二次函数与一元二次方程教案1

二次函数与一元二次方程教案1

‎2.8 二次函数与一元二次方程 ‎ 教学目标 一、 教学知识点 1、 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.‎ 2、 理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. ‎ 3、 理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.‎ 二、 能力训练要求 ‎1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 ‎2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.‎ ‎3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.‎ 三、 情感与价值观要求 1、 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.‎ 2、 具有初步的创新精神和实践能力.‎ 教学重点 ‎1.体会方程与函数之间的联系.‎ ‎2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. ‎ ‎3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.‎ 教学难点 ‎1、探索方程与函数之间的联系的过程.‎ ‎2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. ‎ 教学方法 讨论探索法 教学过程：‎ 1、 设问题情境，引入新课 我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？‎ 它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.‎ 现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.‎ 2、 新课讲解 ‎ 例题讲解 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =－5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么 ‎（1）h 与t 的关系式是什么？‎ ‎（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？‎ 小组交流，然后发表自己的看法.‎ - 3 -‎ 学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5t 2+v 0t +h 0，其中的v 0‎ 为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可 求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t ‎ （2）小球落地时h为0 ，所以只要令h =－5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是 ‎－5t 2+40t=0‎ t 2－8t=0‎ ‎∴t（t－8）=0‎ ‎∴t=0或t=8‎ t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.‎ 也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地.‎ 议一议 二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示 ‎（1）每个图像与x 轴有几个交点？‎ ‎（2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？‎ ‎（3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？‎ 学生讨论后，解答如下：‎ ‎（1）二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.‎ ‎（2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2 ；x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ；方程x2－2x +2=0没有实数根 ‎ ‎（3）从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点（0,0）,(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;‎ 二次函数y=x2－2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1‎ 二次函数y=x2－2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2－2x +2=0没有实数根 由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.‎ 小结：‎ 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.‎ 基础练习 ‎1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.‎ ‎（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4‎ ‎ 2、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x - 3 -‎ 轴有两个交点，则a的范围是 ‎ ‎ 3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .‎ ‎ 4、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= .‎ ‎5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.‎ ‎6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）‎ （A） a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0‎ （B） ‎（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D)a＜0 b2-4ac＜0‎ 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是怎样知道的？‎ 学生交流：在式子h =－5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得 ‎ －5t 2+40t=60‎ ‎ t 2–8t+12=0‎ ‎∴t=2或t=6‎ 因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是60 m.‎ 课堂练习 72页 小结：本节课学习了如下内容：‎ ‎1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）‎ ‎2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想 ‎3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?‎ - 3 -‎