x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数m，使f (x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由
2015级高二下学期4月调研考试
数学（理）试题答案
1．C 2．c 3. A 4．D 5．A 6．D 7．B． 8．C 9．C 10．B 11．A 12．C
提示：
1.由纯虚数的定义知：⇒x＝1，选C.
2.解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再将丙，丁插入，共有AAA＝2×3×2×2＝24种．答案：C
3.m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，则 ∴n＝1，m＝2，从而e＝.
4.当n＝2时，中间的式子1＋＋＋＝1＋＋＋.
5解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
6.因为′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
7. 解析：先排甲、乙外的3人，有A种排法，再插入甲、乙两人，有A种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有AA＝36(种)．
答案：B
8. 解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的偶数个数有C·A(A＋A·A)＝108个．
答案：C
9.依题意得f′(x)＝－sin x＋2f ′，所以f ′＝－sin＋2f ′，f ′＝，f′(x)＝－sin x＋1，因为当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)＝cos x＋x在上是增函数，又－＜－＜＜，所以f ＜f .
10．由得(x－k)2＝0，即x＝k，所以直线与曲线相切，如图所示，当k>0时，S＝ʃ(x2＋k2－2kx)dx＝ʃ(x－k)2dx＝(x－k)3|＝0－(－k)3＝，由题意知＝9，∴k＝3.由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.
11. 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4×(－2＋)4＝1.
答案：A
12. f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)e2＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有
即解得a≥.
二、填空题
13．2ln2 14．2＋i 15．0 16．②③
13. 解析：
14.＝zi－i＝1＋i，故z＝＝2－i.∴＝2＋i.
15解析：(化简三项为二项)：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
所以所求的常数项为＝.答案：
16.因为f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，
所以f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a0，
y极小值＝f(3)＝－abc<0.∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
所以f(0)<0.所以f(0)f (1)<0，f(0)f(3)>0.所以正确结论的序号是②③.
三、解答题
17．解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.
18．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
19解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．(4分)
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，即45种不同取法．(8分)
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋子中选取2双鞋有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．20．解：(1)设该场x(x ∈N)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为 y1.
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，
所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，
当且仅当＝3x，即x＝10时，y1有最小值．
故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)设该场利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，
则y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．
令f(x)＝＋3x(x≥25)，因为f′(x)＝－＋3，所以当x≥25时，f′(x)＞0，即函数f(x)与y2在x≥25时是增函数．
所以当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.
因为390<417，所以该场应考虑利用此优惠条件．
21．试题解析：（1）证明：在中，由于,,,
,故.
又，
，，又，
故平面平面 5分
（2）法一、如图建立空间直角坐标系，, ,
, .
设平面的法向量, 由
令, .
设平面的法向量, 由
即，令
,二面角的余弦值为 12分
法二、
由（1）知平面，所以平面平面
过作交于，则平面
再过作交于，连结，则就是二面角的平面角
由题设得。由勾股定理得：
所以.
二面角的余弦值为………… 12分
22．解：(1)当m＝－2时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．
则f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex (3x2－4x－2)＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex，
所以当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)<0; 当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0;
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，所以f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；
在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；
当x＝0时，f(x)取得极大值，所以f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2，
f(x)极大值＝f(0)＝2.
(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2)＝xex.
因为f(x)在上单调递增，所以当x∈时，f′(x)≥0.
又因为当x∈时，xex<0，所以当x∈时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，
所以解得m≤4，
所以当m∈时，f(x)在上单调递增．
