三年中考20102012全国各地中考数学试题分类汇编汇编解直角三角形

三年中考20102012全国各地中考数学试题分类汇编汇编解直角三角形

2012 年全国各地中考数学压轴题汇编 第 30 章 解直角三角形 1．（2012 绍兴）如图 1，某超市从一楼到二楼的电梯 AB 的长为 16.50 米，坡角∠BAC 为 32°。 （1）求一楼于二楼之间的高度 BC（精确到 0.01 米）； （2）电梯每级的水平级宽均是 0.25 米，如图 2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升 2 级 的高度运行，10 秒后他上升了多少米（精确到 0.01 米）？备用数据：sin32°=0.5299， con32°=0.8480，tan32°=6249。 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 解答：解：（1）sin∠BAC= BC AB ， ∴BC=AB×sin32° =16.50×0.5299≈8.74 米。 （2）∵tan32°= 级高 级宽 ， ∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225 ∵10 秒钟电梯上升了 20 级， ∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12 米。 2．(2012•扬州)如图，一艘巡逻艇航行至海面 B 处时，得知正北方向上距 B 处 20 海里的 C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口 A 处的救援艇前往 C 处营救．已知 C 处位于 A 处 的北偏东 45°的方向上，港口 A 位于 B 的北偏西 30°的方向上．求 A、C 之间的距离．(结果 精确到 0.1 海里，参考数据 ≈1.41， ≈1.73) 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。 专题： 应用题；数形结合。 分析： 作 AD⊥BC，垂足为 D，设 CD＝x，利用解直角三角形的知识，可得 出 AD，继而可 得出 BD，结合题意 BC＝CD＋BD＝20 海里可得出方程，解出 x 的值后即可得出答 案． 解答： 解：作 AD⊥BC，垂足为 D， 由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°， 设 CD＝x，在 RT△ACD 中，可得 AD＝x， 在 RT△ABD 中，可得 BD＝ x， 又∵BC＝20，即 x x＝20， 解得： ∴AC＝ x≈10.3(海里)． 答：A、C 之间的距离为 10.3 海里． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形， 将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般． 3．(2012•连云港)已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2°方向，且其到 A 观测点正北方向的 距离 BD 的长为 16km，一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿如图所示的 BC 方向航行，15min 后达到 C 处，现测得 C 处位于 A 观测点北偏东 79.8°方向，求此时货轮与 A 观测点之间的距 离 AC 的长(精确到 0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98， cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50， ≈1.41， ≈2.24) 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。 分析： 根据在 Rt△ADB 中，sin∠DBA＝ ，得出 AB 的长，进而得出 tan∠BAH＝ ，求 出 BH 的长，即可得出 AH 以及 CH 的长，进而得出答案． 解答： 解：BC＝40× ＝10， 在 Rt△ADB 中，sin∠DBA＝ ，sin53.2°≈0.8， 所以 AB＝ ＝20， 如图，过点 B 作 BH⊥AC，交 AC 的延长线于 H， 在 Rt△AHB 中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°， tan∠BAH＝ ，0.5＝ ，AH＝2BH， BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，BH＝4 ，所以 AH＝8 ， 在 Rt△BCH 中，BH2＋CH2＝BC2，CH＝2 ， 所以 AC＝AH－CH＝8 －2 ＝6 ≈13.4， 答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 约为 13.4km． 点评： 此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据已知构造直角三角形得出 BH 的长 是解题关键． 4．（2012 广东）如图，小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tanα= ，在与山脚 C 距离 200 米的 D 处， 测得山顶 A 的仰角为 26.6°，求小山岗的高 AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45， cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．http://www.21cnjy.com/ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 解答：解：∵在直角三角形 ABC 中， =tanα= ， ∴BC= ∵在直角三角形 ADB 中， ∴ =tan26.6°=0.50 即：BD=2AB ∵BD﹣BC=CD=200 ∴2AB﹣ AB=200 解得：AB=300 米， 答：小山岗的高度为 300 米． 5．（2012 安顺）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的 一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出 BE、CD 的长度（精确到个位， ≈1.7）．[来 源:数理化网] 考点：解直角三角形的应用。 解答：解：由∠ABC=120°可得∠EBC=60°，在 Rt△BCE 中，CE=51，∠EBC=60°， 因此 tan60°= ， ∴BE= = =17 ≈29cm； 在矩形 AECF 中，由∠BAD=45°，得∠ADF=∠DAF=45°， 因此 DF=AF=51， ∴FC=AE≈34+29=63cm， ∴CD=FC﹣FD≈63﹣51=12cm， 因此 BE 的长度均为 29cm，CD 的长度均为 12cm． 6．（2012•资阳）小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼．为了测量点 P 到对面办公大 楼上部 AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45°，测得办公大楼底部点 B 的俯 角为 60°，已知办公大楼高 46 米，CD=10 米．求点 P 到 AD 的距离（用含根号的式子表示）． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 分析： 连接 PA、PB，过点 P 作 PM⊥AD 于点 M；延长 BC，交 PM 于点 N，将实际问题中 的已知量转化为直角三角形中的有关量，设 PM=x 米，在 Rt△PMA 中，表示出 AM， 在 Rt△PNB 中，表示出 BN，由 AM+BN=46 米列出方程求解即可． 解答： 解：连接 PA、PB，过点 P 作 PM⊥AD 于点 M；延长 BC，交 PM 于点 N 则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10 米 设 PM=x 米 在 Rt△PMA 中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x（米） 在 Rt△PNB 中，BN=PN×tan∠BPM=（x﹣10）tan60°=（x﹣10） （米） 由 AM+BN=46 米，得 x+（x﹣10） =46 解得， ， ∴点 P 到 AD 的距离为 米．（结果分母有理化为 米也可） 点评： 此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 7．（2012•湘潭）如图，矩形 ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知 BC=2m， CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度 EF 约为多少米？（ ，结果保 留两位有效数字．） 考点： 解直角三角形的应用。 分析： 分别在直角三角形 BCF 和直角三角形 AEF 中求得 DF 和 DE 的长后相加即可得到 EF 的长． 解答： 解：在直角三角形 DCF 中， ∵CD=5.4m，∠DCF=30°， ∴sin∠DCF= = =， ∴DF=2.7， ∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°， ∴∠ADE=∠DCF， ∵AD=BC=2， ∴cos∠ADE= = = ， ∴DE= ， ∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4 米． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解 决此类题目的关键． 8．（2012 娄底）如图，小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度，在 C 处测得∠ADG=30°， 在 E 处测得∠AFG=60°，CE=8 米，仪器高度 CD=1.5 米，求这棵树 AB 的高度（结果保留 两位有效数字， ≈1.732）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 分析：首先根据题意可得 GB=EF=CD=1.5 米，DF=CE=8 米，然后设 AG=x 米，GF=y 米， 则在 Rt△AFG 与 Rt△ADG，利用正切函数，即可求得 x 与 y 的关系，解方程组即可求得答 案． 解答：解：根据题意得：四边形 DCEF、DCBG 是矩形， ∴GB=EF=CD=1.5 米，DF=CE=8 米， 设 AG=x 米，GF=y 米， 在 Rt△AFG 中，tan∠AFG=tan60°= = = ， 在 Rt△ADG 中，tan∠ADG=tan30°= = = ， ∴x=4 ，y=4， ∴AG=4 米，FG=4 米， ∴AB=AG+GB=4 +1.5≈8.4（米）． ∴这棵树 AB 的高度为 8.4 米． 点评：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关 键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 9．（2012 江西）如图 1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图 2 是晒衣架的侧面示意图， 立杆 AB．CD 相交于点 O，B．D 两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链 EF 成一 条直线，且 EF=32cm． （1）求证：AC∥BD； （2）求扣链 EF 与立杆 AB 的夹角∠OEF 的度数（精确到 0.1°）； （3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？ 请通过计算说明理由． （参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471， tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器） 考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用。 分析：（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA= （180°﹣∠BOD）和∠OBD=∠ODB= （180° ﹣∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可； （2）首先作 OM⊥EF 于点 M，则 EM=16cm，利用 cos∠OEF= 0.471，即可 得出∠OEF 的度数； （3）首先证明 Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出 AH 的长即可． 解答：（1）证明：证法一：∵AB．CD 相交于点 O， ∴∠AOC=∠BOD…1 分 ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA= （180°﹣∠BOD），[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 同理可证：∠OBD=∠ODB= （180°﹣∠BOD）， ∴∠OAC=∠OBD，…2 分 ∴AC∥BD，…3 分 证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm， ∴OB=OD=85cm， ∴ …1 分 又∵∠AOC=∠BOD ∴△AOC∽△BOD， ∴∠OAC=∠OBD；…2 分 ∴AC∥BD…3 分； （2）解：在△OEF 中，OE=OF=34cm，EF=32cm； 作 OM⊥EF 于点 M，则 EM=16cm；…4 分 ∴cos∠OEF= 0.471，…5 分 用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6 分； （3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；…7 分 在 Rt△OEM 中， =30cm…8 分， 过点 A 作 AH⊥BD 于点 H， 同（1）可证：EF∥BD， ∴∠ABH=∠OEM，则 Rt△OEM∽Rt△ABH， ∴ …9 分 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度 122cm＞晒衣架的高度 AH=120cm． 解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；…7 分 同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8 分 过点 A 作 AH⊥BD 于点 H，在 Rt△ABH 中 ， AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9 分 所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度 122cm＞晒衣架的高度 AH=120cm． 点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三 角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键． 10．（2012•恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退． 2012 年 5 月 18 日，某国 3 艘炮艇追袭 5 条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔 政 310”船人船未歇立即追往北纬 11 度 22 分、东经 110 度 45 分附近海域护渔，保护 100 多 名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救 中国渔船，立即掉头离去．（见图 1） 解决问题 如图 2，已知“中国渔政 310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地 指挥中心正南方向，位于“中国渔政 310”船西南方向，“中国渔政 310”船位于陆地指挥中心 南偏东 60°方向，AB= 海里，“中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时．根据以上信息， 请你求出“中国渔政 310”船赶往出事地点需要多少时间． 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。 分析： 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，在 Rt△ABD 中利用锐角三角函数的定义求出 AD 的值， 同理在 Rt△ADC 中求出 AC 的值，再根据中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时求出 所需时间即可． 解答： 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 在 Rt△ABD 中， ∵AB= ，∠B=60°， ∴AD=AB•sin60°= × =70 ， 在 Rt△ADC 中，AD=70 ，∠C=45°， ∴AC= AD=140， ∴“中国渔政 310”船赶往出事地点所需时间为 =7 小时． 答：“中国渔政 310”船赶往出事地点需要 7 小时． 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直 角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键． 11．（2012 年中考）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图(1)，虚线为楼梯 的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角 ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高； 如图(2)设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角 1 减至 2，这样楼梯所占用地 板的长度由 d1 增加到 d2，已知 d1＝4 米，∠ 1＝40°，∠ 2＝36°，楼梯占用地板的长度增 加率多少米？(计算结果精确到 0.01 米，参考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727) 12．(2012•南通)（本小题满分 8 分） 如图，某测量船位于海岛 P 的北偏西 60º方向，距离海岛 100 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛 P 的西南方向上的 B 处．求测量船从 A 处航行到 B 处的路程 (结果保留根号)． 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【专题】计算题． 【分析】将 AB 分为 AE 和 BE 两部分，分别在 Rt△BEP 和 Rt△ BEP 中求解．要利用 30°的角所对的直角边是斜边的一半 和等腰直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵AB 为南北方向， ∴△AEP 和△BEP 分别为直角三角形， 再 Rt△AEP 中， ∠APE=90°-60°=30°， AE=1 2 AP=1 2 ×100=50 海里， ∴EP=100×cos30°=50 3 海里， 在 Rt△BEP 中， BE=EP=50 3 海里， ∴AB=（50+50 3 ）海里． 答：测量船从 A 处航行到 B 处的路程为（50+50 3 ）海里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角 三角形是解题的关键． 13、(2012•常德)如图 5，一天，我国一渔政船航行到 A 处时，发现正东方向的我领海区域 B 处有一可疑渔船，正在以 12 海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东 60º方向航行，1.5 小时后，在我领海区域的 C 处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是 多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自 C 点作 AB 的垂线，垂足为 D，构建 Rt△A CD， Rt△BCD，再解这两个 Rt△。 解：自 C 点作 AB 的垂线，垂足为 D，∵南北方 向⊥AB，∴∠CAD=30º，∠CBD=45º 在等腰 Rt△BCD 中，BC=12×1.5=18，∴ CD=18sin45º= 29 ， 在 Rt △ ACD 中 ， CD=AC × sin30 º ， ∴ AC= 218 （海里） 答：我渔政船的航行路程是 218 海里。 点评：解决问题的关键在于将斜三角形转化为两个直角三角形，而转化的关键又在 于自 C 点作 AB 的垂线。 14．（2012•黔东南州）如图，一艘货轮在 A 处发现其北偏东 45°方向有一海盗船，立即向位 于正东方向 B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮 实施救援，此时距货轮 200 海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西 60°方向的 C 处． （1）求海盗船所在 C 处距货轮航线 AB 的距离． （2）若货轮以 45 海里/时的速度向 A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以 50 海里/时的速度 由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货 轮？（结果保留根号） 解析：（1）作 CD⊥AB 于点 D， 在直角三角形 ADC 中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD． 在直角三角形 CDB 中，∵∠CBD=30°，∴ =tan30°，∴BD= CD． ∵AD+BD=CD+ CD=200， ∴CD=100（ ﹣1）； （2）∵海盗以 50 海里/时的速度由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截， ∴海盗到达 D 处用的时间为 100（ ﹣1）÷50=2（ ﹣1）， ∴警舰的速度应为[200﹣100（ ﹣1）]÷2（ ﹣1）=50 千米/时． 15．（2012•湛江）某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度．如图，在距主塔从 AE60 米的 D 处．用仪器测得主塔顶部 A 的仰角为 68°，已知测量仪器的高 CD=1.3 米，求 主塔 AE 的高度（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48） 解： 根据题意得：在 Rt△ABC 中，AB=BC•tan68°≈60×2.48=148.8（米）， ∵CD=1.3 米， ∴BE=1.3 米， ∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1（米）． ∴主塔 AE 的高度为 150.1 米． 16．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干 DO（不计粗细）上有两个木瓜 A、 B（不计大小），树干垂直于地面，量得 AB=2 米，在水渠的对面与 O 处于同一水平面的 C 处测得木瓜 A 的仰角为 45°、木瓜 B 的仰角为 30°．求 C 处到树干 DO 的距离 CO．（结果精 确到 1 米）（参考数据： ） 解：设 OC=x， 在 Rt△AOC 中， ∵∠ACO=45°， ∴OA=OC=x， 在 Rt△BOC 中， ∵∠BCO=30°， ∴OB=OC•tan30°= x， ∵AB=OA﹣OB=x﹣ x=2，解得 x=3+ ≈3+1.73=4.73≈5 米， ∴OC=5 米． 答：C 处到树干 DO 的距离 CO 为 5 米． 17．（2012 六盘水）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下 数据：小丽在河岸边选取点 A，在点 A 的对岸选取一个参照点 C，测得∠CAD=30°；小丽 沿岸向前走 30m 选取点 B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识， 帮小丽计算小河的宽度． 考点：解直角三角形的应用。 专题：应用题。 分析：先根据题意画出示意图，过点 C 作 CE⊥AD 于点 E，设 BE=x，则在 RT△ACE 中， 可得出 CE，利用等腰三角形的性质可得出 BC，继而在 RT△BCE 中利用勾股定理可求出 x 的值，也可得出 CE 的长度． 解答：解：过点 C 作 CE⊥AD 于点 E， 由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°， 故可得∠ACB=∠CAB=30°， 即可得 AB=BC=30m， 设 BE=x，在 Rt△BCE 中，可得 CE= x， 又∵BC2=BE2+CE2，即 900=x2+3x2， 解得：x=15，即可得 CE=15 m． 答：小丽自家门前的小河的宽度为 15 m． 点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化为 解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般． 18．（2012 攀枝花）如图，我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 地观测到 我渔船 C 在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政 310 船航向不变，航行半小时后到达 B 处，此时观测到我渔船 C 在北偏东 30°方向上．问渔政 310 船再航行多久，离我渔船 C 的距 离最近？（假设我渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。 分析：过点 C 作 AB 的垂线，设垂足为 D．由题易知∠CAB=45°，∠CBD=60°．先在 Rt△BCD 中，得到 CD= BD，再在 Rt△ACD 中，得到 CD=AD，据此得出 = ，然后根据匀 速航行的渔船其时间之比等于路程之比，从而求出渔船行驶 BD 的路程所需的时间． 解答：解：作 CD⊥AB 于 D． ∵A 地观测到渔船 C 在东北方向上，渔船 C 在北偏东 30°方向上 ∴∠CAB=45°，∠CBD=60°． 在 Rt△BCD 中，∵∠CDB=90°，∠CBD=60°， ∴CD= BD． 在 Rt△ACD 中，∵∠CDA=90°，∠CAD=45°， ∴CD=AD， ∴ BD=AB+BD， ∴ = = ， ∵渔政 310 船匀速航行， 设渔政 310 船再航行 t 分钟，离我渔船 C 的距离最近， ∴ = ， ∴t=15（ +1）． 答：渔政 310 船再航行 15（ +1）分钟，离我渔船 C 的距离最近． 点评：本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确理解方向角的定义是解决本 题的关键． 19．（2012 山西）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端 A．B 的距 离，飞机在距海平面垂直高度为 100 米的点 C 处测得端点 A 的俯角为 60°，然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 500 米，在点 D 测得端点 B 的俯角为 45°，求岛屿两端 A．B 的距离 （结果精确到 0.1 米，参考数据： ） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 解答：解：过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°， ∴四边形 ABFE 为矩形． ∴AB=EF，AE=BF． 由题意可知：AE=BF=100 米，CD=500 米．…2 分 在 Rt△AEC 中，∠C=60°，AE=100 米． ∴CE= = = （米）． …4 分 在 Rt△BFD 中，∠BDF=45°，BF=100． ∴DF= = =100（米）．…6 分 ∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣ ≈600﹣ ×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）． …8 分 答：岛屿两端 A．B 的距离为 542.3 米． …9 分 20. （2012 黄石）（本小题满分 8 分）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意 图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和CD（均与水平面垂直）， 再将集热板安装在 AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为 1 ， D D 且在水平线上的射影 AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为 2 ，并已知 1tan 1.082  ， 2tan 0.412  。如果安装工人确定支架 AB 高为 25cm ，求支架CD 的 高（结果精确到1cm ）？ 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】过 A 作 AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定 义用θ1、θ2 表示出 DF、EF 的值，再根据 DC=DE+EC 进行解答即可． 【解答】解：如图所示，过点 A 作 AE ∥ BC ，则 2EAF CBG     ， 且 25BC AB cm  ································································· （２分） 在 Rt △ ADF 中： 1tanDF AF  ···············································（1 分） 在 Rt △ EAF 中, 2tanEF AF  ·············································· （１分） ∴ 1 2(tan tan )DE DF EF AF      又∵ 140AF cm ， tan 1 1.082  ， 2tan 0.412  ∴ 140(1.082 0.412) 93.8DE    ···············································（2 分） ∴ 93.8 25 118.8 119( )CD DE CE cm      ···························（１分） 答：支架CD 的高约为119cm ． （1 分） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形， 利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键． 21．（2012 广安）如图，2012 年 4 月 10 日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中 国海监船在 A 地侦查发现，在南偏东 60°方向的 B 地，有一艘某国军舰正以每小时 13 海里 的速度向正西方向的 C 地行驶，企图抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民，此时，C 地位于中国 海监船的南偏东 45°方向的 10 海里处，中国海监船以每小时 30 海里的速度赶往 C 地救援我 国渔民，能不能及时赶到？（ ≈1.41， ≈1.73， =2.45）． A B D E C F1 2 G 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。 专题： 探究型。 分析： 过点 A 作 AD⊥BC 的延长线于点 D，则△ACD 是等腰直角三角形，根据 AC=10 海 里可求出 AD 即 CD 的长，在 Rt△ABD 中利用锐角三角函数的定义求出 BD 的长进 而可得出 BC 的长，再根据中国海监船以每小时 30 海里的速度航行，国军舰正以每 小时 13 海里的速度即可得出两军舰到达 C 点所用的时间，进而得出结论． 解答： 解：过点 A 作 AD⊥BC 的延长线于点 D， ∵∠CAD=45°，AC=10 海里， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴AD=CD= = =5 （海里）， 在 Rt△ABD 中， ∵∠DAB=60°， ∴BD=AD•tan60°=5 × =5 （海里）， ∴BC=BD﹣CD=（5 ﹣5 ）海里， ∵中国海监船以每小时 30 海里的速度航行，某国军舰正以每小时 13 海里的速度航 行， ∴海监船到达 C 点所用的时间 t= = = （小时）； 某国军舰到达 C 点所用的时间 i= = ≈ =0.4（小 时）， ∵ ＜0.4， ∴中国海监船能及时赶到． 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直 角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键． 22．（2012 张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造 出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15 千米，CD= 千米， 请据此解答如下问题： （1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据 ≈1.414， ） （2）求∠ACD 的余弦值． 考点：解直角三角形的应用。 解答：解：（1）连接 AC ∵AB=BC=15 千米，∠B=90° ∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15 又∵∠D=90° ∴AD= = =12 （千米） …2 分 ∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S△ABC+18 ≈157（平方千米） …6 分 （2）cos∠ACD= = = …（8 分） 23．（2012 天门）如图，海中有一小岛 B，它的周围 15 海里内有暗礁．有一货轮以 30 海里 /时的速度向正北航行半小时后到达 C 处，发现 B 岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行 有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.7， ≈1.4） 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。 分析： 作 BD⊥AC 于点 D，在直角三角形 ABD 和直角三角形 CBD 中求得点 B 到 AC 的距 离，继而能判断出有无危险． 解答： 解：作 BD⊥AC 于点 D． 设 BD=x 海里，则 在 Rt△ABD 中，tan30°= ， ∴AD= ． 在 Rt△CBD 中，tan45°= ， ∴CD=x．…2 分 ∴AC=AD﹣CD= ． ∵AC=30× =15， ∴ =15， ∴x≈21.4． 21.4 海里＞15 海里． 答：没有触礁的危险． 点评： 本题考查解直角三角形的应用，有一定难度，要注意已知条件的运用，根据三角函 数关系求答． 24．（2012 苏州）如图，已知斜坡 AB 长 60 米，坡角（即∠BAC）为 30°，BC⊥AC，现计 划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一 条新的斜坡 BE．（请讲下面 2 小题的结果都精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.732）． （1）若修建的斜坡 BE 的坡角（即∠BEF）不大于 45°，则平台 DE 的长最多为 11.0 米； （2）一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远（即 AG=27 米），小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角（即∠HDM）为 30°．点 B、C、A、G、H 在同一个平面内，点 C、A、G 在同一 条直线上，且 HG⊥CG，问建筑物 GH 高为多少米？ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。 分析： （1）根据题意得出，∠BEF 最大为 45°，当∠BEF=45°时，EF 最短，此时 ED 最长， 进而得出 EF 的长，即可得出答案； （2）利用在 Rt△DPA 中，DP= AD，以及 PA=AD•cos30°进而得出 DM 的长，利用 HM=DM•tan30°得出即可． 解答： 解：（1）∵修建的斜坡 BE 的坡角（即∠BEF）不大于 45°， ∴∠BEF 最大为 45°， 当∠BEF=45°时，EF 最短，此时 ED 最长， ∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30， ∴BF=EF= BD=15，[来源:www.shulihua.net] DF=15 ， 故：DE=DF﹣EF=15（ ﹣1）≈11.0； （2）过点 D 作 DP⊥AC，垂足为 P． 在 Rt△DPA 中，DP= AD= ×30=15， PA=AD•cos30°= ×30=15 ． 在矩形 DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=15 +27， 在 Rt△DMH 中， HM=DM•tan30°= ×（15 +27）=15+9 ． GH=HM+MG=15+15+9 ≈45.6． 答：建筑物 GH 高为 45.6 米． 点评： 此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐 角三角函数得出是解题关键． 25．（2012 云南）如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30°，荷塘另一 端 D 与点 C、B 在同一直线上，已知 AC=32 米，CD=16 米，求荷塘宽 BD 为多少米？（取 ，结果保留整数） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 1052629 分析： 根据已知条件转化为直角三角形 ABC 中的有关量，然后选择合适的边角关系求得 BD 的长即可． 解答： 解：由题意知：∠CAB=60°，△ABC 是直角三角形， 在 Rt△ABC 中，tan60°= ， 即 = ，…（2 分） ∴BC=32 …（4 分） ∴BD=32 ﹣16≈39…（5 分） 答：荷塘宽 BD 为 39 米．…（6 分） 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关 量转化为直角三角形 ABC 中的有关元素． 26．（2012 岳阳）九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点 A 处测得一棵大树顶点 C 的仰角为 30°，树高 5m；今年他们仍在原点 A 处测得大树 D 的仰角 为 37°，问这棵树一年生长了多少 m？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.732） 考点： 解直角三角形的应用-仰角 俯角问题。 1052629 分析： 由题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，然后分别在 Rt△ABC 与 Rt△DAB 中，利用正切函数求解即可求得答案． 解答： 解：根据题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m， 在 Rt△ABC 中，AB= = =5 （m）， 在 Rt△DAB 中，BD=AB•tan37°≈5 ×0.75≈6.495（m）， 则 CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495（m）． 答：这棵树一年生长了 1.495m． 点评： 本题考查仰角的定义．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三 角形是解此题的关键． 27．（2012 泰州）如图，一居民楼底部 B 与山脚 P 位于同一水平线上，小李在 P 处测得居民楼 顶 A 的仰角为 60°，然后他从 P 处沿坡角为 45°的山坡向上走到 C 处，这时 ，PC=30 m，点 C 与点A 恰好在同一水平线上，点 A、B、P、C 在同一平面内． （1）求居民楼 AB 的高度； （2）求 C、A 之间的距离． （精确到 0.1m，参考数据： 41.12  , 73.13  , 45.26  ） 【答案】解：（1）过点 C 作 CE⊥BP 于点 E， 在 Rt△CPE 中，∵PC=30m，∠CPE=45°， ∴ CEsin45 PC   。 ∴CE=PC•sin45°=30× 2 =15 22 （m）。 ∵点 C 与点 A 在同一水平线上， ∴AB=CE=15 2 ≈21.2（m）。 答：居民楼 AB 的高度约为 21.2m。 （2）在 Rt△ABP 中，∵∠APB=60°，∴ ABtan60 BP   。 ∴ AB 15 2BP = =5 6tan60 3   （m）。 ∵PE=CE=15 2 m， ∴AC=BE=15 2+5 6 ≈33.4（m）。 答：C、A 之间的距离约为 33.4m。 （2）在 Rt△CPE 中，由 ABtan60 BP   得出 BP 的长，从而得出 PE 的长，即可得出答案。 28.（2012 内江）（9 分）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的 横截面是梯形 ABCD .[如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米， 060 ,B  背水坡面CD 的长为16 3 米，加固后大坝的横截面积为梯形 ,ABED CE 的长为 8 米。 （1）已知需加固的大坝长为 150 米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面 DE 的坡度。 【解析】：（1）∵作 AM BC 于 M ，作 DN BC 于 N ， 则∵ Rt ABM 中 016 , 60AB B  米 ∴  0sin 16sin 60 8 3AM AB B   米 又∵ 8CE  米 ∴  1 1 8 8 3 32 32 2CDES CE AM      2米 又∵需加固的大坝长为 150 米， ∴需要填土石方为  150 4800 3CDEV S  3米 （2）∵ Rt DCN 中 8 3DN AM  ， 16 3CD  ∴ 030 , 24DCN CN   ∴  24 8 32NE NC CE     米 ∴ Rt DNE 中 8 3 3tan 32 4 DNE NE    答：（1）已知需加固的大坝长为 150 米，求需要填土石方 4800 3 3米 （2）加固后的大坝背水坡面 DE 的坡度为 3 4 。 【考点】：本题考查梯形的常见辅助线添法，梯形、三角形的面积公式，以及坡度的定义， 要求较强的转化、计算能力。 29. （2012 吉林）如图，沿 AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另 一边寻找点 E 同时施工．从 AC 上的一点 B 取 127ABD   ，沿 BD 方向前进，取 37BDE   ，测得 520BD m ，并且 AC 、 BD 和 DE 在同一平面内． (1)施工点 E 离 D 多远正好能使 , ,A C E 成一直线（结果保留整数）； (2)在(1)的条件下，若 80BC m ,求公路CE 段的长（结果保留整数） （参考数据：sin37 0.60  ， cos37 0.80  ， tan37 0.75  ） [答案] （1） 416m ；（2） 232m . [考点] 锐角三角函数：已知一边及一锐角解直角三角形. [解析]（1） B 在 AC 上， 127ABD   ， 53ABD   ， 要使 , ,A C E 成一直线.只要 90BED   .即 BED .为直角三角形即可，此时，施 工点 E 离 D 的距离为 cos37 520 0.80 416( )BD m     . （2）已知一边及一锐角解直角三角形 BED ，得 sin37 520 0.60 80 232( )CE BE BC BD BC m         30. （2012 广元）如图，A，B 两座城市相距 100 千米，现计划要在 两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段 AB）。经测量，森 林保护区中心 P 点在 A 城市的北偏东 30°方向，B 城市的北偏西 45°方向上。已知森林 保护区的范围在以 P 为圆心，50 千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高 等级公路会不会穿越保护区？为什么？ 【答案】解：作点 P 到直线 AB 的垂线段 PE，则线段 PE 的长，就是点 P 到直线 AB 的距离， 根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°， 则在 Rt△PAE 和 Rt△PBE 中， 3AE PE tan APE PE tan30 PE3        ， BE=PE， 而 AE+BE=AB， 即 3( 1)PE 1003   ， ∴PE= 50(3 3) ， ∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径 50 千米， ∴公路不会穿越保护区。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】过点 P 作 PE⊥AB，E 是垂足．AE 与 BE 都可以根据三角函数用 PE 表示出来．根 据 AB 的长，得到一个关于 PE 的方程，解出 PE 的长．从而判断出这条高速公路会不 会穿越保护区。 2011 年全国各地中考数学真题解析汇编 第 30 章 解直角三角形 一、选择题 1.（浙江宁波 3 分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 h ，滑梯的坡角为 ，那么滑梯长l 为 (A) sin h  (B) tan h  (C) cos h  (D) sinh  【答案】A。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），三角函数定义。 【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角  的正弦等于对边比斜边求出滑梯长 l ： ∵ sin h l   ，∴ sin hl  。故选 A。 2.（广西北海 3 分）如图所示，渔船在 A 处看到灯塔 C 在北偏东 60º方向上， 渔船向正东方向航行了 12 海里到达 B 处，在 B 处看到灯塔 C 在正北方向上， 这时渔船与灯塔 C 的距离是 A．12 3海里 B．6 3海里 C．6 海里 D．4 3海 里 【答案】D。 【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值。 【 分 析 】 由 已 知 ， 可 知 ∠ABC ＝ 90º ， ∠BAC ＝ 30º ， AB ＝ 12 ， 所 以 BC ＝ 3AB tan BAC 12 4 33      ，故选 D。 3.（湖南衡阳 3 分）如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ， 堤高 BC=5cm，则坡面 AB 的长是 A、10m B、10 3 m C、15m D、5 3 m 【答案】A。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，含 30 度角直角三角形的 性质。 【 分 析 】 河 堤 横 断面 迎 水 坡 AB 的 坡 比 是 1 ： 3 ， 即 BC 3 AC 3= ， ∴∠BAC=30° ， ∴AB=2BC=2×5=10。故选 A。[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 4.（山东滨州 3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边 AC 的长约为（精 确到 0.1） A、9.1 B、9.5 C、3.1 D、3.5 【答案】C。 【考点】解直角三角形。 【分析】在 Rt△ABC 中，根据三角函数的定义有 cosA＝ AC AB ，∴ AC＝AB•cosA＝ 10·cos72°≈3.1。故选 C。 5.（山东东营 3 分）河堤横断面如图所示．堤高 BC=5，迎水坡 AB 的坡比是1: 3 (坡比是 坡面的铅直高度 BC 与水乎宽度 AC 之比)．则 AC 的长是 A，5 3 米 8．10 米 C. 15 米 D．10 3 米 【答案】A。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。 【分析】由已知 BC：AC＝1: 3 ，即 tanA＝1: 3 ；由正切函数的定义，tanA＝ BC AC ，而 BC=5 米，从而 AC＝ BC tanA ＝ 5 3 米。故选 A。 6.（山东潍坊 3 分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线 长、线与地面 夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是. 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60° A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），特殊角的三角函数，无理数的大小比较。 【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可： 如图， 甲 中 ， AC=140 ， ∠C=30° ， AB=140×sin30°=70= 4900 ； 乙 中 ， DF=100 ， ∠C=45° ， DE=100×sin45°=50 2 = 5000 ；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°= 95 22 = 4512.5 ；丁中，JL=90，∠C=60°， JK=90 ×sin60°=45 3 = 6075 。∵ 4512.5 ＜ 4900 ＜ 5000 ＜ 6075 ，∴GH＜AB＜DE＜JK。 可见丁同学所放的风筝最高。故选 D。 7.（湖北荆门 3 分）在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则 sinB 的值是 A. 5 17 14 B. 3 5 C. 21 7 D. 21 14 【答案】D。 【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】作 CD⊥BD，交 BA 的延长线于 D， ∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°。 ∴2AD=AC=2。∴AD=1，CD= 3 。∴BD=5，∴BC=2 7 。 ∴sinB= CD 3 21 BC 142 7   。 故选 D。 8.（内蒙古乌兰察布 4 分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光线 AB,AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8 0 和 10 0 ，大灯 A 与地面离地面的距离为 lm 则该车大灯照 亮地面的宽度 BC 是 ▲ m .（不考虑其它因素） 【答案】 7 5 。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D。由锐角三角函数定义，得 BC＝BD－CD＝ 0 0 AD AD 28 7 7AD 7 1tan8 tan10 5 5 5= = =      。 9.（四川绵阳 3 分）周末，身高都为 1.6 米的小芳、小丽来到溪江公园， 准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在 A 处测得她看 塔顶的仰角 为 45，小丽站在 B 处（A、B 与塔的轴心共线）测得她看 塔顶的仰角 为 30．她们又测出 A、B 两点的距离为 30 米．假设她们的 眼睛离头顶都为 10 cm，则可计算出塔高约为（结果精确到 0.01，参考 数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732） A．36.21 米 B．37.71 米 C．40.98 米 D．42.48 米 【答案】D。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题） 【分析】：已知小芳站在 A 处测得她看塔顶的仰角α为 45°，小丽站在 B 处（A、B 与塔的 轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为 30°，A、B 两点的距离为 30 米．假设她们的眼睛离头 顶都为 10cm，所以设塔高为 x 米，则得： 1.6 0.1 3  tan301.6 0.1 30 3 x x        ，解得： x ≈42.48。 故选 D。 10.（青海西宁 3 分）某水坝的坡度 i＝1: 3，坡长 AB＝20 米，则坝的高度为 A．10 米 B．20 米 C．40 米 D．20 3米 【答案】A。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理。 【分析】如图：∵坡度 i=1： 3，∴设 AC=x，BC= 3x， 根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2，则 x2+（ 3x）2=202，解得 x=10。故选 A。 11.（贵州毕节 3 分）如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子 从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向 上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 200，若楔子沿水平方 向前移 8cm(如箭头所示)，则木桩上升了 A、 20tan8 B、 20tan 8 C、 20sin8 D、 20cos8 BA 【答案】A。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°。故选 A。 二、填空题 1.（天津 3 分）如图，AD，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD， 交 AC 于点 B．若 OB=5，则 BC 的长等于 ▲ 。 【答案】5。 【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。 【 分 析 】 ∵ 在 Rt△ABO 中 ， 0 0 OB 5 OB 5AO 5 3,AB 10tan CAD tan30 sin CAD sin30C        ， ∴AD=2AO=10 3 。 连接 CD，则∠ACD=90°。 ∵在 Rt△ADC 中， 0AC ADcos CAD 10 3 cos30 15    ， ∴BC=AC－AB=15－10=5。 2．（重庆潼南 4 分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点 O 为圆心， AD 长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O 的切线 BD（点 D 为切点）上选择相距 300 米的 B、C 两点，分别测得 ∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径 AD= ▲ 米．（结果精确到 1 米） （参考数据： 2 1.414  ,   3 1.732  ） 【答案】260。 【考点】解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义，解分式方程。 【分析】设 CD= x ，则由∠ADC=90°，∠ACD=60°可得 AC=2 x ， AD= 3x ， 由 BC=300，得 BD=300＋ x ， 在 Rt△ABD 中， tinB= AD 3 BD 300 x x   ，∴ 3 3 3 300 x x   ，解并检验得： x =150。 ∴AD= 3x = 3 150 1.732 150 259.8 260     （米）。 故答案为：260 米． 3.（浙江义乌 4 分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中 AB、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC 的 长约是 25 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是 ▲ m． 【答案】5。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。 【分析】过点 C 作 AB 的延长线的垂线 CE，即乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h， ∵已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°－∠ABC=45°。 ∴CE=BC•sin∠CBE=5 2 ·sin45°= 25 2 52   。 ∴h=5。 4.（湖南岳阳 3 分）如图，在顶角为 30°的等腰三角形 ABC 中， AB=AC，若过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则∠BCD=15°．根据图形 计算 tan15°= ▲ ． 【答案】 2 3 。 【考点】解直角三角形，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】由已知设 AB=AC=2 x ， ∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD= 1 2 AC= x ，则 AD2=AC2﹣CD2=（2 x ）2﹣ x 2=3 x 2。 ∴AD= 3 x 。 ∴BD=AB﹣AD=2 x ﹣ 3 x =（2﹣ 3 ） x ， ∴tan15°=  2 3BD 2 3CD x = =x   。 5.（湖南株洲 3 分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚 A 出发， 沿与地面成 30 角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水 的王奶奶家（B 处），AB=80 米，则孔明从 A 到 B 上升的高度 BC 是 ▲ 米． 【答案】40。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），含 30°的角的直角三角形的性质。 【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题，利用“直角三角形中 30°的 角所对的直角边是斜边的一半”即可求得 BC=80× 12=40 米。 6.（江苏南通 3 分）如图，为了测量河宽 AB(假设河的两岸平行)， 测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽 AB 为 ▲ m(结果保留根号)． 【答案】A。 【考点】解直角三角形，特殊角三角函数，二次根式计算。 【分析】在 Rt∆ABD 和 Rt∆ABC 中 AB ABtan ADB  tan ACBDB CB     ， 0 0AB AB AB 3 AB 3 ABtan60  tan30 3   AB 60DB 60 DB DB 3 60 DB 3 3 3AB 60 3 AB 2AB 60 3 AB 30 3                      ， ， 。 7.（广东茂名 3 分）如图，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平 面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC= ▲ 米． 【答案】100。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】∵在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B， 并测得它的俯角为 45°， ∴船与观测者之间的水平距离 BC=AC=100 米。 8. （湖北襄阳 3 分）在 207 国道襄阳段改造工程中，需沿 AC 方向开山修路（如图所示）， 为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从 AC 上的一点 B 取 ∠ABD=140°，BD=1000m，∠D=50°．为了使开挖点 E 在直线 AC 上，那么 DE= ▲ m． （供选用的三角函数值：sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，tan50°=1.192） 【答案】642.8 。 【考点】解直角三角形的应用，平角定义，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。 【分析】先判断出△BED 的形状，再根据锐角三角函数的定义解答即可： ∵∠ABD=140°，∴∠DBE=180°﹣140°=40°。 ∵∠D=50°，∴∠E=180°﹣∠DBE﹣∠D=180°﹣40°﹣50°=90°。 ∴DE =BD·cos∠D=1000×cos50°=1000×0.6428=642.8 （m）。 9.（湖北黄冈、鄂州 3 分）如图，在△ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC=2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF，△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF，S△BEF， 且 S△ABC=12，则 S△ADF﹣S△BEF= ▲ ． 【答案】2。 【考点】三角形的面积。 【分析】∵点 D 是 AC 的中点，S△ABC=12，∴S△ABD= 1 2 ×12=6。 ∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE= 1 3 ×12=4。 ∴S△ADF﹣S△BEF=S△ABD﹣S△ABE=6﹣4=2。 10.（甘肃兰州 4 分）某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度 i=1： 3 ，坝外斜坡的 坡度 i=1：1，则两个坡角的和为 ▲ ． 【答案】75°。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），坡度计算，特殊角的三角函数值。 【分析】坝内斜坡的坡度 i=1： 3 ，说明 tga=，则 a=30° 外斜坡的坡度 i=1：1，说明 tgv=1， v=450，两角和为 75°。 11.（福建三明 4 分）如图，小亮在太阳光线与地面成 35°角时，测 得树 AB 在地面上的影长 BC=18m，则树高 AB 约为 ▲ m（结 果精确到 0.1m） 【答案】12.6。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】利用所给角的正切函数求解：∵tanC AB BC  ，∴AB= BC ·tanC=18×tan35°≈12.6（米）。 一般角的三角函数值需要利用计算器计算。 12.（福建莆田 4 分）如图，线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC， DC⊥BC，两建筑物间距离 BC=30 米，若甲建筑物高 AB=28 米，在点 A 测得 D 点的仰 角α=45°，则乙建筑物高 DC= ▲ 米。 【答案】58。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质。。 【分析】过点 A 作 AE⊥CD 于点 E． 根据题意，得∠DAE=45°，AE=DE=BC=30， ∴DC=DE＋EC=DE＋AB=30＋28=58（米）。 13.（福建莆田 4 分）如图，一束光线从点 A（3, 3）出发，经过 y 轴上的点 C 反射后 经过点 B（1, 0），则光线从 A 到 B 点经过的路线长是 ▲ 。 【答案】5。 【考点】解直角三角形的应用，轴对称的性质，勾股定理。 【分析】如图，延长 AC 交 x 轴于 B′， 则根据光的反射原理点 B、B′关于 y 轴对称，CB=CB′。 作 AD⊥x 轴于 D 点，则 AD=3，DB′=3+1=4， ∴由勾股定理可得 AB′= 2 2 2 2AD +DB 3 4 5    。 即光线从点 A 到点 B 经过的路径长为 5。 三、解答题 1.（北京 5 分）如图，在△ABC，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E， 点 F 在 AC 的延长线上，且∠CBF= 1 2 ∠CAB． （1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线； （2）若 AB=5，sin∠CBF= 5 5 ，求 BC 和 BF 的长． 【答案】解：（1）证明：连接 AE。∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°。 ∴∠1+∠2=90°。 ∵AB=AC，∴∠1= 1 2 ∠CAB。 ∵∠CBF= 1 2 ∠CAB，∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。 ∵AB 是⊙O 的直径，∴直线 BF 是⊙O 的切线。 （2）过点 C 作 CG⊥AB 于点 G。 ∵sin∠CBF= 5 5 ，∠1=∠CBF，∴sin∠1= 5 5 。 ∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1= 5 。 ∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2 5 。 在 Rt△ABE 中 ， 由 勾 股 定 理 得 AE=2 5 ， ∴sin∠2= 2 55 ，cos∠2= 5 5 。 在 Rt△CBG 中，可求得 GC=4，GB=2，∴AG=3。 ∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。∴ GC AG BF AB  。∴ GC AB 20BF AG 3   。 【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三 角形。 【分析】（1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角 三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°。 （2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。 2.（天津 8 分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点 A 与望海楼 B 的距离为 300 m．在一处测得望海校 B 位于 A 的北偏东 30°方向．游轮沿正北方向行驶一段 时间后到达 C．在 C 处测得望海楼 B 位于 C 的北偏东 60°方向．求此时游轮与望梅楼之间 的距离 BC ( 3 取 l.73．结果保留整数)． 【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点 B 作 BD⊥AC 交 AC 的延长线 于点 D。 在 Rt△ADB 中，∵ ∠BAD=300，∴ 1 1BD AB 300 1502 2     。 在 Rt△CDB 中， 0 BD 150 300BC = 173sin DCB sin60 3    。 答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为 173 m。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】要求 BC 的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点 B 作 BD⊥AC 交 AC 的延长线于点 D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求 BD 再求出 BC。 3.（重庆綦江 6 分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕 CD，点 A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端 D 处的仰角为 30°，然后他正对屏幕方向前进了 6 米到达 B 处，又测 得该屏幕上端 C 处的仰角为 45°，延长 AB 与楼房垂直 相交于点 E，测得 BE=21 米，请你帮小刚求出该屏幕上 端与下端之间的距离 CD．（结果保留根号） 【答案】解：∵∠CBE=45°，CE⊥AE，∴CE=BE =21。∴AE=AB+BE=21+6=27。 在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°，DE=AE·tan30°=27× 3 3 =9 3 ， ∴CD=CE﹣DE=21﹣9 3 。 ∴广告屏幕上端与下端之间的距离约为 21﹣9 3 m。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】易得 CE=BE，利用 30°的正切值即可求得 CE 长，从而可求得 DE 长．CE 减去 DE 长即为广告屏幕上端与下端之间的距离。 4.（浙江绍兴 8 分）为倡导“低碳生活”，常选择以自 行车作为 代步工具，如图 1 所示是一辆自行车的实 物图．车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm，60cm， 且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20cm，点 A，C， E 在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图 2． （1）求车架档 AD 的长； （2）求车座点 E 到车架档 AB 的距离． （结果精确到 1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321） 【答案】解：（1）AD= 2 245 60 75  ， ∴车架当 AD 的长为 75cm。 （2）过点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F， 距离 EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63cm。 ∴车座点 E 到车架档 AB 的距离是 63cm。 【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数。[来源:学§科§网] 【分析】（1）在 Rt△ACD 中利用勾股定理求 AD 即可。 （2）过点 E 作 EF⊥AB，在 Rt△EFA 中，利用三角函数求 EF=AEsin75°，即可得到答案。 5.（浙江金华、丽水 6 分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当 50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现 在有一长为 6 米的梯子 AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的 顶端能达到的最大高度 AC． （ 结 果 保 留 两 个 有 效 数 字 ， sin70°≈0.94 ， sin50°≈0.77 ， cos70°≈0.34，cos50°≈0.64） 【答案】解：当α=70°时，梯子顶端达到最大高度， ∵sinα= AC AB ，∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6（米）． 答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约 5.6 米。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），有效数字。 【分析】易知α越大，梯子顶端达到最大高度，利用 70°正弦值可得最大高度 AC。 6.（浙江台州 10 分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为 要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出 BE、CD 的长度 (精确到个位， 3 ≈1.7)． 【答案】解：由∠ABC＝120º可得∠EBC＝60º。 在 Rt△BCE 中，CE＝51，∠EBC＝60º， ∴tan60º＝CE BE ， BE＝ CE tan60º ＝ 51 tan60º ≈30 。 在矩形 AECF 中，由∠BAD＝45º，得∠ADF＝∠DAF＝45º 。 ∴DF＝AF＝51。∴FC＝AE＝34＋30＝64。∴CD＝FC－FD≈64－51＝13。[来 源:www.shulihua.net] 因此 BE 的长度约为 30cm，CD 的长度约为 13cm 。 【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数。 【分析】在 Rt△BCE 中，CE=51，∠EBC=60°，求得 BE，在矩形 AECF 中，由∠BAD-45°， 从而求得 DF=AF=51，从而求得 BE，CD 的长度。 7.（浙江省 10 分）图 1 为已建设封顶的 16 层楼 房和其塔吊图，图 2 为其示意图，吊臂 AB 与地 面 EH 平行，测得 A 点到楼顶 D 的距离为 5m， 每层楼高 3.5m，AE、BF、CH 都垂直于地面． (1)求 16 层楼房 DE 的高度； (2)若 EF=16m，求塔吊的高 CH 的长（精确到 0.1m）. 【答案】解：(1)据题意得：DE=3.5×16=56。 (2)AB=EF=16。 ∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠CAB。∴CB=AB=16。 ∴CG=BC×sin30°= 8。∴CH=CG＋HG=CG＋DE＋AD=8＋56＋5=69。 ∴塔吊的高 CH 的长为 69.0m。 【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，特殊角 三角函数值。 【分析】(1) 每层楼高×层数即得。 (2)要求 CH 的长，求出 CG 即可，解直角三角形 CBG 即可得。 8.（辽宁沈阳 10 分）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程， 绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点 O 距离地面的 高 OO′=2 米．当吊臂顶端由 A 点抬升至 A′点（吊臂长度不变）时， 地面 B 处的重物（大小忽略不计）被吊至 B′处，紧绷着的吊缆 A′B′=AB．AB 垂直地面 O′B 于点 B，A′B′垂直地面 O′B 于点 C， 吊臂长度 OA′=OA=10 米，且 cosA= 3 5 ，sinA′= 1 2 ． ⑴求此重物在水平方向移动的距离 BC； ⑵求此重物在竖直方向移动的距离 B′C．（结果保留根号） 【答案】解：⑴过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，交 A′C 于点 E。 根据题意可知 EC=DB=OO′=2，ED=BC， ∴∠A′ED=∠ADO=90°。 在 Rt△AOD 中，∵cosA= AD 3 OA 5  ，OA=10， ∴AD=6。∴OD= 2 2OA AD =8。 在 Rt△A′OE 中，∵sinA′= OE 1 OA 2  ，OA′=10， ∴ OE=5。∴BC=ED=OD－OE=8－5=3。 ⑵在 Rt△A′OE 中，A′E= 2 2A O OE  = 5 3 。 ∴B′C=A′C－A′B′=A′E＋CE－AB=A′E＋CE－（AD＋BD） =5 3 ＋2－（6＋2）= 5 3 －6。 答：此重物在水平方向移动的距离 BC 是 3 米，此重物在竖直方向移动的距离 B′C 是 （ 5 3 －6）米。 【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数。 【分析】（1）先过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，交 A′C 于点 E，则得出 EC=DB=OO′=2，ED=BC， 通过解直角三角形 AOD 和 A′OE 得出 OD 与 OE，从而求出 BC。 （2）先解直角三角形 A′OE，得出 A′E，然后求出 B′C。 9.（辽宁大连 12 分）如图，某建筑物 BC 上有一旗杆 AB，小明在与 BC 相距 12m 的 F 处，由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52°、底部 B 的仰角为 45°，小明的 观测点与地面的距离 EF 为 1.6m． 求建筑物 BC 的高度； ⑵求旗杆 AB 的高度． （结果精确到 0.1m．参考数据： 2 ≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28） 【答案】解：（1）过点 E 作 ED⊥BC 于 D， ∵底部 B 的仰角为 45°，即∠BED=45°， ∴∠EBD=45°。∴BD=ED=FC=12。 ∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6。 答：建筑物 BC 的高度为 13.6m。 （2）∵由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52°，即∠AED=52°， ∴AD=ED•tan52°≈12×1.28≈15.4。 ∴AB=AD－-BD=15.4－12=3.4。 答：旗杆 AB 的度约为 3.4m。 【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数。 【分析】（1）先过点 E 作 ED⊥BC 于 D，由已知底部 B 的仰角为 45°得 BD=ED=FC=12， DC=EF=1.6，从而求出 BC。 （2）由已知由 E 点观测到旗杆顶部 A 的仰角为 52°可求出 AD，则 AB=AD－BD。 10.（辽宁本溪 10 分）如图，港口 B 在港口 A 的西北方向，上午 8 时，一艘轮船从港口 A 出发，以 15 海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口 B 出发也向正北方 向航行，上午 10 时轮船到达 D 处，同时快艇到达 C 处，测得 C 处在 D 处得北偏西 30° 的方向上，且 C、D 两地相距 100 海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到 0.1 海里∕时，参考数据 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 【答案】解：过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 F，过点 A 作 CB 的垂线，交 CB 的延长线于点 E。 在Ｒt △CDF 中，∵∠CDF=30°，∴CF= 1 2 CD=50。 DF=CD•cos30°=50 3 。 ∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE，∴∠CEA=∠EAF=∠AFC=90°。 ∴四边形 AECF 是矩形。∴AE=CF=50，CE=AF。 在Ｒt △AEB 中，∠EAB=90°-45°=45°，∴BE=AE=50。 ∴CB=AD+DF－BE=15 (10 8) 50 3 50 50 3 20      。 ∴ (50 3 20) 2 25 3 10 33.3     （海里/时）。 答：快艇每小时航行 33.3 海里∕时。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定 和性质。 【分析】由已知先构建Ｒt △CFD 和矩形 AEFC，能求出 CF 和 FD，已知测得 C 处在 D 处 得北偏西 30°的方向上，港口 B 在港口 A 的西北方向，所以 BE=AE=CF，由已知求出 AE， 则能求出 BC，从而求出答案。 11．（辽宁丹东 10 分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的 高度，已知 CD=2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°， ∠DBH=60°，AB=l0m．请你根据以上数据计算 GH 的长。 ( 3 ≈1.73．要求结果精确到 0.1m) 【答案】解：延长 CD 交 AH 于点 E，易知∠AEC＝90°，设 GH＝CE＝ x ，则 DE＝ x －2。 在 Rt△BED 中， 0 DE 2BE tan60 3 x   ，则 AE＝AB＋BE＝10＋ 2 3 x  。 在 Rt△AEC 中， 0 2 3CE AE tan30 10 33 x         ， 即 2 310 33 xx       ， 解得 5 3 1 7.7x    。 ∴GH 的长为 7.7 m。 12.（辽宁抚顺 10 分）如图，在斜坡 AB 上有一棵树 BD，由于受台风影响而 倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上 C 点处测得树顶部 D 的仰角为 60°，测得 坡角∠BAE＝30°，AB＝6 米，AC＝4 米．求树高 BD 的长是多少米？(结果保 留根号) 【答案】解：延长 DB 交 AE 于 F，由题可得 BD⊥AB。 在 Rt△ABF 中∠BAF＝30°，AB＝6， ∴ BF＝AB·tan∠BAF＝6·tan30°＝2 3， AF＝ 0 AB 6 4 3cos BAF cos30   ， ∠DFC＝60°。 ∵ ∠C＝60°，∴ ∠C＝∠CFD＝∠D＝60°。 ∴ △CDF 是等边三角形。∴ DF＝CF＝AC＋AF＝4＋ 4 3 。 ∴ DB＝DF－BF＝（4＋ 4 3 ）－2 3＝2 3＋4。 答：树高 BD 的长是(2 3＋4)米。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质。 【分析】要求树高 BD，即要将它放到三角形中，故作辅助线：延长 DB 交 AE 于 F，这样 DB＝DF－BF。一方面在 Rt△ABF 中应用锐角三角函数可求得 BF 和 AF，另一方面可证 △CDF 是等边三角形。从而得求。 13.（吉林省 7 分）如图所示，为求出河对岸两棵树 A.B 间的距离，小坤在河岸上选 取一点 C，然后沿垂直于 AC 的直线的前进了 12 米到达 D，测得∠CDB=900。取 CD 的中点 E，测∠AEC=560, ∠BED=670，求河对岸两树间的距离（提示：过点 A 作 AF⊥BD 于点 F） (参考数据 sin560≈ 5 4 ,tan560 ≈ 2 3 ,sin670≈ 15 14 ,tan670≈ 3 7 ) 【答案】解：∵E 为 CD 中点，CD=12，∴CE=DE=6。 在 Rt△ACE 中，∵tan56°= AC CE ，∴AC=CE·tan56°≈6× 3 2 =9。 在 Rt△BDE 中，∵tan67°= BD DE ，∴BD=DE. tan67°=6× 7 3 =14 。 ∵AF⊥BD ，∴AC=DF=9，AF=CD=12。∴BF=BD-DF=14-9=5。 在 Rt△AFB 中，AF=12，BF=5， ∴ 2 2 2 2AB AF BF 12 5 13     。 ∴两树间距离为 13 米。 【考点】矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理。 【分析】利用锐角三角函数求出 AC，BD，即可在 Rt⊿AFB 中应用勾股定理求出 AB。 14.（吉林长春 5 分）平放在地面上的直角三角形铁板 ABC 的 一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角 A 为 54°，斜 边 AB 的长为 2.1m，BC 边上露出部分 BD 长为 0.9m．求铁板 BC 边被掩埋部分 CD 的长．（结果精确到 0.1m） 【参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38】 【答案】解：CD＝BC－BD＝AB•sin54°－BD＝2.1×0.81－0.9＝0.801≈0.8（m）。 A C B D E F· M 答：板 BC 边被掩埋部分 CD 的长为 0.8 m。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】首先根据三角函数求得 BC 的长，然后根据 CD＝BC－BD 即可求解。 15.（黑龙江大庆 6 分）如图，一艘轮船以 30 海里/小时的速度向正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30º方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 在 北偏西 45º方向．求当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时与灯塔 C 的距离(结果精确 到 0.1 海里，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)． 【答案】解：设 CD x 在 Rt △ BCD 中， 0CBD 45  得 BD CD x  ， ∵ AB 30 2 60   ，∴ AD 60 x  。 在 Rt △ACD 中， 0CAD 30  ，∴ 0tan30 60 x x   ，即 3 60 3 x x  。 解得 30 3 30x   。 ∴ CD 30 (1.73 1) 81.9    (海里)。 ∴当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，轮船与灯塔 C 的距离为 81.9 海里。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】因为 CD 是 Rt △CDB 和 Rt △ADC 的共有直角边，那么可用 CD 来表示出 AD 和 BD，再根据 AB 的长来求出 CD。 16.（广西贺州 7 分）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地， 如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡 AB 长为 26 米，坡角∠BAD＝68°．为 了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经 地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶到地面的距离 BE 的长（精确到 0.1 米）； （2）如果改造时保持坡脚 A 不动，坡顶 B 沿 BC 向左移 11 米到 F 点处， 问这样改造能确保安全吗？ （参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，sin 58°12’≈0.85，tan 49°30’≈1.17） 【答案】（1）解：在 Rt△ABE 中，AB＝26，∠BAD＝68° ，∴sin∠BAD＝BE AB 。 ∴BE＝AB·sin∠BAD＝26×sin 68°≈24.2 米。 （2）解：过点 F 作 FM⊥AD 于点 M，连结 AF。 ∵BE⊥AD，BC∥AD，BF＝11， ∴FM＝BE＝24.2，EM＝BF＝11。 在 Rt△ABE 中，cos∠BAE＝AE AB ， ∴AE＝AB·cos∠BAE＝26×cos 68°≈9.62 米。 ∴AM＝AE＋EM＝9.62＋11＝20.62 。 在 Rt△AFM 中，∴tan∠FAM＝FM AM ＝ 24.2 20.62≈1.17。 ∴∠FAM≈49°30’＜50° ， ∴这样改造能确保安全。 【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质。 【分析】（1）在 Rt△ABE 中，应用锐角三角函数直接可求 BE 的长。 （2）这样改造能否确保安全，只要∠FAM＜50°即安全，否则不安全。因此解 Rt△ABE 即可。 17.（广西崇左 12 分）2011 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了 9.0 级大地震，伴随着就是 海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折 断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角 ∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的 角∠ADC=60°，AD=4 米. （1）求∠DAC 的度数； （ 2 ） 求 这 棵 大 树 折 断 前 高 是 多 少 米 ？ （ 注 ： 结 果 精 确 到 个 位 ） （ 参 考 数 据 ： 2 1.4, 3 1.7, 6 2.4   ） 【答案】解：（1）∵∠GAE＝90°－∠AEG＝90°－23°＝67°， ＝∠DAC＝180°－∠BAC－∠GAE ＝180°－38°－67°＝75°； （2）过点 A 作 CD 的垂线，设垂足为 H， 则在 Rt△ADH 中，∵∠ADC＝60°，AD＝4， ∴DH＝2，AH＝ 2 3 。 在 Rt△ACH 中，∵∠C＝45°，∴CH＝AH＝ 2 3 ，AC＝ 2 6 。 ∴这棵大树折断前高为 AC＋CH＋DH＝ 2 6 ＋ 2 3 ＋2≈10 米.。 【考点】解直角三角形的应用，三角形内角和定理，特殊角三角函数。 A C B D E F· M 【分析】（1）通过延长 BA 交 EF 于一点 G，则∠CAD=180°-∠BAC-∠EAG 即可求得。 （2）作 AH⊥CD 于 H 点，作 CG⊥AE 于 G 点，先求得 CD 的长，然后再求得 CG 的长。 18.（广西柳州 8 分）在学习了解直角三角形的有关知识后，一学习小组到操场测量学校旗 杆的高度．如图， 在测点 D 处安置测倾器，测得旗杆顶的仰角∠ACE 的大小为 30º，量得仪器的高 CD 为 1.5 米，测点 D 到 旗杆的水平距离 BD 为 18 米，请你根据上述数据计算旗杆 AB 的高度（结 果精确到 0.1 米；参考数据 3≈1.73） 【答案】解：在 Rt△ACE 中，∠ACE＝30°，CE＝BD＝15， ∴tan∠ACE＝AE CE 。 ∴AE＝CE·tan∠ACE＝15·tan30°＝5 3。 ∴AB＝AE＋BE＝5 3＋1.5＝8.6＋1.5＝10.1（米） 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】在 Rt△ACE 中，已知角的邻边求对边，可以用正切求 AE，再加上 BE 即可。 19.（广西钦州 8 分）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地， 如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡 AB 长为 26 米，坡角∠BAD＝68°．为 了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经 地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶到地面的距离 BE 的长（精确到 0.1 米）； （2）如果改造时保持坡脚 A 不动，坡顶 B 沿 BC 向左移 11 米到 F 点处， 问这样改造能确保安全吗？ （参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48，sin 58°12’≈0.85，tan 49°30’≈1.17） 【答案】（1）解：在 Rt△ABE 中，AB＝26，∠BAD＝68° ，∴sin∠BAD＝BE AB 。 ∴BE＝AB·sin∠BAD＝26×sin 68°≈24.2 米。 （2）解：过点 F 作 FM⊥AD 于点 M，连结 AF。 ∵BE⊥AD，BC∥AD，BF＝11， ∴FM＝BE＝24.2，EM＝BF＝11。 在 Rt△ABE 中，cos∠BAE＝AE AB ， ∴AE＝AB·cos∠BAE＝26×cos 68°≈9.62 米。 ∴AM＝AE＋EM＝9.62＋11＝20.62 。 在 Rt△AFM 中，∴tan∠FAM＝FM AM ＝ 24.2 20.62≈1.17。 ∴∠FAM≈49°30’＜50° ， ∴这样改造能确保安全。 【考点】解直角三角形的应用，矩形的性质。 【分析】（1）在 Rt△ABE 中，应用锐角三角函数直接可求 BE 的长。 20.（广西梧州 8 分）如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水 平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长 CD=6m，坡角到楼房的距 离 CB=8m.在 D 点处观察点 A 的仰角为 540，已知坡角为 300，你能求出楼房 AB 的高度吗？ （tan54°≈1.38，结果精确到 0.1 m） 【答案】解：过 D 点作 DF⊥AB，交 AB 于点 F。 在 Rt△ECD 中，CD＝6，∠ECD＝30°，∴DE＝3＝FB，EC＝3 3。 ∴DF＝EC＋CB＝8＋3 3。 在 Rt△ADF 中，tan∠ADF＝AF DF ， ∴AF＝DF·tan54°＝（8＋3 3）×1.38≈18.20。 ∴AB＝AF＋FB=18.20＋3＝21.20≈21.2。 ∴楼房 AB 的高度约是 21.2m。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数。 【分析】分别在 Rt△ECD 和 Rt△ADF 中应用锐角三角函数解直角三角形即可求得。 21.（广西玉林、防城港 8 分）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离 地面的高度，他测得风筝的仰角为 60°，已知风筝线 BC 的长为 10 米，小强的身高 AB 为 1.55 米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精 确到 1 米，参考数据 2 ≈1.41， 3 ≈1.73 ） 【答案】解：根据题意画出图形，在 Rt△CEB 中，sin60°＝ CE BC ， ∴CE＝BC•sin60°＝10× 3 2 ≈8.65m。 ∴CD＝CE+ED＝8.65+1.55＝10.2≈10m， 答：风筝离地面的高度为 10m。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】根据题意画出图形，根据 sin60°＝ CE BC 可求出 CE 的长，再根据 CD＝CE＋ED 即可 得出答案。 22．（湖南长沙 9 分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通 道由两段互相平行并且与地面成 37°角的楼梯 AD、 BE 和一段水平平台 DE 构成。已知天桥高度 BC≈4.8 米，引桥水平跨度 AC=8 米。 （1）求水平平台 DE 的长度； （2）若与地面垂直的平台立枉 MN 的高度为 3 米，求两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比。 (参考数据：取 sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75) 【答案】解：（1）延长 BE 交 AC 于 F，过点 E 作 EG⊥AC，垂足为 G， 在 Rt△BCF 中， CF= BC 4.8 BC 4.86.4 BF 8tan37 0.75 sin37 0.6       ， ， ∴AF=AC－CF=8-6.4=1.6。 已知 BE∥AD，∴四边形 AFED 为平行四边形，∴DE=AF=1.6。 答：水平平台 DE 的长度为 1.6 米。 （2）在 Rt△EFG 中，EG=MN=3，∴ EG 3EF 5sin37 0.6    ，即 AD=5。 ∴BE=BF－EF=8－5=3。 所以两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比 5：3。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，平行四边形和矩形的判定和性质。 【分析】（1）首先由已知构造直角三角形如图，延长 BE 交 AC 于 F，过点 E 作 EG⊥AC， 垂足为 G，解 Rt△BCF 求得 CF，又由已知 BE∥AD，四边形 AFED 为平行四边形，所以 DE=AF=AC－CF。 （2）由四边形 EGNM 是矩形可得，EG=MN=3，解 Rt△EGF 可求出 EF，则 BE=BF －EF，而 AD=EF，从而求得两段楼梯 AD 与 BE 的长度之比。 23.（湖南常德 8 分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试， 永不言弃，（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部 A 处观察羊羊们时，发现 懒羊羊在大树底下睡觉，此时，测得懒羊羊所在地 B 处得俯角为 60°，然后下到 城堡的 C 处，测得 B 处得俯角为 30°。已知 AC=40 米，若灰太狼以 5m/s 的速度 从城堡底部 D 处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位） 【答案】解：在 Rt△BCD 中， ∵∠BCD=90°﹣30°=60°，∴ 0BD tan60CD  ，则 BD= 3 CD， 在 Rt△ABD 中， ∵∠ABD=60°，∴ 0AD tan60BD  ，即 40+CD 3 3CD  ，解得：CD=20， ∴t= 3CD 35 75 5   。 ∴约 7 秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】分别在直角三角形中表示出 BD，利用锐角三角函数求得 CD 的长即可。 24.（湖南湘潭 6 分）莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度， 如图，在 C 点测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°，向前走了 6 米到达 D 点，在 D 点测得旗杆顶端 A 的仰角为 60°（测角器的高度不计）． （1）AD= 米； （2）求旗杆 AB 的高度（ 3 173 ． ）． 【答案】解：（1）6。 （2）在 Rt△ABD 中，∵AD=6，∠ADB=60°， ∴AB= 0 3AD sin ADB 6 sin60 6 3 3 5 22 =       ．。 ∴旗杆 AB 的高度为 5.2 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），三角形外角定理，锐角三角函数，特殊角 三角函数值。 【分析】（1）∵∠DAC=∠ADB－∠C=60°－30°=30°，∴∠DAC=∠C。 ∴AD=CD=6。 （2）在 Rt△ABD 中，应用正弦函数定义即可求。 25.（湖南张家界 8 分）如图，某船由西向东航行，在点 A 测得小岛 O 在北偏东 60°，船航行了 10 海里后到达点 B，这时测得小岛 O 在北偏 东 45°,船继续航行到点 C 时，测得小岛 O 恰好在船的正北方，求此时 船到小岛的距离. 【答案】解：设 OC= x 海里，依题意得 BC=OC= x , AC = x3 ∴AC－BC=10，即（ 13  ） 10x ， 解得， )13(5 13 10   x 。 答：船与小岛的距离是 )13(5  海里。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】设 OC=x 海里，依题意得，BC=OC= x ，AC= x3 ，再根据 AC－BC=10 即可得 到关于 x 的一元一次方程，求出 x 的值即可。 26.（湖南益阳 8 分）如图，AE 是位于公路边的电线杆，为了使拉线 CDE 不影响 汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于撑起拉 线．已知公路的宽 AB 为 8 米，电线杆 AE 的高为 12 米，水泥撑杆 BD 高为 6 米， 拉线 CD 与水平线 AC 的夹角为 67.4°．求拉线 CDE 的总长 L（A、B、C 三点在同 一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）． (参考数据:sin67.4°≈ 12 13 ,cos67.4°≈ 5 13 ,tan67.4°≈ 12 5 ) 【答案】解：⑴在 Rt  DBC 中， BDsin DCB CD   ， ∴ BD 6 6CD 6.512sin DCB sin67.4 13      （m）。 作 DF⊥AF 于点 F，则四边形 ABDF 为矩形。 ∴DF=AB=8，AF=BD=6，∴EF=AE－AF=6。 在 Rt△EFD 中， 2 2 2 2ED EF DF 6 8 10   = 。 ∴L=10＋6.5=16.5。 答：拉线 CDE 的总长 L 为 16.5m。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质。 【分析】根据 BDsin DCB CD   ，得出 CD 的长，再根据矩形的性质得出 DF=AB=8，AF=BD=6， 从而得出拉线 CDE 的总长 L。 27.（湖南邵阳 8 分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨架设 旅游索道．设计人员为了计算索道 AB（索道起点为山脚 B 处，终点为山顶 A 处）的长度， 采取了如图所示的测量方法．在 B 处测得山顶 A 的仰角为 16°，查阅相关资料得山高 AC＝ 325 米，求索道 AB 的长度．（结果精确到 1 米） 参考数据 sin16°≈0.28 cos16°≈0.96 tan16°≈0.29 【答案】解：在 Rt△ABC 中，AC=325， ∠B =160，sin16°≈0.28， ∴ 0 ACsin16 AB  即 AB 0 AC 325AB sin16 0.28    ≈1161（米）。 答：索道 AB 的长度为 1161 米。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】在 Rt△ABC 中，直接应用正弦函数即可求解。 28.（湖南娄底 7 分）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸 BC 进行数 学实践活动，如图，河对岸有一水文站 A，小伟在河岸 B 处测 得∠ABD=45°，沿河岸行走 300 米后到达 C 处，在 C 处测得 ∠ACD=30°，求河宽 AD．（最后结果精确到 1 米．已知： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 6 ≈2.449，供选用） 【答案】解：如图，由图可知 AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，∠ACD=30°． 在 Rt△ABD 中，BD=AD． 在 Rt△ACD 中，CD= 3 AD。 设 AD= x ，则有 BD= x ，CD= 3 x ．依题意，得 BD+C D=300，即 x ＋ 3 x =300， ∴（1＋ 3 ）x =300，∴    300 150 3 1 150 1.732 1 109.8 110 1 3 x         （米）。 答：河宽 AD 约为 110 米。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】根据由图可知 AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，以及∠ACD=30°，利用 BD= x ， CD= 3 x ，即可得出 x ＋ 3 x =300，求出即可。 29.（江苏苏州 5 分）如图，小明在大楼 30 米高（即 PH＝30 米）的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角为 15°，山脚 B 处的俯角为 60°， 已知该山坡的坡度 i（即 tan∠ABC）为 1： 3 ，点 P、H、B、C、A 在 同一个平面上．点 H、B、C 在同一条直线上，且 PH⊥HC． (1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 ▲ 度； (2)求 A、B 两点间的距离（结果精确到 0.1 米，参考数据： 3 ≈1.732）． 【答案】解：(1)30。 (2) 设过点 P 的水平线为 PQ，则由题意得：∠QPA＝15°，∠QPB＝60°， ∵PQ∥HC，∴∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝∠QPB－∠QPA＝45°。 又∵ 1 3tan A B C 33    ，∴∠ABC＝30°。 ∴∠ABP＝180°－∠ABC －∠PBH＝90°。 ∴在 Rt△PBC 中，PB＝ 0 P H 30 20 3sin P B H sin 60   。 ∴在 Rt△PBA 中，AB＝PB＝ 20 3 34.6 。 答：A、B 两点间的距离约 34.6 米。 【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数, 三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定。 【分析】(1) 由 tan∠ABC 1 3 33   ，知∠ABC=300。 (2) 欲求 A、B 两点间的距离, 由已知可求得△PBA 是等腰直角三角形, 从而知 AB=PB。因此在 Rt△PBC 中应用三角函数求解即可。 30. (江苏无锡 9 分) 如图，一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行， 在航线 AB 的正下方有两个山头 C、D．飞机在 A 处时，测得山头 C、 D 在飞机的前方，俯角分别为 60°和 30°．飞机飞行了 6 千米到 B 处时， 往后测得山头 C 的俯角为 30°，而山头 D 恰好在飞机的正下方．求山 头 C、D 之间的距离． 【答案】解: 过 C 作 CE⊥AD，垂足为点 E。 在△ABD 中， 0 0ABD 90 , BAD 30 ,AB 6      ， ∴ 0 ABAD 4 3cos30   。 在△ABC 中， 0 0BAC 60 , AB 30 ,AB 6  C     ， ∴ 0 0ACB 90 ,AC AB sin30 3     。 在△ACE 中， 0 0 0 0AEC 90 , ACE 60 30 30 ,AC 3        。 ∴ 0 03 3 CE AC sin30 ,  AE = AC cos30 32 2      。 在△CDE 中， 0 3 3 5  CED 90 ,CE ,E AD AE 4 3  - 3 32 2 2D       。 根据勾股定理有, 2 2 2 2 3 5 84CD CE ED 3 212 2 4                。 ∴山头 C、D 之间的距离是 21 千米 【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，辅助线作法。 【分析】要求 CD 的值就要把它放到－个直角三角形中，考虑作 CE⊥AD。只要求出 CE， ED 即可。而 CE 可由 Rt△ACE 求得，Rt△ACE 中 AC 又可由 Rt△ABC 求得，而 ED 可由 AD－AE 求得；AE 同样可由 Rt△ACE 求得，AD 由 Rt△ABD 求得。 31.（江苏南京 7 分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔 AB 的 高度，他们借助一个高度为 30m 的建筑物 CD 进行测量，在点 C 处塔顶 B 的仰角为 45°，在点 E 处测得 B 的仰角为 37°（B、 D、E 三点在一条直线上）．求电视塔的高度 h． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】解:在 Rt ECD 中， tan DEC ＝ DC EC ． ∴EC＝ DC tan DEC ≈ 30 400.75  （ m ）． 在 Rt BAC 中，∠BCA＝45°，∴ BA CA 在 Rt BAE 中， tan BEA ＝ BA EA ．∴ 0.7540 h h  ．∴ 120h  （ m ）． 答：电视塔高度约为 120 m ． 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】要求 AB，由 0BCA 45  只要求出 CA 即可。在 Rt BAE 中， tan BEA ＝ BA EA ， 故只要求出 EC，而 EC 可由 EC＝ DC tan DEC 求得。 32.（江苏泰州 10 分）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形 OCD 和矩形 ABCD 组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块 的形状是四边形 EFGH，测得 FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。 （1）求证：GF⊥OC； （2）求 EF 的长（结果精确到 0.1m）。 （参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91） 【答案】解:（1）在四边形 BCFG 中， ∵∠GFC＝360°－90°－65°－（90°＋25°）＝90°，∴GF⊥OC。 （2）如图，作 FM∥GH 交 EH 与 M， 则有平行四边形 FGHM， ∴FM＝GH＝2.6m，∠EFM＝25°。 ∵FG∥EH，GF⊥OC，∴EH⊥OC 在 Rt△EFM 中：EF＝FM·cos25°≈2.6×0.91＝2.4m 【考点】多边形内角和定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形。 【分析】（1）欲证 GF⊥OC，只要证 90°，在四边形 BCFG 中应用四边形 内角和是 360°，即可证得。 （2）欲求 EF 的长，就要把它放到一个三角形中，作 FM∥GH 交 EH 与 M，易证 EH⊥OC， 解 Rt△EFM 可得。 33.（江苏扬州 10 分）如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图，已知真空集热 管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水箱横断面⊙ O 的圆心 O，支架 CD 与水平面 AE 垂直， AB＝150 厘米，∠BAC＝300，另一根辅助支架 DE＝76 厘米，∠CED＝600． （1）求垂直支架 CD 的长度；（结果保留根号） （2）求水箱半径 OD 的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据： 2 31.41 1.73，≈ ≈ ） 【答案】解：（1）在 Rt CDE△ 中，DE＝76 厘米，∠CED＝600， ∴CD＝DE  sin60 3 cm38 ° 。 （2）设 OD＝OB＝ cmx ， 在 Rt AOC△ 中，∠BAC＝300， ∴OA＝2OC，即  150 2 38 3x x   解得 150 76 3x   18.5≈ 。 O D B A C E ∴水箱半径 OD 的长度为 18.5cm。 【考点】解直角三角形，特殊角三角函数值，300 直角三角形的性质，列方程解应用题（几 何问题）。 【分析】（1）在 Rt CDE△ 中直接应用正弦函数解直角三角形。 （2）在 Rt AOC△ 中，∠BAC＝300 则 OA＝2OC，从而列式求解。 34.（江苏盐城 10 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的 ∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°， 此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？（结果精确到 0.1cm，参 考数据： 3≈1.732） 【答案】解：过点 B 作 BF⊥CD 于 F，作 BG⊥AD 于 G.。 在 Rt△BCF 中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝30×1 2 ＝15。 在 Rt△ABG 中，∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝40× 3 2 ＝20 3。 ∴CE＝CF＋FD＋DE＝15＋20 3＋2＝17＋20 3≈51.64≈51.6（cm）。 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 约是 51.6cm。 【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数值，矩形的性质。 【分析】要求 CE 就要考虑直角三角形，所以作辅助线：过点 B 作 BF⊥CD 于 F，作 BG⊥AD 于 G. 得到两个直角三角形和一个矩形。这样利用解直角三角形就易求出。 35.（江苏淮安 10 分）图 1 为平地上一幢建筑物与铁塔图，图 2 为其示意图.建筑物 AB 与铁 塔 CD 都垂直于底面，BD＝30m，在 A 点测得 D 点的俯角为 45°，测得 C 点的仰角为 60°. 求铁塔 CD 的高度. 【答案】解：如图，设过点 A 的水平线 AE 与 CD 交于点 E， 由题意得 ∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°，AE＝BD＝30m， ∴CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝30 3 ＋30(m)。 答：铁塔 CD 的高度为(30 3 ＋30)m。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），特殊角三角 函数，矩形的判定和性质。 【分析】要求 CD 的长度，就要把它分解成两段，使它们成为两个直角三角形中的线段，所 以作辅助线过点 A 的水平线 AE，得到两个直角三角形 ACE 和 ADE。这两个直角三角形的 AE 边与已知的 BD 是矩形的对边，是相等的。从而在这两个直角三角形分别应用特殊角的 三角函数求解即可。 36.（江苏宿迁 10 分）如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用 测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30°，然后在水平地面上向建筑物前 进了 100m，此时自 B 处测得建筑物顶部的仰角是 45°．已知测角仪的高度 是 1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取 3 ＝1.732，结果精确到 1m） 【答案】解：设 CE＝ x m，则由题意可知 BE＝ x m，AE＝( x ＋100)m。 在 Rt△AEC 中，tan∠CAE＝ CE AE ，即 tan30°＝ 100 x x  ∴ 3 100 3 x x  ，3 x ＝ 3 ( x ＋100) 解得 x ＝50＋50 3 ＝136.6（检验合格） ∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为 138m。 【考点】解直角三角形，解分式方程。 【分析】因为 CE＝BE 则易在 Rt△AEC 中求解。 37.（江苏连云港10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B 间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在 点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测 得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向． （1）线段 BQ 与 PQ 是否相等？请说明理由； （2）求 A，B 间的距离．（参考数据 cos41°＝0.75） 【答案】解：（1）相等。 由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°， ∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°。∴∠PBQ＝∠BPQ。∴BQ＝PQ。 （2）由（1）得，BQ＝PQ＝1200 m． 在 Rt△APQ 中，AQ＝ PQ cos∠AQP ＝1200 0.75 ＝1600（m）。 又∵∠AQB＝∠AQP＋∠PQB＝90°， ∴Rt△AQB 中，AB＝ AQ2＋BQ2 ＝ 16002＋12002 ＝2000（m）。 答：A，B 间的距离是 2000 m。 【考点】等腰三角形的判定，用锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理。 【分析】（1）由已知可求出∠PBQ＝∠BPQ，从而根据等腰三角形等角对等边的判定，得 到 BQ＝PQ。 （2）要求 A，B 间的距离，就要把 AB 放到一个直角三角形里，由已知可求∠AQB 为直角。BQ 易证等于 PQ＝1200 m（已知）。AQ 可由解 Rt△APQ 求得。从而应用勾股定 理求得 AB。 38.（山东德州 10 分）某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度．如示 意图，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为β，在 A 和 C 之 间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为α．测得 A，B 之间的距离 为 4 米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求建筑物 CD 的高度． 【答案】解：CD 与 EF 的延长线交于点 G，如图，设 DG= x 米． 在 Rt△DGF 中， DGtan = GF  ，即 tan = GF x 。 在 Rt△DGE 中， DGtan = GE  ，即 tan = GE x 。 ∴ GF= ,GE= EF 4=tan tan tan tan 1.2 1.6 x x x x x x        。 。 。 解之，得 x =19.2。∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4。 答：建筑物 CD 的高度为 20.4 米。 【考点】解直角三角形。 【分析】CD 与 EF 的延长线交于点 G，设 DG= x 米，在 Rt△DGF 和 Rt△DGE 中应用三角 函数的定义得到 tan = GF x 和 tan = GE x ，根据 EF=EG﹣FG，得到关于 x 的方程，解出 x ， 再加上 1.2 即为建筑物 CD 的高度。 39.（山东烟台 8 分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的 宽度。如图所示是护城河的一段，两岸 AB∥CD，河岸 AB 上有一 排大树，相邻两棵大树之间的距离均为 10 米.小明先用测角仪在河 岸 CD 的 M 处测得∠α=36°，然后沿河岸走 50 米到达 N 点，测得 ∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽 FR（结果保留两 位有效数字）. （参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95， cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【答案】解：过点 F 作 FG∥EM 交 CD 于 G。 则 MG＝EF＝20 米，∠FGN＝∠α＝36°， ∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°。∴∠FGN＝∠GFN。∴FN＝GN＝50 －20＝30（米）。 在 Rt△FNR 中，FR＝FN·sinβ＝30·sin72°＝30×0.95≈29（米）。 ∴河宽 29 米。 【考点】解直角三角形，锐角三角函数三角函数。 【分析】添加辅助线，将 EM 平移至点 F 处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的 知识即可解决。 40.（山东潍坊 9 分）今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次 登山活动．他们从山脚下 A 点出发沿斜坡 AB 到达 B 点．再从 B 点沿斜坡 BC 到达山顶 C 点，路线如图所示．斜坡 AB 的长为 1040 米，斜坡 BC 的长为 400 米，在 C 点测得 B 点的俯角为 30°．已知 A 点海拔 121 米．C 点海 拔 721 米． （1）求 B 点的海拔； （2）求斜坡 AB 的坡度． 【答案】解：（1）如图，过 C 作 CF⊥AM，F 为垂足，过 B 点作 BE⊥AM，BD⊥CF，E、 D 为垂足。 在 C 点测得 B 点的俯角为 30°，∴∠CBD＝30°。 又 BC＝400 米， ∴CD＝400×sin30°＝400× 1 2 ＝200（米）。 ∴B 点的海拔为：C 点的海拔－A 点的海拔＝721－200＝521（米）。 （2）又∵BE＝DF＝CF－CD＝521－121＝400 米，AB=1040 米， ∴AE＝ 2 2 2 2AB BE 1040 400   ＝960（米）。 ∴AB 的坡度 iAB＝ BE 400 5 AE 960 12   ，故斜坡 AB 的坡度为 1：2.4。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题、仰角俯角问题），矩形的判定和性质，坡度 的定义，勾股定理。 【分析】（1）过 C 作 CF⊥AM，F 为垂足，过 B 点作 BE⊥AM，BD⊥CF，E、D 为垂足， 构造直角三角形 ABE 和直角三角形 CBD，然后解直角三角形。 （2）求出 BE 的长，根据坡度的概念解答。 41.（山东济宁 6 分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展， 紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极 端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。如图，上午 9 时，海检船位于 A 处， 观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5°方向，海检船以 21 海里/时 的速度向正 北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观察到城市 P 位于海检船的南偏西 36.9° 方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离？ （参考数据： 5 39.36sin 0  , 4 39.36tan 0  , 13 125.67sin 0  , 5 125.67tan 0  ） 【答案】解：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C，设 PC= x 海里。 在 Rt△APC 中，∵tan∠A= PC AC ， ∴AC= 0 PC 5 tan67.5 12 x 。 在 Rt△PCB 中，∵tan∠B= PC BC ， ∴BC= 0 4 tan36.9 3 x x 。 ∵ AC+BC=AB=21×5 ， ∴ 5 12 x + 4 3 x =21×5 。解得 x=60。 ∵sin∠B= PC PB ， ∴PB= 0 PC 60 560 100sin sin36.9 3B     (海里)。 ∴海检船所在 B 处与城市 P 的距离为 100 海里。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】过点 P 作 PC⊥AB，构筑直角三角形，设 PC= x 海里，用含有 x 的式子表示 AC， BC 的值，从而求出 x 的值，再根据三角函数值求出 BP 的值即可解答。 42.（山东莱芜 9 分）莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题，建筑设计 师提供了楼顶停车场的设计示意图。按规定，停车场坡道口上坡要张贴限 高标志，以便告知车辆能否安全驶入。请根据下图求出汽车通过坡道口的 限高 DF 的长。（结果精确到 0.1m）（参考数据；sin280≈0.47，cos280≈0.88，tan280≈0.53） 【答案】解：在 Rt △ ABC 中，∠A＝280 , AC＝9 ， ∴BC＝AC ·tan280≈9× 0.53 ＝4.77。 ∴ BD＝BC－CD ＝4.77－0.5＝ 4.27。 ∵在 Rt △ BDF 中，∠BDF＝∠A＝280 ,BD ＝4.27， ∴DF＝BD· cos 280 ≈4.27×0.88=3.7576≈3.8。 答：坡道口的限高 DF 的长是 3.8 m。 【考点】解直角三角形的应用（坡道坡度问题），锐角三角函数。 【分析】分别在 Rt △ ABC 和 Rt △ BDF 中应用锐角三角函数即可。 43.（山东聊城 8 分）被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市 现存的最古老的建筑．铁塔由塔身和塔座两部分组成．为了测得铁塔的 高度，小莹利用自制的测角仪，在 C 点测得塔顶 E 的仰角为 45º，在 D 点测得塔顶 E 的仰角为 60º．已知测角仪 AC 的高为 1.6m，CD 的长为 6m， CD 所在的水平线 CG⊥EF 于点 G．求铁塔 EF 的高(精确到 0.1m)． 【答案】解：设 EG＝ x 米，在 Rt△CEG 中，∵∠ECG＝45°，∴∠CEG＝45°， ∴∠ECG＝∠CEC，∴CG＝EG＝ x 米。 在 Rt△DEC 中，∠EDG＝60° , tan∠EDG＝ EG DG ，∴ DG tan60 3 x x  。 ∵ CG DG CD 6   ．∴ 6 3 xx   ， 解得 9 3 3x   。 ∴EF＝EG+GF＝ 9 3 3 1.6 15.8   (米)． 所以铁塔的高约为 l5.8 米． 【考点】解直角三角形，等腰直角三角形的判定，锐角三角函数。 【分析】利用△CEG 是等腰直角三角形的判定，在 Rt△DEC 中，应用锐角三角函数解直角 三角形。 44.（山东青岛 6 分）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的 40º减至 35º．已 知原楼梯 AB 长为 5m， 调整后的楼梯所占地面 CD 有多长？ (结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57， tan35º≈0.70) 【答案】解：在 Rt△ABD 中， 0 AD ADsin 40 = AB 5  ，∴ 0AD 5sin40 5 0.64 3.2    。 在 Rt△ACD 中， 0 AD 3.2tan35 = CD CD  ，∴ 0 3.2 3.2CD 4.6tan35 0.70    。 答： 调整后的楼梯所占地面 CD 约为 4.6 米。 【考点】解直角三角形。 【分析】在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，应用锐角三角函数即可解答。 45.（山东威海 10 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF， ∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求 CD 的长。 【答案】解：过 B 点作 BM⊥FD 于点 M。 在△ACB 中，∠ACB=900，∠A =600，AC=10， ∴∠ABC=300，BC=AC·tan600=10 3 。 ∵AB∥CF, ∴∠BCM=300。 ∴BM=BC·sin300= 110 3 =5 32  ，CM=BC·cos300= 310 3 =152  。 在△EFD 中，∠F=900，∠E =450，∴∠EDF =450。∴MD=BM= 5 3 。 ∴CD=CM－MD=15－ 5 3 。 【考点】直角三角形的性质，锐角三角函数。 【分析】作 BM⊥FD 即知 CD=CM－MD，故只要分别解直角三角形 ACB 和 EFD 即可求得。 46.（广东省 7 分）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l，AB 是 A 到 l 的 小 路 . 现 新 修 一 条 路 AC 到 公 路 l. 小 明 测 量 出 ∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m；参考数据： 414.12  ， 732.13  ）. 【答案】解：∵∠ABD=45º，∴AD=BD。∴DC=AD+50。 ∴ 在 Rt∆ACD 中 ， 0AD AD 3 ADtan ACD=   ,     tan30 =   ,      =AD 50 AD 50 3 AD 50     即 即 ， 解之，得 AD=25( 3 +1)≈68.3m 【考点】解直角三角形，450 角直角三角形的性质，特殊角三角函数，根式化简。 【分析】根据 450 角直角三角形的性质得到 AD=BD，从而在 Rt∆ACD 中应用特殊角三角函 数即可求解。 47.（广东河源 6 分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽 度的活动。如图，他们在河东岸边的 A 点测得河西岸边的标志物 B 在 它的正西方向，然后从 A 点出发沿河岸向正北方向行进 200 米到点 C 处，测得 B 在点 C 的南偏西 60° 的方向上，他们测得东江的宽度是多 少米？ （结果保留整数，参考数据： 2 1.414 3 1.732  ， ） 【答案】解：依题意，有 AC=200，∠ACB=600， ABtan ACB AC   ， ∴ 0AB AC tan ACB 200 tan60 200 3 200 1.732 346.4 346           。 答：他们测得东江的宽度是 346 米。 【考点】解直角三角形，特殊角三角函数值。 【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得出结果。 48.（广东清远 6 分）如图，小明以 3 米/秒的速度从山脚 A 点爬到山顶 B 点， 已知点 B 到山脚的垂直距离 BC 为 24 米，且山坡坡角∠A 的度数为28º，问 小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到 0.1）．（参考数据：sin28º ＝0.46，cos28º＝0.87，tan28º＝0.53） 【答案】解：在 Rt△ABC 中，BC＝24，∠A＝28º， ∴ AB＝BC÷sin∠A＝24÷sin28º＝24÷0.46≈52.18 ∴小明从山脚爬上山顶需要时间＝52.183÷3≈17.4 (秒) 答：小明从山脚爬上山顶需要 17.4 秒。 【考点】解直角三角形。 【分析】直接在 Rt△ABC 中应用正弦函数求解。 49.（广东湛江 10 分）五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在 景点 P 处测得景点 B 位于南偏东 45°方向；然后沿北偏东 60°方向走 100 米到达景点 A，此 时测得景点 B 正好位于景点 A 的正南方向，求景点 A 与 B 之间的距离．（结果精确到 0.1 米） 【答案】解：由题意可知：作 PC⊥AB 于 C，则 ∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°． 在 Rt△ACP 中，∵∠ACP=90°，∠APC=30°， ∴AC= 1 2 AP=50，PC= 3 AC=50 3 。 在 Rt△BPC 中，∵∠BCP=90°，∠BPC=45°， ∴BC=PC=50 3 ∴AB=AC＋BC=50＋50 3 ≈50＋50×1.732≈136.6（米）． 答：景点 A 与 B 之间的距离大约为 136.6 米。 B A C D 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题， 解决的方法就是作高线。故由已知作 PC⊥AB 于 C，可得△ABP 中∠A=60°∠B=45°且 PA=100m，要求 AB 的长，可以先求出 AC 和 BC 的长。 50.（广东珠海 7 分）如图，在鱼塘两侧有两棵树 A、B，小华要测量此两树之 间的距离．他在距 A 树 30 m 的 C 处测得∠ACB＝30°，又在 B 处测得∠ABC ＝120°．求 A、B 两树之间的距离 （结果精确到 0.1m）（参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732） 【答案】解：作 BD⊥AC，垂足为点 D 。 ∵∠C＝30°，∠ABC＝120°，∴∠A＝30°。 ∴AB＝BC 。∴AD＝CD＝1 2AC＝1 2×30＝15 。 在 Rt△ABD 中，∵cosA＝AD AB ， ∴ AB＝ AD cosA ＝ 15 10 3 17.3 3 2   。 答：A、B 两树之间的距离约为 17.3m。 【考点】等腰三角形的判定和性质，解直角三角形。 【分析】根据已知条件可得△ABC 是等腰三角形，则作 BD⊥AC，垂足为点 D，在 Rt△ABD 中。解直角三角形即可求得 A、B 两树之间的距离。 51. （河南省 9 分）如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第﹣高钢塔．小明所在 的课外活动小组在距地面 268 米高的室外观光层的点 D 处，测得地面上点 B 的俯角α为 45°， 点 D 到 AO 的距离 DG 为 10 米；从地面上的点 B 沿 BO 方 向走 50 米到达点 C 处，测得塔尖 A 的仰角β为 60°．请你根 据以上数据计算塔高 AO，并求出计算结果与实际塔高 388 米之间的误差．( 3 ≈1.732， 2 ≈1.414.结果精确到 0.1 米) 【答案】解：∵DE∥BO，α=45°，∴∠DBF=α=45°。 ∴Rt△DBF 中，BF=DF=268。 ∵BC=50，∴CF=BF﹣BC=268﹣50=218。 由题意知四边形 DFOG 是矩形，∴FO=DG=10。∴CO=CF+FO=218+10=228。 在 Rt△ACO 中，β=60°， ∴AO=CO•tan60°≈228×1.732=394.896。 C BA C BA ∴误差为 394.896﹣388=6.896≈6.9。 即计算结果与实际高度的误差约为 6.9 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判 定和性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。 【分析】根据 DE∥BO，α=45°可判断出△DBF 是等腰直角三角形，从而可得出 BF 的值； 根据四边形 DFOG 是矩形可求出 FO 与 CO 的值。在 Rt△ACO 中利用锐角三角函数的定义 及特殊角的三角函数值可求出 AO 的长，从而可得出其误差。 52.（江西省 A 卷 9 分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形， 当点 O 到 BC（或 DE）的距离大于或等于⊙O 的半径时（⊙O 是桶口所在圆，半径为 OA）， 提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提 手（如图丙 A-B-C-D-E-F，C-D 是 CD ，其余是线段），O 是 AF 的中点，桶口直径 AF =34cm， AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格. （参考数据： 314 ≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.） 【答案】解：连接 OB，过点 O 作 OG⊥BC 于点 G。 在 Rt△ABO 中，AB=5，AO=17， ∴ tan∠ABO= AO 17 3.4AB 5   ， ∴∠ABO=73.6°。 ∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°。 又 ∵ 2 2OB 5 17 314 17.72    ， ∴在 Rt△OBG 中， OG OB sin OBG 17.72 0.97 17.19 17       。 ∴水桶提手合格。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理。 【 分 析 】 根 据 AB=5 ， AO=17 ， 得 出 ∠ABO=73.6° ， 再 利 用 ∠GBO 的 度 数 得 出 GO=BO×sin∠GBO 的长度即可得出答案。 53.（湖北黄石 8 分）东方山是鄂东南地区的佛教圣地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上 有黄石电视塔。 据黄石地理资料记载：东方山海拔 453.20 米，月亮山海拔 442.00 米，一飞机从东方山到月亮 山方向水平飞 行，在东方山山顶 D 的正上方 A 处测得月亮山山顶 C 的俯角为 ，在 月亮山山顶 C 的正上方 B 处测得东方山山顶 D 处的俯角为  ，如图。 已知 tan 0.15987,tan 0.15847   ，若飞机的飞行速度为 180 米/秒， 则该飞机从 A 到 B 处需多少时间？（精确到 0.1 秒） 【答案】解：在 Rt△ABC 中， BC ABtan ， 在 Rt△ABD 中, AD ABtan  ∴ BC AD AB(tan tan )    。 ∴ BC AD 453.20 442.00AB 8000tan tan 0.15987 0.15847       。 故 A 到 B 所需的时间为 8000 44.4180t   （秒）。 答：飞机从 A 到 B 处需 44.4 秒。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】分别在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中表示出 BC，AD，求出 AB≈8000 米，从而求出该 飞机从 A 到 B 处需要时间。 54.（湖北十堰 8 分）如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距 600km. 飞行员为了避开某一区域的雷雨去层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行 方向成 300 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 450 角的 方向继续飞行直到终点。这样飞机的飞行路程比原来的路程控交换机 600km 远了多少？ （参考数据： 3 ≈1.73, 2 ≈1.41,要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数） 【答案】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 AD= CD tan30° ,BD= CD tan45° , ∵AD+BD=AB,∴( 3 ＋1)CD=600, ∴CD=300( 3 －1)。 ∴在 Rt△ACD 中，AC=600( 3 －1)， 在 Rt△BCD 中，BC=300 2 ( 3 －1)。 ∴AC+BC=600( 3 －1)+ 300 2 ( 3 －1)≈747（km）。 747－600=147(km)。 答：飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了 147km。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，勾股定理。 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，由锐角三角函数的定义可得出 AD= CDtan30°，BD= CDtan45°，由 AD+BD=AB 可求出 CD 的值，再分别在 Rt△ACD、Rt△BCD 中利用勾股定 理即可求出 AC、BC 的长，从而可得出结论。 55.（湖北荆州 8 分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞 的横截面如图 所示.已知上、下桥的坡面线 ME、NF 与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i ＝1∶3.7，桥下水 深 OP＝5 米， 水面宽度 CD＝24 米.设半圆的圆心为 O，直径 AB 在坡角顶点 M、N 的连线上，求从 M 点 上坡、过桥、 下坡到 N 点的最短路径长.（参考数据：π≈3， 3 ≈1.7，tan15°＝ 32 1  ） 【答案】解：连接 OD、OE、OF， 由垂径定理知：PD＝ 1 2 CD＝12（m）。 在 Rt△OPD 中， OD＝ 2 2 2 2PD +OP 5 12 13   （m）， ∴OE＝OD＝13m。 ∵tan∠EMO=i = 1∶3.7 ，tan15°＝ 1 1 1:3.72 1.72 3   ，∴∠EMO＝15°。 由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM=75°。 同理得∠NOF＝75°。 ∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°。 在 Rt△OEM 中，tan∠EMO＝ OE 13 EM EM  ，∴tan15°= 13 EM 。 ∴EM＝ 13 13 3.7 48.1tan15    （m）。 又∵ EF⌒ 的弧长＝ 180 1330  ＝6.5（m）。 ∴48.1×2+6.5＝102.7（m）。 即从 M 点上坡、过桥、再下坡到 N 点的最短路径长为 102.7 米。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】首先明确从 M 点上坡、过桥、下坡到 N 点的最短路径长应为如图 ME+EF⌒ +FN， 连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出 OD 即半径，再由坡度i =1∶3.7 和 tan15° ＝ 32 1  ≈1∶3.7，得出∠M=∠N=15° ，因此能求出 ME 和 FN ，所以求出 ∠EOM=∠FON=90°－15°=75°，则得出EF⌒ 所对的圆心角∠EOF，相继求出EF⌒ 的长，从而 求出从 M 点上坡、过桥、下坡到 N 点的最短路径长。 56.（湖北黄冈、鄂州 8 分随州 10 分）如图，防洪大堤的横断面是梯 形，背水坡 AB 的坡比 1: 3i  （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）， 且 AB=20m．身高为 1.7m 的小明站在大堤 A 点，测得髙压电线杆顶 端点 D 的仰角为 30°．已知地面 CB 宽 30m，求髙压电线杆 CD 的髙 度（结果保留三个有效数字， 3 ≈1.732）． 【答案】解：设大堤的高度 h ，以及点 A 到点 B 的水平距离 a ， ∵ 31: 3 3i   ，∴坡 AB 与水平的角度为 30°。 ∴ 0sin30AB h  ，即得 AB 102h   （m）； 0cos30AB a  ，即得 3 AB=10 32a  （m）。 ∴MN=BC+ a =（30+10 3 ）（m）。 ∵测得髙压电线杆顶端点 D 的仰角为 30°， ∴ 0DN tan30MN  ，解得：DN=10 3 +10≈27.32（m）， ∴CD=DN+AM+ h ≈27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）。 答：髙压电线杆 CD 的髙度约为 39.0 米。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角和仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角三 角函数值。 【分析】由 i 的值求得大堤的高度 h ，以及点 A 到点 B 的水平距离 a ，从而求得 MN 的长 度，由仰角求得 DN 的高度，从而由 DN，AM， h 求得高度 CD。 57.（湖北恩施 8 分）正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道， 工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测飞机在与 A 的相对高度 为 1500 米的高空 C 处测得隧道进口 A 处和隧道出口 B 处的俯角分别 为 53°和 45°（隧道进口 A 和隧道出口 B 在同一海拔高度），计算隧 道 AB 的长．（参考数据：sin53°= 4 5 ，tan53°= 4 3 ） 【答案】解：作 CD⊥AB，垂足为点 D， ∵勘测飞机在与 A 的相对高度为 1500 米的高空 C 处测得隧 道进口 A 处和隧道出口 B 处的俯角分别为 53°和 45°， ∴CD=1500m，∠CAD=53°，∠CBD=45°， ∴tan53°= 4 CD 1500 3 AD AD   。∴AD=1125m，CD=BD=1500m。 ∴AB=1125+1500=2625m。 答：隧道 AB 的长为 2625m。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，三角函数的定义。 【分析】根据题意得出 CD=1500m，∠CAD=53°，∠CBD=45°，即可得出 CD=BD，以及利 用解直角三角形求出即可。 58.（湖北潜江仙桃天门江汉油田 7 分）五月石榴红，枝头鸟儿歌.一只小鸟从石榴 树上的 A 处沿直线飞到对面一房屋的顶部 C 处.从 A 处看房屋顶部 C 处的仰角 30 , 看房屋底部 D 处的俯角为 45 ,石榴树与该房屋之间的水平距离为 33 米，求出小鸟 飞行的距离 AC 和房屋的高度 CD. 【答案】解：作 AE⊥CD 于点 E. 由题意可知：∠CAE =30°，∠EAD =45°，AE= 33 米， 在 Rt△ACE 中，tan∠CAE= AE CE ，即 tan30°= 33 CE .。 ∴CE= 30tan33 = 33 3 33   (米)。∴AC=2CE=2×3 =6(米)。 在 Rt△AED 中，∠ADE=90°-∠EAD =90°-45°= 45°， ∴DE=AE= 33 (米)。∴DC=CE+DE=（3+ 33 ）米。 答：小鸟飞行的距离 AC 为 6 米，房屋的高度 DC 为（3+ 33 ）米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】分析图形，根据题意构造直角三角形，在两个直角三角形△BEC、△APC 中，应 用其等边 BE=CP 构造方程关系式，从而可解。 59.（山西省 7 分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一 棵树 DE 的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得 树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得 树顶端 D 的仰角为 60°．已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度 为1: 3 (即 AB：BC=1: 3 )，且 B、C、E 三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树 DE 的高度(测倾器的高度忽略不计)． 【答案】解：如图，过点 A 作 AF⊥DE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形。∴AF=BE，EF=AB=2。 设 DE=x， 在 Rt△CDE 中，CE= DE 3 xtan60 3  ， 在 Rt△ABC 中，∵ AB：BC=1: 3 ，AB=2，∴BC= 2 3 。 在 Rt△AFD 中，DF=DE－EF=x－2，∴AF=  x 2 3 x 2tan30   － － 。 ∵AF=BE=BC+CE，∴   33 x 2 2 3 x3  － ，解得 x=6。 答：树 DE 的高度为 6 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角、坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角 函数值。。 【分析】通过构造直角三角形分别表示出 BC 和 AF，得到有关的方程求解即可。 60.（内蒙古呼和浩特 6 分）在一次课外实践活动中，同学们要测量 某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离．现测得 AC=30m， BC=70m，∠CAB=120°，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离． 【答案】解：如图，作 CD⊥AB 于点 D． 在 Rt△CDA 中，∵AC=30， ∠CAD=180°－∠CAB=180°－120°=60°， ∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15 3 ， AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。 在 Rt△CDB 中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2， ∴BD=  2270 15 3 65  。 ∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。 答：A，B 两个凉亭之间的距离为 50m。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股 定理。 【分析】构造直角三角形，过 C 点作 CD⊥AB 于点 D，先在 Rt△CDA 中应用锐角三角函数 求得 AD、CD 的长，再利用勾股定理求得 BD 的长，从而由 AB=BD﹣AD 即得 A，B 两个 凉亭之间的距离。 61.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰 10 分）如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区 的上空，在 A 处测到空投地点 C 的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°， 已知 BC 的距离是 2000 米，求此时飞机的高度（结果保留根号）． 【答案】解：作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D， ∵EA∥BC，∴∠ABC=β=30°。 又∵∠BAC=α－β=30°，∴∠ABC=∠BAC。 ∴AC=BC=2000。 ∴在 Rt△ACD 中， AD= AC·cos∠CAD=AC·cos300=1000 3 。 答：此时飞机的高度为 1000 3 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三 角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形 的判定，易得 AC=BC=2000，从而在 Rt△ACD 中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高 度。 62.（内蒙古包头 8 分）一条船上午 8 点在 A 处望见西南方向有一座灯塔 B，此时 测得船和灯塔相距 36 2海里，船以每小时 20 海里的速度向南偏西 24°的方向航 行到 C 处，此时望见灯塔在船的正北方向．（参考数据 sin24°≈0.4，cos24°≈0.9） （1）求几点钟船到达 C 处； （2）当船到达 C 处时，求船和灯塔的距离． 【答案】解：（1）延长 CB 与 AD 交于点 E．∴∠AEB=90°， ∵∠BAE=45°，AB=36 2，∴BE=AE=36。 根据题意得：∠C=24°，sin24°= AE AC ， ∴AC= AE 36 90sin24 0 9.   。 ∴90÷20=4.5。 ∴8＋4.5=12.5。 ∴12 点 30 分船到达 C 处。 （2）在直角三角形 ACE 中，cos24°= EC AC ，即 cos24°= 36+BC 90 ， ∴BC=45。 ∴船到 C 处时，船和灯塔的距离是 45 海里。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函 数。 【分析】（1）要求几点到达 C 处，需要先求出 AC 的距离，根据时间=距离除以速度，从 而求出解． （2）船和灯塔的距离就是 BC 的长，作出 CB 的延长线交 AD 于 E，根据直角三角 形的角，用三角函数可求出 CE 的长，减去 BE 就是 BC 的长． 63.（内蒙古呼伦贝尔 6 分）如图，从热气球 C 上测得两建筑物 A、 B 底部的俯角分别为 30°和 60°，如果这时气球的高度 CD 为 90 米， 且点 A、D、B 在同一直线上，求建筑物 A、B 间的距离（结果保留 根号）。 【答案】解：∵ 0 0ECA 30 FCB 60   ， ， CD AB,  CD EF 又 ， ∴ 0 0ACD 60 BCD 30   ， 。 在 t ACDR  中， AD tan ACD CD   , ∴ 0AD tan 60 CD 3 90 90 3     。 在 t BCDR  中， BDtan BCD CD   ，∴ 0 3BD tan30 CD 90 30 33      。 ∴ AB AD BD 90 3 30 3 120 3     。 答：建筑物 A、B 间距离为 3120 米。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分别在 t ACDR  和 t BCDR  中应用锐角三角函数求出 AD，BD 即可。 64. （四川成都 6 分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某 军舰由东向西行驶．在航行到 B 处时，发现灯塔 A 在我军舰的正北方 向 500 米处；当该军舰从 B 处向正西方向行驶至达 C 处时，发现灯塔 A 在我军舰的北偏东 60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结 果均不取近似值） 【答案】解：由题意得∠A=60°， ∴BC=AB×tan60°=500× 3 =500 3 m。 答：该军舰行驶的路程为 500 3 m。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】易得∠A 的度数为 60°，利用 60°正切值可得 BC 的值。 65.（四川内江 9 分）放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在 大洲广场上放风筝．如图他在 A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上， 风筝固定在了 D 处．此时风筝线 AD 与水平线的夹角为 30°． 为了便于观 察．小明迅速向前边移动边收线到达了离 A 处 7 米的 B 处，此时风筝线 BD 与水平线的夹角为 45°．已知点 A、B、C 在冋一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此 吋所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段， 2 ≈1.414， 3 ≈1.732．最 后结果精确到 1 米） 【答案】解：设 CD 为 x 米。 ∵∠ACD=90°， ∴在直角△ADC 中，∠DAC=30°，AC=CD•cos30°= 3 x，AD=2x， 在直角△BCD 中，∠DBC=45°，BC=CD=x，BD= 0 CD 2xsin 45  。 ∵AC－BC=AB=7，∴ 3 x －x=7， 又∵ 2 ≈1.4， 3 ≈1.7，∴x=10，AD－BD=2x－ 2 x=6。 ∴小明此时所收回的风筝的长度为 6 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】设 CD 为 x 米，根据三角函数即可表示出 AC 于 BC 的长，根据 AC－BC=AB 即可 得到一个关于 x 的方程，解方程即可求得 x 的值。 66.（四川达州 6 分）我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房 AB （如图），准备对该危房实施定向爆破．已知距危房 AB 水平距 离 60 米（BD=60 米）处有一居民住宅楼，该居民住宅楼 CD 高 15 米，在该该住宅楼顶 C 处测得此危房屋顶 A 的仰角为 30°，请 你通过计算说明在实施定向爆破危房 AB 时，该居民住宅楼有无 危险？（在地面上以点 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆形区域为 危险区域，参考数据： 414.12  ， 732.13  ） 【答案】解：没有危险，理由如下： 在△AEC 中，∵∠AEC=90°，∴ AEtan ACE CE   。 ∵∠ACE=30°，CE=BD=60， ∴AE= 64.34320  （米）。 又∵AB=AE+BE，BE=CD=15，∴AB 64.49 （米）。 ∵ 64.4960  ，即 BD  AB， ∴在实施定向爆破危房 AB 时，该居民住宅楼没有危险。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】由已知得，CE=BD=60，∠ACE=30°，所以能求出 AE，BE=CD=15，则求出 AB， 通过比较 AB 与 BD，得出结论。 67.（四川宜宾 7 分）如图，飞机沿水平方向（A、B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山， 为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN.飞机能够测量的数 据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到 山顶的正上方 N 处才测飞行距离），请设计一个距离 MN 的方案，要求： (1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出)； (2)用测出的数据写出求距离 MN 的步骤. 【答案】解：（1）如图，测出飞机在 A 处对山顶的 俯角为α，测出飞机在 B 处对山顶的俯角为β，测出 AB 的距离为 d，连结 AM，BM.。 （2）第一步骤：在 Rt△AMN 中， ∵tanα = MN AN ∴AN = MN tanα ①。 第二步骤：在 Rt△BMN 中， ∵tanβ = MN BN ∴BN = MN tanβ ②。 第三步骤：将①②代入 AN = d+BN， 解得：MN = d·tanα·tanβ tanβ–tanα 。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】（1）根据题意得出符合题意的图形如图所示。 （2）分别在 Rt△AMN 和 Rt△BMN 中，求出 AN，BN，代入 AN = d+BN 即可。 68.（四川眉山 8 分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点 A 处观察旗杆 BC， 测得旗杆顶部 B 的仰角为 30°，测得旗杆底部 C 的俯角为 60°，已知点 A 距地面的高 AD 为 15cm．求旗杆的高度． 【答案】解：过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，由题意可知，四边形 ADCE 为矩形， ∴EC=AD=15， 在 Rt△AEC 中，tan∠EAC= CE AE ， ∴AE= CE 15 5 3tan EAC tan60    （米）。 在 Rt△AEB 中，tan∠BAE= BE AE ， ∴BE=AE•tan∠EAB= 35 •tan30°=5（米）。 ∴BC=CE+BE=20（米）。 故旗杆高度为 20 米。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】过 A 作 AE⊥BC，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答。 69.（四川巴中 10 分） 某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影 子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长 BC=20 m，斜坡上的影长 CD=8 ㎝，已知斜坡 CD 与操场平面的夹角为 30°，同时测得身高 l.65m 的学生在操场 上的影长为 3.3 m．求旗杆 AB 的高度．(结 果精确到 1m) ( 提 示 ： 同 一 时 刻 物 高 与 影 长 成 正 比 ． 参 考 数 据 ： 2 ≈1.414． 3 ≈1.732． 5 ≈2.236) 【答案】解：过 D 点作 CE 的垂线，垂足为点 F，连接 AD 并延长交 CE 于点 G，设学生的身高为 MN。 则 MN=1.65，NG=3.3。∴ MN 1 NG 2  。 在 Rt△CDF 中，CD=8，∠DCF=30°， ∴CF=CDcos30°= 38 4 3 6.92    , DF=CDsin 30°= 18 42   。 由△DFG∽△MNG， MN 1 NG 2  得 DF 1 FG 2  ，∴FG=8。∴BG=BC＋CF＋FG≈20 ＋6.9＋8=34.9。 由△ABG∽△MNG， MN 1 NG 2  得 AB 1 BG 2  ，∴AB≈17.45≈17。 ∴旗杆 AB 的高度为 17 m。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和 性质。 【分析】如图，作出旗杆 AB 的在地面的影长 BG，再根据同时测得的身高 l.65m 学生在操 场上的影长为 3.3 m 和∠DCF=30°即可求解。 70.（四川广安 9 分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如 图所示，测得树底部中心 A 到斜坡底 C 的水平距离为 8.8m，在阳光下某 一时刻测得 l 米的标杆影长为 0.8m，树影落在斜坡上的部分 CD=3.2m， 已知斜坡 CD 的坡比 1: 3i  ，求树高 AB．（结果保留整数，参考数据： 3 ≈1.7）． 【答案】解：如图，过点作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F， ∵斜坡 CD 的坡比 1: 3i  ，即 tan∠DCF= 3 3 ， ∴∠DCF=30°。 而 CD=3.2m，∴DF= 1 2 CD=1.6m，CF= 3 DF=1.6 3 m。 ∵AC=8.8m，∴DE=AC+CF=8.8+1.6 3 。 ∵△BDE∽△DCF， ∴ 8.8 1.6 3 1 0.8 0.8 BE DE   ，∴BE=11 2 3 。 ∴AB=BE+AE=12.6 2 3 1≈16m。 答：树高 AB 为 16m。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），含 30 度的直角三角形的性质，相似三角 形的判定和性质。 【分析】过点作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，根据坡比的定义得到 tan∠DCF= 3 3 ，则∠DCF=30°，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 DF= 1 2 CD=1.6m， CF= 3 DF= 1.6 3 m，所以 DE=AC+CF=8.8+ 1.6 3 ，再根据三角形相似的性质得到 8.8 1.6 3 1 0.8 0.8 BE DE   8，求出 BE，即可得到 AB。 71.（四川遂宁 9 分）在“我爱家乡”的主题活动中，某数学兴趣小组 决定测量灵泉寺观音塔 DC 的高度（如图）。在广场 A 处用测角仪 测得塔顶 D 的仰角是 45°，沿 AC 方向前进 15 米在 B 处测得塔顶 D 的仰角是 60°，测角仪高 1.5 米。 求塔高 DC（保留 3 个有效数字）（ 41412  73213  ） 【答案】解：设 DG= x 米，由题意 EG= x 米，则 FG=（ x －15）米。 在 Rt  DFG 中 tan60 15 x x ， 3153  xx ， 315)13(  x ， 13 315  x 45 15 3 2   35.49 。 ∴塔高 DC=35.49＋1.5=36.99  37.0（米）。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的判定，矩形的性质，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分析图形：根据题意构造直角三角形，本题涉及到两个直角三角形△DEG、△DFG， 利用等腰直角三角形的判定和锐角三角函数，列方程求解。 72.（四川泸州 7 分）如图，一艘船以每小时 60 海里的速度自 A 向正北方向航行， 船在 A 处时，灯塔 S 在船的北偏东 30°，航行 1 小时后到 B 处，此时灯塔 S 在船的 北偏东 75°，（运算结果保留根号） （1）求船在 B 处时与灯塔 S 的距离； （2）若船从 B 处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔 S 的距离最近． 【答案】解：（1）过点 B 作 BC⊥AS 于点 C。 在 Rt△ABC 中，∠A=30 0，AB=60， ∴BC = 30 。 ∵航行 1 小时后到 B 处，此时灯塔 S 在船的北偏东 75°， ∴∠BSC =750－300=450。 在 Rt△BCS 中，∠BSC =450，∴BS＝ 0 BC 30 2sin 45  。 答：船在 B 处与灯塔 S 的距离为 30 2 海里。 ( 2 ）过点 S 作 SD⊥AD 交 AB 延长线于点 D， 则船与灯塔 S 的最近距离是线段 SD 的长度。 在 Rt△ABC 中，∠A = 300 , AB =60， ∴AC =AB ·cos300 = 30 3 。 在 Rt△BCS 中，∠BSC =450, BC = 30 , ∴CS=30。∴AS=AC＋CS=30 3 ＋30。 在 Rt△ASD 中，∠A = 300 ,∴AD=AS ·cos300=45＋15 3 。 ∴BD=AD－AB=15（ 3 －1）。∴时间  15 3 1 3 1 60 4t    （小时）。 答：经过 3 1 4  小时，船与灯塔 S 的最近距离最近。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），含 30 度角的三角形的性质，三角形外角定 理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）过点 B 作 BC⊥AS 于点 C，构造两个直角三角形，由 Rt△ABC 求出 BC， 再由 Rt△BCS 求出 BS 即可。 （2）过点 S 作 SD⊥AD 交 AB 延长线于点 D，则船与灯塔 S 的最近距离是线段 SD 的长度。求出 AD 即可得到 BD 的长。再根据船的航速，利用时间=路程÷速度即可求出 船从 B 处继续向正北方向航行与灯塔 S 的距离最近的时间。 73.（四川凉山 8 分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座 87m 长的水库大坝提出了 以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高 10m， 迎水坡面 AB 的坡度 5 3i  ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原 方案的基础上，将迎水坡面 AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 AE 的坡度 5 6i  。 （1） 求原方案中此大坝迎水坡 AB 的长（结果保留根号） （2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方 案修改后，若坝顶沿 EC 方向拓宽 2.7m，求坝顶将会沿 AD 方向加宽多少米？ 【答案】解：（1）过点 B 作 BF⊥AD 于 F。 在 Rt△ABF 中，∵ BF 5 AF 6i   ，且 BF=10 m。 ∴AF=6 m，AB= 2 34 m。 （2）过点 E 作 EG⊥AD 于 G。 在 Rt△AEG 中，∵ EG 5 AG 3i   ，且。BF=10 m， ∴AG=12 m，BE=CF=AG－AF=6 m。 如图，延长 EC 至点 M，使 CM=2.7m ，延长 AD 至点 N，连接 MN。 ∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变。 ∴ ABE CMNDS S△ 梯形 ，  1 1BE EG MC ND EG2 2       ， 即 BE MC ND  。 ∴ND=BE－MC=6－2.7=3.3（m）。 答：坝底将会沿 AD 方向加宽3.3m 。 【考点】解直角三角形的应用（坡度问题），锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质。 【分析】（1）构造直角三角形，过点 B 作 BF⊥AD，由 5 6i  即可求出 AF，由勾股定理即 可求出 AB。 （2）构造直角三角形，过点 E 作 EG⊥AD，由 5 6i  即可求出 AG，，从而求出 BE； 作出梯形 CMND，用方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，即 ABE CMNDS S△ 梯形 求出 ND。 74. （青海省 7 分）某学校九年级的学生去旅游，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有 多高，下面是他们的一段对话： 甲：我站在此处看树顶仰角为 45°。 乙：我站在此处看树顶仰角为 30°。 甲：我们的身高都是 1.5m。 乙：我们相距 20m。 请你根据两位同学的对话，参考图计算这棵古松的高度。（参考数据 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 结果保留两位小数）。 【答案】解：如图所示延长 AB 交 DE 于 C，设 CD 的长为 x 米。 在 Rt△DBC 中，∠DBC=45°，∠DCB=90°， 则∠BDC=45°，∴BC=CD=x。 在 Rt△ACD 中，∠A=30°，DC=x。 ∴ DAtan A AC  ，即 0 xtan30 = AC ，∴ AC 3x= 。 ∵AC－BC=AB，AB=20，∴ 3x x 20  ，解得， x 10 3 10  。 ∴DE=DC＋CE 10 3 10 1.5 28.82    。 答：这棵古松的高是 28.82 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性 质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】延长 AB 交 DE 于 C．设 CD 的长为 x 米，在 Rt△DBC 中，求得 BC=CD，然后在 Rt△ACD 中求得 AC，利用 AC-BC=AB，解得 DC，则 DE=DC+CE。 75．（新疆乌鲁木齐 11 分）某校课外活动小组，在距离湖面 7 米高的观测台 A 处， 看湖面上空一热气球 P 的仰角为 37°，看 P 在湖中的倒影 P’的俯角为 53°，（P’为 P 关于湖面的对称点），请你计算出这个热气球 P 距湖面的高度 PC 约为多少米？ 注：sin37°≈ 3 5 ，cos37°≈ 4 5 ，tan37°≈ 3 4 ; Sin53°≈ 4 5 ，cos53°≈ 3 5 ，tan53°≈ 4 3 【答案】解：过点 A 作 AD⊥PP′，垂足为 D，则有 CD=AB=7 米， 设 PC 为 x 米，则 P′C=x 米，PD=（x－7）米，P′D=（x＋7）米， 在 Rt△PDA 中，AD= PDtan37°≈ 3 4 （x－7）， 在 Rt△P′DA 中，AD= P′Dtan53°≈ 4 3 （x＋7）， ∴ 3 4 （x－7）= 4 3 （x＋7）， 解得：x=25． A BO C D 1500m 45° 60° 答：热气球 P 距湖面的的高度 PC 约为 25 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题） 【分析】过点 A 作 AD⊥PP′，垂足为 D，构造矩形 ABCD 和直角三角形，根据三角函数的 定义求出 AD 的长，根据 AD=AD，列出方程解答即可。 76.（安徽省 10 分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度．已知在离地面 1500m 高度 C 处的 飞机上，测量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为 60°和 45°．求隧道 AB 的长 ( 3 ≈1.73)． 【答案】解：在△ACO 中，∠ACO=900－∠DCA=900－600=300， ∴ 0 3tan 1500 tan30 1500 500 33OA OC ACO        。 又∵∠BCO=900－∠DCB=900－450=450， ∴OB=OC=1500。 ∴AB=1500－500 3 ≈1500－865=635(m)。 答：隧道 AB 的长约为 635m. 【考点】解直角三角形。 【分析】在△ACO 和△BCO 两个直角三角形中求解即可。 77.（安徽芜湖 8 分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座 垂直于地面的古塔 BD 的高度，他们先在 A 处测得古塔顶端点 D 的仰角为 45°，再沿着 BA 的方向后退 20m 至 C 处，测得古塔顶 端点 D 的仰角为 30°。求该古塔 BD 的高度（ 3 1.732 ，结果 保留一位小数）。 【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m 在 Rt△ABD 中，由∠BAD=∠BDA=45°，得 AB=BD 在 Rt△BDC 中，由 tan∠BCD= BD BC ，得 3BC BD 又∵BC-AB=AC，∴ 3 20BD BD  ，∴ 20 27.3( ) 3 1 BD m   [来 源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 答：古塔 BD 的高度为 27.3m。 【考点】解直角三角形。 【分析】根据解直角三角形的方法，直接求解。 78.（辽宁鞍山 10 分）某段限速公路 m 上规定小汽车的行驶速度不得超过 70 千米/时，如图所示，已知测速站 C 到公路 m 的距离 CD 为 30 3米， 一辆在该公路上由北向南匀速行驶的小汽车，在 A 处测得测速站在汽车 的南偏东 30°方向，在 B 处测得测速站在汽车的南偏东 60°方向，此车从 A 行驶到 B 所用的时间为 3 秒． (1)求从 A 到 B 行驶的路程； (2)通过计算判断此车是否超速． 【答案】解：(1)在 Rt△ACD 中， ∵∠CDA＝90°，CD＝30 3，∠CBD＝60°， ∴BC＝ CD sin∠CBD ＝30 3× 2 3 ＝60。 ∵∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，∴∠BCA＝∠BAC＝60°－30°＝30°。 ∴AB＝BC＝60。 答：从 A 到 B 行驶的路程为 60 米。 (2)∵从 A 到 B 的时间为 3 秒，∴小汽车行驶的速度为 v＝60 3 ＝20(米/秒)＝72(千 米/时)。 ∵72 千米/时＞70 千米/时，∴小汽车超速。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值，三角 形外角定理，等腰三角形的判定。 【分析】(1) 在 Rt△ACD 中，应用锐角三角函数求出 BC 的长；应用三角形外角定理证出 △ABC 是等腰三角形即可。 （2）由(1)和时间为 3 秒求出小汽车的速度与规定限速比较即可。 79.（辽宁锦州 10 分）如图，小明站在窗口向外望去，发现楼下有一棵倾斜的 大树，在窗口 C 处测得大树顶部 A 的俯角为 45°，若已知∠ABD＝60°，CD ＝20m，BD＝16m，请你帮小明计算一下，如果大树倒在地面上，其顶端 A 与楼底端 D 的距离是多少米？(结果保留整数 ，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)． 【答案】解：作 AF⊥CD 于 F，AH⊥DB 于 H，∴四边形 AFDH 为矩形。 ∴AF＝DH，AH＝DF。 由题意可知∠ECA＝45°，∴AF＝CF。 设大树高为 x 米，即 AB＝x。 在 Rt△AHB 中，AH＝ABsin60°＝ 3 2 x，BH＝AB·cos60°＝1 2x， ∴AF＝DH＝DB－BH＝16－1 2x。 在 Rt△ACF 中，AF＝CF＝16－1 2x。 又 CD＝CF＋FD，∴20＝16－1 2x＋ 3 2 x，解得 x≈11。∴16－11＝5。 ∴ 大树倒下后其顶端 A 与楼底端 D 的距离是 5 米。 【考点】解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数， 特殊角的三角函数值。 【分析】构造直角三角形，作 AF⊥CD 于 F，AH⊥DB 于 H，解 Rt△AHB 和 Rt△ACF 即可。 80.（辽宁辽阳 10 分）如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸 PQ 与 MN 平行，河岸 MN 上有 A、B 两个相距 50 米的凉亭，小亮 在河对岸 D 处测得∠ADP＝60°，然后沿河岸走了 110 米到达 C 处， 测得∠BCP＝30°，求这条河的宽．(结果保留根号) 【答案】解：作 AE⊥PQ 于 E，CF⊥MN 于 F。 ∵PQ∥MN，∴四边形 AECF 为矩形。 ∴EC＝AF，AE＝CF。 设这条河宽为x 米，∴AE＝CF＝x。 在 Rt△AED 中， ∵∠ADP＝60°，∴ED＝ AE tan60° ＝ x 3 ＝ 3 3 x。 ∵PQ∥MN，∴∠CBF＝∠BCP＝30°。 ∴在 Rt△BCF 中，BF＝ CF tan30° ＝ x 3 3 ＝ 3x。 ∵EC＝ED＋CD，AF＝AB＋BF， ∴ 3 3 x＋110＝50＋ 3x。解得 x＝30 3。 ∴这条河的宽为 30 3米。 【考点】解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数 值。 【分析】根据已知条件，构造直角三角形，故作辅助线：作 AE⊥PQ 于 E，CF⊥MN 于 F。 解 Rt△AED 和 Rt△BCF 即可求出这条河的宽。 81.（辽宁盘锦 10 分）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的 角α一般要满足 50°≤α≤75°(如图). 已知一梯子 AB 的长为 6 m，梯子的底端 A 距离墙面的距 离 AC 为 2 m，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端？ (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26) 【答案】解：在 Rt△ABC 中， ∵AC＝ABcosα，AB＝6， ∴当α＝50°时，AC＝6cos50°≈6×0.64＝3.84(m)， 当 α ＝ 75° 时 ， AC≈6cos75°≈6×0.26 ＝ 1.56(m) 。 ∵ 1.56＜2＜3.84，∴ 人能够安全地攀 上梯子的顶端 。 【考点】解直角三角形的应用。 【分析】根据锐角三角函数求出α＝50°和α＝75°时 AC 的值，看 2 是否在其间即可作出判断。 82.（辽宁营口 8 分）如图所示，点 P 表示广场上的一盏照明灯． (1)请你在图中画出小敏在照明灯 P 照射下的影子(用线段表示)； (2)若小丽到灯柱 MO 的距离为 4.5 米，照明灯 P 到灯柱的距离为 1.5 米，小丽目测照明 灯 P 的仰角为 55°，她的目高 QB 为 1.6 米，试求照明灯 P 到地面的距离(结果精确到 0.1 米). (参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574) 【答案】解：(1)如图线段 AC 是小敏的影子。 (2)过点 Q 作 QE⊥MO 于点 E，过点 P 作 PF⊥AB 于点 F，交 EQ 于点 D，则 PF⊥EQ。 在 Rt△PDQ 中，∠PQD＝55°， DQ＝EQ－ED＝4.5－1.5＝3(米)。 ∵tan55°＝PD DQ ， ∴PD＝DQ·tan55°≈4.3(米)。 ∵DF＝QB＝1.6 米，∴PF＝PD＋DF＝4.3＋1.6＝5.9(米)。 答：照明灯到地面的距离约为 5.9 米。 【考点】投影，解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】(1)根据投影的定义，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的 影子叫做物体的投影，由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影。据 此画出小敏在照明灯 P 照射下的影子 AC。 （2）如图，构造直角三角形 PDQ 即可求解。 83.（云南昆明 7 分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在 A、 B 两地修建一段地铁，点 B 在点 A 的正东方向，由于 A、B 之间建 筑物较多，无法直接测量，现测得古树 C 在点 A 的北偏东 45°方向 上，在点 B 的北偏西 60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁 AB 的长度．（结果精确到 1m，参考数据： 2 1.414      3 1.732 ， ） 【答案】解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D，由题意知： ∠CAB=45°，∠CBA=30°， ∴CD= 1 2 BC=200， BD=CB•cos（90°﹣60°）=400× 3 2 =200 3 ， AD=CD=200， ∴AB=AD+BD=200+200 3 ≈546（m）。 答：这段地铁 AB 的长度为 546m。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于 D，则由已知求出 CD 和 BD，也能求出 AD，从而求出这段 地铁 AB 的长度。 84.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧 8 分）如图，甲、乙两船同 时从港口 A 出 发，甲船以 60 海里／时的速度沿北偏东 600 方向航行，乙船沿北偏 西 300 方向航行，半小时后甲船到达 C 点，乙船正好到达甲船正西方 向的 B 点，求乙船的速度 ( 3 1.7) . 【答案】解：∵甲船航行半小时后到达 C 点， ∴ 1 60 302AC    （海里） 又∵ 60 30 90CAB       ，B 点是 C 点的正西方 向， 30ACB   。 ∴ 3 2 1 1 1 30 30 10 3 172 2 cos 2 3 ACAB BC ACB         （海里） 因此乙船的速度是 2 17 34  海里／时。 【考点】三角形内角和定理，解直角三角形。 【分析】根据已知和三角形内角和定理，求出 90CAB   ， 30ACB   ，即可解直角三 角形 ABC 求出 AB，从而求出乙船的速度。 85.（云南昭通 9 分）如图所示，若河岸的两边平行，河宽为 900 米，一只 船由河岸的 A 处沿直线方向开往对岸的 B 处，AB 与河岸的夹角是 600，船 从 A 到 B 处需时间 32 分钟，求该船的速度。 【答案】解：如图，过点 B 作 BC 垂直河岸，垂足为 C。 则在 Rt△ACB 中，有 360060sin 900 sin  BAC BCAB ， 因而速度 300 32 3600 v 。 答：该船的速度为 300 米/分钟。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】过点 B 作 BC 垂直河岸，垂足为 C，构造直角三角形，在 Rt△ACB 中由锐角三角 函数可求 AB 的长，从而根据速度=距离÷时间可求该船的速度。 86.（云南玉溪 10 分）张明同学想测量聂耳山上聂耳铜像的 高度，于是他爸爸查阅资料后告诉他，聂耳山的高度是 12 米，铜像（图中 AB ）高度比底座（图中 BD ）高度多 1 米，且聂耳山的高度+铜像高度+底座高度等于聂耳遇难时 的年龄．张明随后用高度为 1 米的测角仪（图中 EF ）测得 铜像顶端点 A 的仰角β＝51°24′，底座顶端点 B 北 60 ° CB A 30 ° 的仰角 ＝26°36′．请你帮助张明算出聂耳铜像 AB 的高度及聂耳遇难时的年龄（把聂耳铜 像和底座近似 看在一条直线上，它的抽象几何图形如左图）．【参考数据：tan26°36′≈0.5，tan51°24′≈1.25】 【答案】解：设聂耳铜像的高度 AB 为 x 米，则 BC=( x －2)米。 在 Rt△BCF 中， 2tan x FC   ，∴FC= 2 2 40.5 x x   . 在 Rt△ACF 中，∵ 2 2tan x FC   ， ∴FC= 2 2 8 8 1.25 5 x x  。 ∴2x－4= 8 8 5 x  。∴ x =6。 ∴聂耳遇难时的年龄=12+6+5=23(岁)。 答：聂耳铜像的高度是 6 米, 聂耳遇难时的年龄是 23 岁。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】首先设聂耳铜像的高度 AB 为 x 米，则 BC=( x －2)米。然后分别在在 Rt△BCF 中 和 Rt△ACF 中，利用正切函数的性质求得 FC 的值，即可得方程，解此方程即可求得答案。 87.（贵州贵阳 10 分）某过街天桥的设计图是梯形 ABCD（如图所示），桥面 DC 与地面 AB 平行，DC=62 米，AB=88 米．左斜面 AD 与地面 AB 的夹角为 23°，右斜面 BC 与地面 AB 的夹角为 30°，立柱 DE⊥AB 于 E，立柱 CF⊥AB 于 F，求桥面 DC 与地面 AB 之间的 距离（精确到 0.1 米） 【答案】解：设桥面 DC 与地面 AB 之间的距离为 x 米，即 DE=CF=x， 则 AE= x cot23°，BF= x cot30°，AE+BF=AB﹣DC， ∴x cot23°+ x cot30°=88﹣62，解得：x≈7.5。 答：桥面 DC 与地面 AB 之间的距离约为 7.5 米。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。 【分析】设桥面 DC 与地面 AB 之间的距离为 x 米，分别用 x 表示出 AE 和 BF，AE+BF=AB ﹣DC，则得到关于 x 的一元一次方程，从而求出 x。 88.（贵州安顺 8 分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如 图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西 31° 的方向上，沿河岸向北前行 40 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45°的方向上，请你根据以 上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈ 5 3 ） 【答案】解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设 CD=BD=x 米， 则 AD=AB+BD=（40+x）米， 在 Rt△ACD 中，tan∠DAC= CD AD ，即 5 3 40  x x ， 解得 x=60（米）。 ∴这条河的宽度为 60 米。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，由题意知道∠DAC=31°，∠DBC=45°，设 CD=BD=x 米，则 AD=AB+BD=（40+x）米，在 Rt△ACD 中，tan∠DAC= CD AD ，由此可以 列出关于 x 的方程，解方程即可求解。 89.（贵州六盘水 12 分）某一特殊路段规定：汽车行驶速度不超过 36 千米/时。一辆汽车在 该路段上由东向西行驶，如图所示，在距离路边 10 米 O 处有一“车速检测仪”，测得该车从 北偏东 600 的 A 点行驶到北偏东 300 的 B 点，所用时间为 1 秒。 （1）试求该车从 A 点到 B 点的平均速度。 （2）试说明该车是否超速。（ 7.13  、 4.12  ） 【答案】解：（1）据题意，得∠AOC＝600，∠BOC＝300， 在 Rt△AOC 中，∠AOC＝600，∴∠OAC＝300。 ∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝600－300＝300，∴∠AOB＝∠OAC。∴AB＝OB。。 在 Rt△BOC 中，OB＝OC  cos∠BOC＝10 2 3 ＝ 3 320 （米）， ∴AB＝ 3 320 。 ∴ 3 32013 320 汽V （米/秒）。 （2）∵36 千米/时＝10 米/秒， 又∵ 3.113 320  ， ∴ 103 320  。 ∴小汽车超速了。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），等腰三角形的判定。 【分析】（1）据题意得∠AOC=60°，∠BOC=30°，然后在 Rt△AOC 中求出∠OAC=30°， 接着求出∠AOB，由此得到∠AOB=∠OAC，再利用等腰三角形的判定得到 AB=OB，又在 Rt△BOC 中 OB=OC÷cos∠BOC，由此求出 OB，最后可以求出 AB。 （2）首先统一单位，然后利用时间、速度、路程之间的关系即可求出时间，然后比 较大小即可解决问题。 90.（贵州遵义 8 分）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天 桥，原设计天桥的楼梯长 AB=6 m ,∠ABC=45o，后考虑到安全因素， 将楼梯脚 B 移到 CB 延长线上点 D 处，使 030ADC （如图所示）． （1）求调整后楼梯 AD 的长； （2）求 BD 的长． （结果保留根号） 【答案】解：(1)在 Rt△ABC 中，∠ABC=45o， ∵sin∠ABC= AC AB ，AB=6， ∴AC=AB·sin45o= 232 26  。 又∵∠ACD=90O,∠ADC=30O， ∴ AD=2AC= 26232  。 答：调整后楼梯 AD 的长为 m26 。 （2）由（1）知：AC=BC= 23 ，AD= 26 ， ∵∠ACD=90O，∠ADC=30O， ∴DC=AD·cos30o= 632 326  。 ∴BD=DC-BC= 2363  。 答：BD 的长为 m2363  。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）首先由已知 AB=6m，∠ABC=45°求出 AC 和 BC，再由∠ADC=30°求出 AD=2AC。 （2）先由锐角三角函数求出 DC，从而求出 BD。 91.（贵州铜仁 10 分）如图，在 A 岛周围 25 海里水域有暗礁，一轮船 由西向东航行到 O 处时，发现 A 岛在北偏东 60°方向，轮船继续前行 20 海里到达 B 处发现 A 岛在北偏东 45°方向，该船若不改变航向继续前进， 有无触礁的危险？ （参考数据： 32.713  ） 【答案】解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°, ∠ACB=90°，∴BC=AC。 ∴在 Rt△AOC 中，由 tan30°= AC OC , 得 AC 3 20+AC 3  。 解得 AC= 32.27 13 20   （海里）。 ∵27.32 海里＞25 海里，∴轮船不会触礁。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。 【分析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点 P 的最近距离，然后与暗礁 区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险。 92.（贵州黔东南 12 分）如图所示，某公司办公楼的对面小山上矗立着一座铁塔 FD，小敏 站在 10 米高的 楼顶上 A 处测得塔顶 F 的仰角为 45°，他从楼底 B 处水平走到坡脚 C，从 C 处测得塔 底部 D 的仰角为 60°，铁塔 FD 与水平地面 BC 垂直于点 E，若 BC=100 米，斜坡长 CD=220 米，试求铁塔 FD 的高（测量仪的高度忽略不计，结果保留根号）。 【答案】解：过点 A 作 AG⊥EF，垂足为点 G。 ∵在 Rt△DCE 中，CD=220，∠DCE=600， ∴CE=CD ·cos∠DCE=110，DE=CD·sin∠DCE=110 3 。 ∴在矩形 ABEG 中，AG=BE=BC＋CE=210，GE=AB=10。 又∵在 Rt△AGF 中，AG=210，∠FAG=450，∴FG=210。 ∴FD=FG－DG=FG－（DE－GE）=210－（110 3 －10）=220－110 3 （米）。 ∴铁塔 FD 的高为 220－110 3 米。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，矩形的性质，等腰直 角三角形的性质。 【分析】过点 A 作 AG⊥EF，构造直角三角形，分别在 Rt△DCE 和 Rt△AGF 中应用锐角 三角函数和等腰直角三角形的性质求得有关长度即可。 93.（福建漳州 8 分）某校“我爱学数学”课题学习小组的活动主题是“测量学校旗杆的高度”．以 下是该课题 小组研究报告的部分记录内容： 课题 测量学校旗杆的高度 图示 A B G D F C E小红 1.6 m 小亮12 m 30° 60° 发言记录 小红：我站在远处看旗杆顶端，测得仰角为 30° 小亮：我从小红的位置向旗杆方向前进 12 m 看旗杆顶端，测得仰角为 60° 小红：我和小亮的目高都是 1.6 m 请你根据表格中记录的信息，计算旗杆 AG 的高度．（ 3取 1.7，结果保留两个有效数 字） 【答案】解：设 BD＝x m，AB＝ 3 x m， 在 Rt△ABC 中，cos30°＝BC AB ，即12＋x 3x ＝ 3 ，解得 x＝6， ∴AB＝6 3 。 ∴AG＝6 3＋1.6≈6×1.7＋1.6≈12。 答：旗杆 AG 的高度为 12 m。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】先分析图形，根据题意解直角三角形．本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边 构造三角关系，从而可求出答案。 94.（福建宁德 10 分）图 1 是安装在斜屋面上的 热水器，图 2 是安装该热水器的侧面示意图.已 知，斜屋面的倾斜角为 25°，长为 2.1 米的真空 管 AB 与水平线 AD 的夹角为 40°，安装热水器 的铁架水平横管 BC 长 0.2 米，求 ⑴真空管上端 B 到 AD 的距离（结果精确到 0.01 米）； ⑵铁架垂直管 CE 的长（结果精确到 0.01 米）. 【答案】解：⑴过 B 作 BF⊥AD 于 F. 在 Rt△ABF 中，∵sin∠BAF＝ BF AB ， A F D B C E ）25° A D B C E ）25° 图 1 图 2 ∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.350。 ∴真空管上端 B 到 AD 的距离约为 1.35 米。 ⑵在 Rt△ABF 中，[∵cos∠BAF＝ AF AB ， ∴AF＝ABcos∠DAF＝2.1cos40°≈1.609。 ∵BF⊥AD，CD⊥AD，又 BC∥FD，∴四边形 BFDC 是矩形。∴BF＝CD， BC＝FD。 在 Rt△EAD 中，∵tan∠EAD＝ ED AD ， ∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844。 ∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51。 ∴安装铁架上垂直管 CE 的长约为 0.51 米。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，矩形的判定和性质。 【分析】（1）构造直角三角形 ABF，应用锐角三角函数求解。 （2）求出 CD=BF 和 DE 的长即可。 95.（湖南郴州 6 分）如图，李军在 A 处测得风筝（C 处）的仰角为 30°，同时在 A 正对着 风筝方向距 A 处 30 米的 B 处，李明测得风筝的仰角为 60°．求风筝此时 的高度．（结果保留根号） 【答案】解：∵∠A=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°。 ∴BC=AB=30， 在 Rt△BCD 中，∠CBD=60°，BC=30， ∴sin∠CBD= CD BC ，sin60°= CD 30 ， ∴ CD=15 3 。 答：风筝此时的高度15 3 米。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。 【分析】先求出 AB=BC，在Rt△CBD 中，由 CD=sin60°×BC 即可得出答案。 2010 年全国各地中考数学压轴题汇编 第 30 章 解直角三角形 一、选择题 1．（2010 辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是 30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离 BE 为 5m，AB 为 1.5m 二、填空题 1．（2010 山东济宁）如图，是一张宽 m 的矩形台球桌 ABCD ，一球从点 M （点 M 在长 边CD 上）出发沿虚线 MN 射向边 BC ，然后反弹到边 AB 上的 P 点. 如果 MC n ， CMN   .那么 P 点与 B 点的距离为 . A B CD · ·M N  (第 15 题) 【答案】 tan tan m n     2．（2010 重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点 A 处，测量建在与小明家楼房 同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A 处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60°，在点 A 处看 这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为 45°，两栋楼之间的距离为 30m，则电梯楼的高 BC 为 米（精确到 0.1）.（参考数据： 414.12  732.13  ） 【答案】82.0 3．（2010 江西）如图，从点 C 测得树的顶角为 33º，BC＝20 米，则树高 AB＝ 米 （用计算器计算，结果精确到 0.1 米） 【答案】 0.13 4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在 A 处看到灯塔 S 在船的北偏东 30°的方向上，航行 12 海里到达 B 点，在 B 处看到灯塔 S 在 船的北偏东 60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中 距灯塔 S 的最近距离是 海里（不作近似计算）。 【答案】 36 5．（2010 广东深圳）如图 5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60°方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30°方向上， 那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。 【答案】15 6．（2010 广东佛山）如图，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的政务时刻 阳光刚好不能射入窗户，则 AB 的长度是 米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面 夹角为 60°） 【答案】 3 7．（2010 辽宁沈阳）若等腰梯形 ABCD 的上、下底之和为 2，并且两条对角线所成的锐角 为 60°，则等腰梯形 ABCD 的面积为 。 【答案】 3 或 3 3 8．（2010 四川达州）如图 5，一水库迎水坡 AB 的坡度 1i  ︰ 3 ， 则该坡的坡角 = . 图 5 【答案】30° B A E D C 30° （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A．（ 5 3 3 3 2  ）m B．（ 35 3 2  ）m C． 5 3 3 m D．4m 【答案】A 9．（2010 江苏宿迁）小明沿着坡度为 1:2 的山坡向上走了 1000m，则他升高了 A． 5200 m B．500m C． 3500 m D．1000m 【答案】A 10．（2010 浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比 1： 3（坡 比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ） A．5 3 米 B．10 米 C．15 米 D．10 3 米 【答案】A． 三、解答题 1．（2010 安徽省中中考） 若河岸的两边平行，河宽为 900 米，一只船由河岸的 A 处沿直 线方向开往对岸的 B 处，AB 与河岸的夹角是 600，船的速度为 5 米/秒，求船从 A 到 B 处约 需时间几分。（参考数据： 7.13  ） 【答案】 2．（2010 安徽芜湖）（本小题满分 8 分）图 1 为已建设封项的 16 层楼房和其塔吊图，图 2 为其示意图，吊臂 AB 与地面 EH 平行，测得 A 点到楼顶 D 点的距离为 5m，每层楼高 3.5m， AE、BF、CH 都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高 CH 的长． 解： 【答案】 3．（2010 广东广州，22，12 分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图 8 所示， 新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°， 在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离 AC； （2）求大楼的高度 CD（精确到 1 米） 45° 39°D C A E B 【分析】（1）由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC 是等腰直角三角形，所以 AC ＝AB＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝610 米，在 Rt△BDE 中，运用直角 三角形的边角关系即可求出 BE 的长，用 AB 的长减去 BE 的长度即可． 【答案】（1）由题意，AC＝AB＝610（米）； （2）DE＝AC＝610（米），在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ BE DE ，故 BE＝DEtan39°． 因为 CD＝AE，所以 CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米） 答：大楼的高度 CD 约为 116 米． 【涉及知识点】解直角三角形 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系 及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题 的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍． 4．（2010 甘肃兰州）（本题满分 8 分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传 送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 45°改为 30°. 已 知原传送带 AB 长为 4 米. （1）求新传送带 AC 的长度； （2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 5 ≈2.24， 6 ≈2.45) 【答案】（1）如图，作 AD⊥BC 于点 D ……………………………………1 分 Rt△ABD 中， AD=ABsin45°=4 222 2  ……2 分 在 Rt△ACD 中，∵∠ACD=30° ∴AC=2AD= 24 ≈ 6.5 ………………………3 分 即新传送带 AC 的长度约为 6.5 米． ………………………………………4 分 （2）结论：货物 MNQP 应挪走． ……………………………………5 分 解：在 Rt△ABD 中，BD=ABcos45°=4 222 2  ……………………6 分 在 Rt△ACD 中，CD=AC cos30°= 622 324  ∴CB=CD—BD= )26(22262  ≈2.1 ∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7 分 ∴货物 MNQP 应挪走． …………………………………………………………8 分 5．（2010 江苏南京）（7 分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平 距离 BC 为 10m，测角仪的高度 CD 为 1.5m，测得树顶 A 的仰角为 33°.求树的高度 AB。 （参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 【答案】 6．（2010 江苏南通）（本小题满分 9 分） 光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以 50 m/min 的速 度向正东方向行走，在 A 处测得建筑物 C 在北偏东 60°方向上，20min 后他走到 B 处， 测得建筑物 C 在北偏西 45°方向上，求建筑物 C 到公路 AB 的距离．（已知 3 1.732 ） 北北 A B C 60° 45° （第 23 题） 【答案】过 C 作 CD⊥AB 于 D 点， 由题意可知 AB=50×20=1000m， ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD=CD/tan30°，BC=CD/tan45°， ∵AD+BD= CD/tan30°+ CD/tan45°=1000， 解得 CD= 1000 3 1 =500（ 3 1 ）m≈366m． 7．（2010 江苏盐城）（本题满分 10 分）如图所示，小杨在广场上的 A 处正面观测一座楼 房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端 D 处的仰角为 30º，然后他正对大楼方向前进 5m 到 达 B 处，又测得该屏幕上端 C 处的仰角为 45º．若该楼高为 26.65m，小杨的眼睛离地 面 1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离 （ 3 ≈1.732，结果精确到 0.1m）． A B C D E 【答案】解：设 AB、CD 的延长线相交于点 E ∵∠CBE=45º CE⊥AE ∴CE=BE………………………（2 分） ∵CE=26.65-1.65=25 ∴BE=25 ∴AE=AB+BE=30 ……………………………………………（4 分） 在 Rt△ADE 中，∵∠DAE=30º ∴DE=AE×tan30 º =30× 3 3 =10 3 …………………（7 分） ∴CD=CE-DE=25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………（9 分） 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为 7.7m ……………………（10 分） （注：不作答不扣分） A B C D E 8．（2010 山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB＝80 米．为测量这座居 民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37°，大厦底部 B 的俯角为 48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据： o o o o3 3 7 11sin37 tan37 sin 48 tan485 4 10 10    ， ， ， ） 【答案】 解：设 CD = x． 在 Rt△ACD 中， tan37 AD CD   ， 则 3 4 AD x  ， ∴ 3 4AD x . A 在 Rt△BCD 中， tan48° = BD CD ， 则 11 10 BD x  ， ∴ 11 10BD x . ……………………4 分 ∵AD＋BD = AB， ∴ 3 11 804 10x x  ． 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 大约是 43 米． ………………… 6 9．（2010 四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜 角由 45 降为30 ，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D、B、C 在同一水平地面上。 （１） 改善后滑滑板会加餐长多少米？ （２） 若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空 地，像这样改造是否可行？请说明理由。 （参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 6 2.449 ，以上结果均保留到小数点后 两位）。 【答案】 A B C D 30 45 第 20 题图 10．（2010 四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度 AB．小刚 在 D 处用高 1.5m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为 30°，然后向教学楼前进 40m 到达 E，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°．求这幢教学楼的高度 AB． 【答案】 解：在 Rt△AFG 中， tan AGAFG FG   ∴ tan 3 AG AGFG AFG   ……………（2 分） 在 Rt△ACG 中， tan AGACG CG   ∴ 3tan AGCG AGACG   …………（4 分） 又 40CG FG  即 3 40 3 AGAG   ∴ 20 3AG  …………………………（7 分）[来源:www.shulihua.net] ∴ 20 3 1.5AB   （米） 答：这幢教学楼的高度 AB 为 (20 3 1.5) 米．（8 分） 11．（2010 浙江杭州）(本小题满分 10 分) 如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移 动的速度为 30 千米/时，受影响区域的半径为 200 千米，B 市位 于点 P 的北偏东 75°方向上，距离点 P 320 千米处. (1) 说明本次台风会影响 B 市； （2）求这次台风影响 B 市的时间. 【答案】 (1) 作 BH⊥PQ 于点 H, 在 Rt△BHP 中, 由条件知, PB = 320, BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200, ∴本次台风会影响 B 市. ---4 分 (2) 如图, 若台风中心移动到 P1 时, 台风开始影响 B 市, 台风中心移动到 P2 时, 台风影 响结束. 由（1）得 BH = 160, 由条件得 BP1=BP2 = 200, ∴P1P2 = 2 22 160200  =240, --- 4 分 ∴台风影响的时间 t = 30 240 = 8(小时). --- 2 分 12．（2010 浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形 ABCD，如图（单位： 米）．设路基高为 h，两侧的坡角分别为 和  ，已知 2h ，  45 ， 2 1tan  ， 10CD ． （1）求路基底部 AB 的宽； （2）修筑这样的路基 1000 米，需要多少土石方？ 【答案】1）作 ABDE  于 E， ABCF  于 F，则 2 CFDE ，   A B C E D F （第 21 题） 在 Rt△ADE 中，∵  45 ，∴ 2 DEAE ． 在 Rt△CFB 中，∵ 2 1tan  ，∴ 2 1 BF CF ，∴ 42  CFBF ． 在梯形 ABCD 中，又∵EF＝CD＝10， ∴AB＝AE＋EF＋FB＝16（米）． …6 分 （2）在梯形 ABCD 中，∵AB＝16， 10CD ， 2DE ， ∴面积为 262)1610(2 1)(2 1  DEABCD （平方米）， ∴修筑 1000 米路基，需要土石方： 26000100026  （立方米）． …4 分 13．（2010 浙江绍兴）如图,小敏、小亮从 A,B 两地观测空中 C 处一个气球,分 别测得仰角为 30°和 60°,A,B 两地相距 100 m.当气球 沿与 BA 平行地飘移 10 秒后到达 C′处时,在 A 处测得气 球的仰角为 45°. （1）求气球的高度（结果精确到 0.1ｍ）； （2）求气球飘移的平均速度（结果保留 3 个有效数字）.   A B CD （第 21 题） 第 20 题图 【答案】 解:(1) 作 CD⊥AB,C/E⊥AB,垂足分别为 D,E. 第 20 题图 第 21 题图∵ CD ＝BD·tan60°, CD ＝（100＋BD）·tan30°, ∴（100＋BD）·tan30°＝BD·tan60°, ∴ BD＝50, CD ＝50 3 ≈86.6 m， ∴ 气球的高度约为 86.6 m. (2) ∵ BD＝50, AB＝100, ∴ AD＝150 , 又∵ AE ＝C/E＝50 3 , ∴ DE ＝150－50 3 ≈63.40， ∴ 气球飘移的平均速度约为 6.34 米/秒. 14．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂 的两 棵树间水平距离 AB=4 米，斜面距离 BC=4.25 米，斜坡总长 DE=85 米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到 1°）； （2）若这段斜坡用厚度为 17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶? 参考数据 cos20°  0.94， sin20°  0.34， sin18°  0.31， cos18°  0.95 17cm （第 19 题） A B C D E F 【答案】(1) cos∠D=cos∠ABC= BC AB = 25.4 4  0.94， ∴∠D  20°． （2）EF=DEsin∠D=85sin20°  85×0.34=28.9(米) ， 共需台阶 28.9×100÷17=170 级． 15．（2010 山东聊城）建于明洪武七年（1374 年），高度 33 米的光岳楼是目前我国现存的 最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在 30 米高的光岳楼顶 P 处，利用自制测角仪测得正南方向一商店 A 点的俯角为 60º，又测得其正前方的海源阁宾 馆 B 点的俯角为 30º（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号） 【答案】由题意知∠PAO＝60º，∠B＝30º，在 Rt△POA 中，tan POPAO OA   ， 30tan 60 OA   ， OA＝30÷ 3 ＝10 3 ，在在 Rt△POB 中， tan POB AB  ， 30tan 30 OA   ，OA＝30÷ 3 3 ＝ 30 3 ，∴AB＝OB－OA＝ 30 3 －10 3 ＝ 20 3 16．（2010 湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些 主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆 AB 高度是 3m，从侧面 D 点测得显示 牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60 和 45 ．求路况显示牌 BC 的高度． 【 答 案 】 解 ： 在 Rt △ ABD,AB ＝ 3m ， ∠ ADB ＝ 45 ° 所 以 3 3 3tan tan 45 1 ABAD ADB      ． Rt △ ACD 中 ， AD ＝ 3m ， ∠ ADC ＝ 60 ° 所 以 tan 3 tan 60 3 3 3 3AC AD ADC      ． 所 以 路 况 显 示 牌 BC 的 高 度 为  3 3 3－ m． 17．（2010 浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝 ﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的 C 处(如图).现已知风筝 A 的引线（线段 AC）长 20m，风筝 B 的引线（线段 BC）长 24m，在 C 处测得风筝 A 的仰角 为 60°，风筝 B 的仰角为 45°. （1）试通过计算，比较风筝 A 与风筝 B 谁离地面更高？ （2）求风筝 A 与风筝 B 的水平距离. (精确到 0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732） 21 世纪教育网 AB 45° 60° CE D ( 第 19 题 【答案】解：（1）分别过 A，B 作地面的垂线，垂足分别为 D，E． AB 45° 60° CE D 在 Rt△ADC 中， ∵AC﹦20，∠ACD﹦60°， ∴AD﹦20×sin 60°﹦10 3 ≈17.32m 在 Rt△BEC 中， ∵BC﹦24，∠BEC﹦45°， ∴BE﹦24×sin 45°﹦12 2 ≈16.97 m ∵17.32>16.97 ∴风筝 A 比风筝 B 离地面更高． （2）在 Rt△ADC 中， ∵AC﹦20，∠ACD﹦60°， ∴DC﹦20×cos 60°﹦10 m 在 Rt△BEC 中， ∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈16.97 m ∴EC－DC≈16.97－10﹦6.97m 即风筝 A 与风筝 B 的水平距离约为 6.97m． 18．（2010 山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地， 如图所示，BC∥AD，斜坡 AB=40 米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保 障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 450 时，可确保山体不 滑坡，改造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿 BC 削进到 E 处，问 BE 至少是多少米(结果保 留根号)？ 【答案】解：作 BG⊥AD 于 G，作 EF⊥AD 于 F， ∵Rt△ABG 中，∠BAD=600，AB=40， ∴ BG =AB·sin600=20 3 ，AG = AB·cos600=20 同理在 Rt△AEF 中，∠EAD=450， ∴AF=EF=BG=20 3 ， ∴BE=FG=AF-AG=20( 13  )米. 19．（2010 江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚 C 处出发，以 24 米/ 分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚 B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度 31∶i ，山坡长为 240 米，南坡的坡角是 45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮 同时到达山顶 A？（将山路 AB、AC 看成线段，结果保留根号） D A BC E 【答案】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 在 Rt△ADC 中 ， 由 3:1i 得 tanC= 3 3 3 1  ∴∠C=30°∴AD= 2 1 AC= 2 1 ×240=120(米) 在 Rt△ABD 中，∠B=45°∴AB＝ 2 AD＝120 2 （米） 120 2 ÷（240÷24）＝120 2 ÷10＝12 2 （米/分钟） 答：李强以 12 2 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A． 20．（2010 江苏无锡）在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1km 的码头 MN（如图），在码头 西端 M 的正西 19.5km 处有一观察站 A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的 北偏西 30°，且与 A 相距 40km 的 B 处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于 A 的 北偏东 60°，且与 A 相距8 3 km 的 C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理 由． 【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°， ∴ 2 240 (8 3) 16 7BC    ． ∴轮船航行的速度为 416 7 12 7 3   km/时． (2)能．……（4 分） 作 BD⊥l 于 D，CE⊥l 于 E，设直线 BC 交 l 于 F， 则 BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE= 4 3 ，AE=AC·cos∠CAE=12． ∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF， ∴ ,DF BD EF CE  ∴ 32 20 3 4 3 EF EF   ，∴EF=8． ∴AF=AE+EF=20． ∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头 MN 靠岸． 21．（2010 湖南邵阳，22，8 分）如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人 将坡长为 10 米（AB＝10 米），坡角为 20°30 `（∠BAC＝20°30 ` ）的斜坡通道改造成坡角为 12°30 `（∠BDC＝12°30 ` ）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点Ｄ处，求改造后 的 斜 坡 通 道 BD 的 长 。 （ 结 果 精 确 到 0.1 米 , 参 考 数 据 :sin12°30 ` ＝ 0.21,sin20°30 ` ＝ 0.35,sin69°30 ` ＝0.94） D B C A 【答案】由题意，BC＝AB×sin20°30 ` ＝10×0.35＝3.5（米）； 在 Rt△BDC 中，sin12°30 ` ＝ BC BD ，故 BD＝ `sin12 30 BC  ≈16.7． 答：履行后斜坡通道 BD 的长约为 16.7 米． 22．（2010 重庆綦江县）据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我 县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的 限速是：每小时 80 千米（即最高时速不超过 80 千米），如图，他们将观测点设在到公路 l 的距离为 0.1 千米的 P 处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从 A 处行 驶到 B 处所用的时间为 3 秒（注：3 秒＝ 1 1200 小时），并测得∠PAO＝59°，∠BPO＝45°． 试计算 AB 并判断此车是否超速？（精确到 0.001）． （参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643） A B E F Q F P 【答案】设该轿车的速度为每小时 v 千米 ∵AB＝AO－BO，∠BPO＝45° ∴BO＝PO＝0.1 千米 又 AO＝OP×tan59°＝0.1×1.6643 ∴AB＝AO－BO＝0.1×1.6643－0.1＝0.1×0.6643＝0.06643 即 AB≈0.0066 千米 而 3 秒＝ 1 1200 小时 ∴v＝0.06643×1200≈79.716 千米/小时 ∵79.716＜80 ∴该轿车没有超速． 23．（2010 江苏连云港）（本题满分 10 分）如图，大海中有 A 和 B 两个岛屿，为测量它 们之间的距离，在海岸线 PQ 上点 E 处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点 F 处测 得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km． （1）判断 ABAE 的数量关系，并说明理由； （2）求两个岛屿 A 和 B 之间的距离（结果精确到 0.1km）．（参考数据： 3≈1.73， sin74°≈， cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24） 【答案】 24．（2010 湖南衡阳）为申办 2010 年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽 工程中，要伐掉一棵树 AB，在地面上事先划定以 B 为圆心，半径与 AB 等长的圆形危险区， 现在某工人站在离 B 点 3 米远的 D 处，从 C 点测得树的顶端 A 点的仰角为 60°，树的底部 B 点的俯角为 30°. 问：距离 B 点 8 米远的保护物是否在危险区内？9 分   60 30 BD C A 【答案】在 Rt△BDC 中，BC= 2 3 3 30cos  BD =2 3 ， 在 Rt△ABC 中，AB=2BC=4 3 ＜8 所以离 B 点 8 米远的保护物在危险区内. 25．（2010 黄冈）（9 分）如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30°方向直 线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60°方向，测绘员 沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60°方向，请你在 主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN 的长. 第 23 题图 【答案】解：过 M 作 MN⊥AC，此时 MN 最小，AN＝1500 米 26．（2010 山东莱芜）2009 年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广 场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为 36 米的 A 处时，仪器显示 正前方一高楼顶部 B 的仰角是 37°，底部 C 的俯角是 60°.为了安全飞越高楼，气球应至少 再上升多少米？（结果精确到 0.1 米） （参考数据： ,75.037tan,80.037cos,60.037sin  73.13  ） B A C （第 20 题图） 【答案】解：过 A 作 AD⊥CB，垂足为点 D． 在 Rt△ADC 中，∵CD=36，∠CAD=60°． ∴AD= 312 3 36 60tan  CD ≈20.76． 在 Rt△ADB 中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°． ∴BD= 37tanAD ≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． 答：气球应至少再上升 15.6 米． 27．（2010 福建宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图 是小明站在距离墙壁 1.60 米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部 A 处 于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置 E 处，且与 AD 垂直.已知装饰画的高度 AD 为 0.66 米， 求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到 1°）； ⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离 DC（精确到 0.01 米）. B A C D A C D E B 【答案】解：⑴ ∵AD＝0.66， ∴AE＝ 2 1 CD＝0.33. 在 Rt△ABE 中，………………1 分 ∵sin∠ABE＝ AB AE ＝ 6.1 33.0 ， ∴∠ABE≈12°. ………………4 分 ∵∠CAD＋∠DAB＝90°，∠ABE＋∠DAB＝90°， ∴∠CAD＝∠ABE＝12°. ∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为 12°. ⑵ 解法一： 在 Rt△∠ABE 中， ∵sin∠CAD＝ AD CD ， ∴CD＝AD·sin∠CAD＝0.66×sin12°≈0.14. 解法二： ∵∠CAD＝∠ABE， ∠ACD＝∠AEB＝90°， ∴△ACD∽△BEA. ∴ AB AD AE CD  . ∴ 6.1 66.0 33.0 CD . ∴CD≈0.14. ∴镜框顶部到墙壁的距离 CD 约是 0.14 米. 28．（2010 四川巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中， 利用课外时间 测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基 3.3 米的一 平坝内(如图 11)．测得树顶 A 的仰角∠ACB=60°，沿直线 BC 后退 6 米到点 D，又测得树顶 A 的仰角∠ADB=45°．若测角仪 DE 高 1.3 米，求这棵树的高 AM．(结果保留两位小数， 3≈1.732) 【答案】设 AB= x 米，∠ACB=60°，则 BC= x3 3 米，∠ADB=45°，则 BD= x 米，∴ 63 3  xx ， x = 339  ，AM= 12337)3.13.3(339  米 答：这棵树的高 AM 为 12 米。 29．（2010 江苏淮安）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道．若点 E，F 均在线段 AD 上，四边形 BCEF 是矩形，且 sin∠BAF= 2 3 ，BF=3 米，BC=1 米，CD=6 米．求： (1) ∠D 的度数； (2)线段 AE 的长． 题 25 图 【答案】解：（1）∵四边形 BCEF 是矩形， ∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE， ∴∠BFA=∠CED=90°， ∵CE=BF，BF=3 米， ∴CE=3 米， ∵CD=6 米，∠CED=90°， ∴∠D=30°. （2）∵sin∠BAF= 2 3 ， ∴ 2 3 BF AB  ，∵BF=3 米，∴AB= 9 2 米， ∴ 2 29 3 532 2AF       米，∵CD=6 米，∠CED=90°，∠D=30°， ∴ 3cos 30 2 DE CD  ∴ 3 3DE  米，∴AE= 9 3 2 2  米. 30．（2010 山东潍坊）路边的路灯的灯柱 BC 垂直于地面，灯杆 BA 的长为 2 米，灯杆与灯 柱 BC 成 120°角，锥形灯罩的轴线 AD 与灯杆 AB 垂直，且灯罩轴线 AD 正好通过道路 里面的中心线（D 在中心线上），已知 C 点与 D 点之间的距离为 12 米，求灯柱 BC 的 高（结果保留根号） 【答案】解：设灯柱 BC 的长为 h 米，过点 A 作 AD⊥CD 于点 H，过 B 作 BE⊥AH 于点 E， ∴四边形 BCHE 为矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝60°，在 Rt△AEB 中，∴AE＝ABsin30°＝1，BE＝ABcos30°＝ 3 ，∴CH＝ 3 ， 又 CD＝12，∴DH＝12－ 3 ，在 Rt△AHD 中，tan∠ADH＝ AH HD ＝ h 1 3 12 3    ，解得， h＝12 3 －4（米），∴灯柱 BC 的高为（12 3 －4）米． 31.（2010 湖南郴州）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形， 中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 ADC 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶 的高度（即 A、C 之间的距离）.若 AB=40cm，当 ADC 从 60 变为120 时，千斤顶升高 了多少？（ 2 1.414, 3 1.732= = ，结果保留整数） 第 22 题 【答案】解: 连结 AC，与 BD 相交于点 O 四边形 ABCD 是菱形 AC^ BD,Ð ADB=Ð CDB,AC=2AO 当Ð ADC= 60° 时， ADC 是等边三角形 AC=AD=AB=40 当Ð ADC=120° 时，Ð ADO= 60° AO=AD×sinÐ ADO=40× 3 2 =20 3 AC=40 3 因此增加的高度为 40 3 -40=40´0.732» 29（cm） (说明：当Ð ADC=120° 时，求 AC 的长可在直角三角形用勾股定理) 32. （2010 湖北鄂州）如图，一艘舰艇在海面下 500 米 A 点处测得俯角为 30°前下方的海 底 C 处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60°前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点距离海面的深度（结果保留 根号）． D E A B C F30° 60° 【答案】 解 法 一 ： 作 CF ⊥ AB 于 F ， 则 tan30 ,tan 60CF CF AF BF    ， ∴ 33 ,tan30 tan 60 3 CF CFAF CF BF CF     ， ∵ 4000AF BF AB   ， ∴ 33 40003CF CF  ， ∴ 2000 3CF  ， ∴ 海 底 黑 匣 子 C 点 距 离 海 面 的 深 度 500 2000 3  解法二：作CF⊥AB于 F，∵ CBF BAC BCA    ，∴ 30BCA   ，∴ BCA BAC   ， ∴ 4000BA BC  ， ∵ 90 30BCF CBF      ， ∴ 2000BF  ， ∴ 2 2 2000 3CF BC BF   ，∴海底黑匣子 C 点距离海面的深度 500 2000 3  33. （2010 江苏扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的 宣传牌 CD．小明在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 60°，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部 C 的仰角为 45°．已知山坡 AB 的坡度 i＝1: 3，AB＝10 米，AE＝ 15 米，求这块宣传牌 CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考 数据： 2≈1.414， 3≈1.732） A B C D E 45° 60° 【答案】解：作 BF⊥DE 与点 F，BG⊥AE 于点 G 在 Rt△ADE 中 ∵tan∠ADE= AE DE , ∴DE=AE ·tan∠ADE=15 3 ∵山坡 AB 的坡度 i=1： 3 ，AB=10 ∴BG=5，AG= 35 ， ∴EF=BG=5，BF=AG+AE= 35 +15 ∵∠CBF=450 ∴CF=BF= 35 +15 ∴CD=CF+EF—DE=20—10 3 ≈20—10×1.732=2.68≈2.7 答：这块宣传牌 CD 的高度为 2.7 米． 34. （2010 云南红河哈尼族彝族自治州）如图 5，一架飞机在空中 P 处探测到某高山山顶 D 处的俯角为 60°，此后飞机以 300 米/秒的速度沿平行于地面 AB 的方向匀速飞行，飞行 10 秒到山顶 D 的正上方 C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为 12 千米，求这座山的高（精 确到 0.1 千米） 【答案】解：延长 CD 交 AB 于 G，则 CG=12（千米） 依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米） 在 Rt△PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC·tan∠P =3×tan60° = 33 ∴12-CD=12- 33 ≈6.8（千米） 答：这座山的高约为 6.8 千米. A B 12 千米 P C D G 60° 图 5 35. （2010 云南楚雄）如图，河流的两岸 PQ，MN 互相平行，河岸 PQ 上有一排小树，已 知相邻两树之间的距离 CD＝50 米，某人在河岸 MN 的 A 处测的∠DAN＝35°，然后沿河岸 走了 120 米到达 B 处，测的∠CBN＝70°，求河流的宽度 CE（结果保留两个有效数字）． （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） P D C Q M NA B E 35 70 【 答 案 】 解 ： 过 点 C 作 //CH DA ， 则 35CHB DAB     ． 因 为 CBE CHB BCH     ， 所 以 70 35 35BCH CBE CHB           ， 所 以 BCH CHB   ， 所 以 BC BH 因为 //CD AH ，所以四边形CDAH 是平行四边形，所以 50AH CD  ， 所以 120 50 70BC BH AB AH      ． 在直角三角形 BEC 中，因为sin CECBE CB   ， 所以 sin 70 sin 70 70 0.94 65.8CE BC CBE        ≈66． 所以河流的宽度 CE 为 66 米． P D C Q M NA B EH 35 70 36. （2010 湖北随州）如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30°方向直线延 伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60°方向，测绘员沿主 输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60°方向，请你在主输 气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN 的长. 第 23 题图 【答案】解：过 M 作 MN⊥AC，此时 MN 最小，AN＝1500 米 37．（2010 四川乐山）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固。原大坝的 横断面是梯形 ABCD，如图（9）所示，已知迎水面 AB 的长为 10 米，∠B＝60  ，背水面 DC 的长度为 10 3 米，加固后大坝的横断面为梯形 ABED。若 CE 的长为 5 米。 （1）已知需加固的大坝长为 100 米，求需要填方多少立方米； （2）求新大坝背水面 DE 的坡度。（计算结果保留根号） 【答案】解：（1）分别过 A、D 作 AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为 F、G，如图（1）所示 在 Rt△ABF 中，AB＝10 米，∠B＝60  。所以 sin∠B＝ 3, 10 5 32 AF AFAB     DG＝5 3 所以 S 1 1 255 5 3 32 2 2DCE CE DG       需要填方：100 25 3 1250 32   （立方米） （2）在直角三角形 DGC 中 ，DC＝10 3 ， 所以 GC＝    2 22 2 10 3 5 3 15DC DG    所以 GE＝GC＋CE＝20 所以坡度 i＝ 5 3 3 20 4 DG GE   答：（1）需要土石方 1250 3 立方米。（2）背水坡坡度为 3 4 38.（2010 江苏徐州）如图，小明在楼上点 A 处观察旗杆 BC，测得旗杆顶部 B 的仰角为 30°， 测得旗杆底部 C 的俯角为 60°，已知点 A 距地面的高 AD 为 12m．求旗杆的高度． 【答案】 39. （2010 云南昆明）热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋高楼顶部的仰角为 45°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，A 处与高楼的水平距离为 60m，这栋高楼有多高？ （结果精确到 0.1m，参考数据： 2 1.414, 3 1.732  ） 【答案】解：过点A作BC的垂线，垂足为D点 由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD = 60°, AD = 60m 在Rt△ACD中，∠CAD = 45°, AD⊥BC ∴ CD = AD = 60 在Rt△ABD中， ∵ BDtan BAD AD   ∴ BD = AD·tan∠BAD = 60 3 ∴BC = CD+BD = 60+60 3 ≈ 163.9 (m) 答：这栋高楼约有 163.9m． 40. （ 2010 陕 西 西 安 ） 在 一 次 测 量 活 动 中 ， 同 学 们 要 测 量 某 公 园 湖 的 码 头 21 世纪教育网 A 与它正东方向的亭子 B 之间的距离，如图，他们选择了与码头 A、亭子 B 在同一水 平面上的点 P，在点 P 处测得码头 A 位于点 P 北偏西 30°方向，亭子 B 位于点 P 北偏 东 43°方向；又测得点 P 与码头 A 之间的距离为 200 米。请你运用以上测得的数据求 出码头 A 与亭子 B 之间的距离。（结果精确到 1 米，参考数据： 933.043tan,732.13   ） 【答案】解：过点 P 作 PH⊥AB，垂足为 H，则∠APH=30°， ∠BPH=43°。 在 Rt△APH 中， AH=100，PH=AP .310030cos   在 Rt△PBH 中， .60.161933.0310043tan  PHBH .26260.161100  BHAHAB 答：码头 A 与亭子 B 之间的距离约为 262 米。 41．（2010 四川内江）（9 分）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城 区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸 岸边取一点 A，再在河这边沿河边取两点 B、C，在 B 处测得点 A 在北偏东 30°方向上， 在点 C 处测得点 A 在西北方向上，量得 BC 长为 200 米。求小河的宽度(结果保留根号). 解： A 北 C 北 B 南 西 西 东东 南 【答案】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.·································································· 1 分 A 北 C 北 B 南 西 西 东东 南 D 根据题意，∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°.···················································· 2 分 ∴∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD， ∴AD＝CD， ∴BD＝BC－CD＝200－AD.··················································································4 分 在 Rt△ABD 中，tan∠ABD＝AD BD ， ∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝ 3(200－AD) ，··································· 7 分 ∴AD＋ 3AD＝200 3， ∴AD＝200 3 3＋1 ＝300－100 3.·············································································· 9 分 答：该河段的宽度为(300－100 3)米. 42．（2010 湖北襄樊） 如图 4，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋大楼顶部 B 的 俯角为 30°，看这栋大楼底部 C 的俯角为 60°，热气球 A 的高度为 240 米，求这栋大 楼的高度． 图 4 【答案】解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂足为 D． 则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240 米． 在 Rt△ACD 中，tan∠CAD= CD AD ， ∴AD= 240 80 3tan 60 3 CD   ． 在 Rt△ABD 中，tan∠BAD= BD AD ， ∴BD=AD·tan30°=80 33 803   ． ∴BC=CD－BD=240－80=160． 答：这栋大楼的高为 160 米． 43．（2010 四川泸州）如图 5，某防洪指挥部发现长江边一处长 500 米，高 10 米，背水坡 的坡角为 45°的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组 制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡 EF 的 坡比 i=1： 3 . （1）求加固后坝底增加的宽度 AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号） 【答案】（1）分别过点 E、D 作 EG⊥AB、DH⊥AB 交 AB 于 G、H.∵ABCD 是梯形， 且 AB∥CD ， ∴DH / / EG ， 故 四 边 形 EGHD 是 矩 形 ， ∴ED=GH ， 在 Rt△ADH 中 ， AH=DH·tan∠ADH=10×tan45°=10， 在 Rt△F GE 中 ， i=1 ： 3 = EG FG ,∴FG= 3 EG=10 3 .∴AF=FG+GH-AH=10 3 +3-10=10 3 -7. （ 2 ） 设 防 洪 堤 长 为 l ， ∵ 加 宽 部 分 主 体 的 体 积 V=S 梯 形 AFED×l= 1 2 (3+10 3 -7)×10×500=25000 3 -10000 答：加固后坝底增加的宽度为（10 3 -7）米，需土石（25000 3 -10000）立方米. 44．（2010 云南玉溪）在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形 如图 8，若 60ABC10,AC4,AB  , 求 B、C 两点间的距离． CB A 图 8 【答案】解：过 A 点作 AD⊥BC 于点 D， …………1 分 在 Rt△ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2 分 ∵AB=4, ∴BD=2, ∴AD=2 3 . …………4 分 在 Rt△ADC 中，AC=10， ∴CD= 22 ADAC  = 12100  =2 22 . …………5 分 ∴BC=2+2 22 . …………6 分 答 ： B 、 C 两 点 间 的 距 离 为 2+2 22 . …………7 分 45．（2010 天津）永乐桥摩天轮是天津市的标志性景 观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如 图，他们在 C 处测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 45， 再往摩天轮的方向前进 50 m 至 D 处，测得最高点 A 的 仰角为 60． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度 AB（ 3 1.732 ， 结果保留整数）． 【答案】解：根据题意，可知 45ACB   ， 60ADB   ， 50DC  . 在 Rt△ ABC 中，由 45BAC BCA     ，得 BC AB . A B CD 45°60° 第（23）题 在 Rt△ ABD 中，由 tan ABADB BD   ， 得 3 tan tan60 3 AB ABBD ABADB     . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 又 ∵ BC BD DC  ， ∴ 3 503AB AB  ，即 (3 3) 150AB  . ∴ 150 118 3 3 AB    . 答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为 118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 46 ． （ 2010 内 蒙 古 包 头 ） 如 图 ， 线 段 AB DC、 分 别 表 示 甲 、 乙 两 建 筑 物 的 高 ， AB BC DC BC⊥ ， ⊥ ，从 B 点测得 D 点的仰角 为 60°从 A 点测得 D 点的仰角  为 30°，已知甲建筑物高 36AB  米． （1）求乙建筑物的高 DC ； （2）求甲、乙两建筑物之间的距离 BC （结果精确到 0.01 米）． （参考数据： 2 1.414 3 1.732≈ ， ≈ ） 【答案】解：（1）过点 A 作 AE CD⊥ 于点 E ， 根据题意，得 60 30DBC DAE        °， °， 36AE BC EC AB  ， 米，····························· （2 分） 设 DE x ，则 36DC DE EC x    ， 在 Rt AED△ 中， tan tan30 DEDAE AE   ° ， 3 3AE x BC AE x    ， ， 在 Rt DCB△ 中， 36tan tan 60 3 3 DC xDBC BC x     ° ， ， 3 36 18 54x x x DC     ， ， （米）．··················································· （6 分） （2） 3BC AE x  ， 18x  ， 3 18 18 1.732 31.18BC     ≈ （米）． （8 分） 47．（2010 湖南湘潭）如图，我护航军舰在某海域航行到 B 处时，灯塔 A 在我军舰的北偏 东 60o 的方向；我军舰从 B 处向正东方向行驶 1800 米到达 C 处，此时灯塔 A 在我军舰的正   D 乙 CB A 甲   D 乙 CB A 甲 E 北方向．求 C 处与灯塔 A 的距离（结果保留四个有效数字）． 【答案】解:在 Rt△ABC 中，∠C=90O ，BC=1800，∠ABC=30O，…………………1 分 180030tan 0 AC BC AC  ………………………3 分 从而 3 31800 AC =600 3 ………………………4 分 ≈1039 ………………………5 分 答：C 处与灯塔 A 的距离为 1039 米． ………………………6 分 48．（2010 贵州贵阳）某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图 6 是该地 下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18o，C 在 BD 上，BC＝0.5m．根 据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知 驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为 CD 的 长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE 的 长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你 判断并计算出正确的结果．（结果精确到 0.1m） （图 6） 【答案】解：在△ABD 中，∠ABD＝90  ，∠BAD＝18，BA＝10 ∴tan∠BAD＝ BA BD ∴BD＝10×tan 18 东 北 60o A CB 19 题图 ∴CD＝BD―BC＝10×tan 18―0.5 在△ABD 中，∠CDE＝90  ―∠BAD＝72  ∵CE⊥ED ∴sin∠CDE＝ CD CE ∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72  ×（10×tan 18―0.5）≈2.6（m） 答：CE 为 2.6m 49．（2010 甘肃）（10 分）如图，李明同学在东西方向的滨海路 A 处，测得海中灯塔 P 在北偏东 60°方向上，他向东走 400 米至 B 处，测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上，求 灯塔 P 到滨海路的距离．（结果保留根号） 【 答 案 】 解 ： 过 点 P 作 PC ⊥ AB ， 垂 足 为 C. ………………………………………………1 分 由题意, 得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°. ∵ ∠PBC 是△APB 的一个外角，∴ ∠APB＝∠PBC-∠PAB=30O. …………………3 分 ∴ ∠PAB＝∠APB. ………………………………………………………4 分 故 AB=PB=400 米． …………………………6 分 在 Rt△PBC 中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400， ∴ PC=PB sin 60 …………………………8 分 =400× 2 3 = 3200 （米）.…………………10 分 50．（2010 湖北十堰）某乡镇中学数学活动小组，为测量数学楼后面的山高 AB，用了如下 的方法.如图所示，在教学楼底 C 处测得山顶 A 的仰角为 60°，在教学楼顶 D 处，测 得山顶 A 的仰角为 45°.已知教学楼高 CD=12 米，求山高 AB.（参考数据 3 =1.73， 2 =1.41，精确到 0.1 米，化简后再代入参考数据运算） （第 20 题） P A B C 30°60° 北 东 A B C D E 【答案】解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，而 AB⊥BC，DC⊥BC，故四边形 DEBC 为矩形， 则 CD=BE，∠ADE=45°，∠ACB=60°. 设 AB=h 米，在 Rt△ABC 中，BC=h·cot60°=h·tan30°= 3 3 h 在 Rt△AED 中，AE=DE·tan45°=BC·tan45°= 3 3 h 又 AB－AE=BE=CD=12 ∴h－ 3 3 h=12 ∴h= 12 31 3  = 36 18 6 3 3 3    =18+6×1.73=18+10.38≈28.4（米） 答：山高 AB 是 28.4 米. 51．（2010 四川自贡）如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB 表示铁夹的两个面， C 是轴，CD⊥OA 于点 D，已知 DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对 称图形，请求出 A、B 两点间的距离。 【答案】 52．（2010 四川自贡）如图：把一张给定大小的长方形卡片 ABCD 放在宽度为 10mm 的横格 纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长。 （参考数据 sin32°≈0.5 cos32°≈0.8 tan32°≈0.6） 【答案】 53．（2010宁夏回族自治区）小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于 同一水平面且东西走向的湖边小道 l 上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°, 亭B在点 M的北偏东60°,当小明由点M沿小道 l 向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量 数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离． [来源:www.shulihua.net] A B M 【答案】连结 AN、BQ ∵点 A 在点 N 的正北方向，点 B 在点 Q 的正北方向 ∴ lAN  lBQ  --------------------------1 分 在 Rt△AMN 中：tan∠AMN= MN AN ∴AN= 360 -----------------------------------------3 分 在 Rt△BMQ 中：tan∠BMQ= MQ BQ ∴BQ= 330 ----------------------------------------5 分 过 B 作 BE  AN 于点 E 则：BE=NQ=30 ∴AE= AN－BQ -----------------------------------8 分 在 Rt△ABE 中,由勾股定理得： 222 BEAEAB  222 30)330( AB ∴AB=60（米） 答：湖中两个小亭 A、B 之间的距离为 60 米。---------------------------------------------------10 分 54．（2010 青海西宁）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安， 更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞 C 里发 现了暗河（如图 11）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着 A、B 两村庄， 山洞 C 位于 A 村庄南偏东 30°方向，且位于 B 村庄南偏东 60°方向．为方便 A、B 两村庄的 村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞 C 处向公路 AB 紧急修建一条最近的简易公路 CD．现 已知 A、B 两村庄相距 6 千米. (1) 求这条最近的简易公路 CD 的长（保留 3 个有效数字）； (2) 每修建 1 千米的简易公路需费用 16 000 元，请求出修建该简易公路的最低费用（精确 到个位）． (本题参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) ， 图 11 E Q N M B A 【答案】解：如图：过 C 作 CD⊥AB 于 D.………………………………………………………… 1 分 设 CD=x，依题得： 在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°, ∠A=30° ∵ 30tan AD x ∴ 30tan xAD  …………………………………………………………2 分 同理： 60tan xBD  …………………………………………………………3 分 ∵AD-BD=14 ∴ 6 60tan - 30tan  xx …………………………………………………………4 分 解得： 33x ≈5.196（千米）…………………………………………6 分 5.196×16000=83136（元）……………………………………………7 分 答：这条最近的简易公路长为 5.196 千米，修建简易公路的最低费用为 83136 元. ……8 分 55．（2010 吉林长春）如图,望远镜调节好后,摆放在水平地面上,观测者用望远镜测物体时, 眼睛(在 A 点)到水平地面的距离 AD=91cm,沿 AB 方向观测物体的仰角α=33º,望远镜前端(B 点)与眼睛(A 点)之间的距离 153cm,求点 B 到水平地面的距离 BC 的长(精确到 0.1cm) 【参考数据: sin33 0.54,cos33 0.84,tan33 0.65      】 【答案】 56．（2010 鄂尔多斯）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已知测出树 AB 的 影 长 AC 为 12 米 ， 并 测 出 此 时 太 阳 光 线 与 地 面 成 30 ° 夹 角 （ )7.13,4.12  （1）求出树高 AB （2）因水土流失，此时树 ABI 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化， 假设太阳光线与地面夹角保持不变。（用图（2）解答） ①求树与地面成 45°角时的影长 ②求树的最大影长。 【答案】解（1）AB=ACtan30°=12× 3 3 =4 3 ≈7(米) （2）①如图（2）B1N=AN=AB1sin45°=4 3 × 2 2 ≈5（米） NC1=NB1tan60°= 362  ≈8(米) AC1=AN+NC1=5+8=13（米） 答：树与地面成 45°角时影长约 13（米） ②如图（2）当树与地央成 60°角时影长最 AC2（或树怀光线垂直时影长最大可光线与半径 为 AB 的⊙A 相切时影长最大） AC2=2AB2≈1(米) 答：树的最大影长约为 14 米。[来源:www.shulihua.net] 57．（2010 新疆乌鲁木齐）某过街天桥的截面图为梯形，如图 7 所示，其中天桥斜面 CD 的坡度为 3:1(3:1  ii 是指铅直高度 DE 与水平宽度 CE 的比），CD 的长为 10m， 天桥另一斜面 AB 的坡角 45ABC （1）写出过街天桥斜面 AB 的坡度； （2）求 DE 的长； （3）若决定对该过街天桥进行改建，使 AB 斜面的坡度变缓，将其 45°坡角改为 30°， 方便过路群众，改建后斜面为 AF，试计算此改建需占路面的宽度 FB 的长（结果 精确到 0.01） 【答案】解：（1）在 45,  ABGAGBRt 中 ° BGAG  AB 的坡度 1 BG AG …………2 分 （2）在 DECRt 中， 3 3tan  EC DEC 30 C ° 又 10CD )(52 1 mCDDE  …………5 分 （3）由（1）知 AFGRtBGAG  在,5 中， 30AFG ° FG AGAFG tan ，即 5 5 3 3  FB …………7 分 解得 66.3535 FB …………10 分 答：改建后需占路面宽度约为 m66.3 …………11 分 58．（2010 广西梧州）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，此时飞机的飞行高度是 AF=37 米，从飞机上观测山顶目标 C 的俯角是 30°，飞机继续以相同的高度飞行 3 千米到 B 处， 此时观测目标 C 的俯角是 60°，求此山的高度 CD。（精确到 01 千米） （参考数据： 2 ≈1414, 3 ≈1732） 【答案】 解 ： Rt △ ACE 中 ， ∠ EAC=30 ° ， 则 ∠ ACE=60°,tan∠ACE= CE AE ,∴AE= CE·tan60° = 3 CE Rt△BCE 中，∠CBE=60°，则∠BCE=30°,tan∠ BCE= CE BE , ∴ BE= CE · tan30 ° = 3 3 EA B C DF 60°30° CE,AB=AE-BE,即： 3 CE- 3 3 CE=3，∴CE= 2 33 ≈26（千米） 21 世纪教育网 ∴CD=AF-CE=37-26≈11（千米） 59．（2010 广西南宁）某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图 8 所示， 已知 mBCAC 8 ，  30A , ABCD  于点 D ． （1） 求 ACB 的大小； （2） 求 AB 的长度． 【答案】解：（1）∵  30, ABCAC ∴  30BA 1 分 ∵  180ACBBA 2 分 ∴ BAACB  180  3030180  120 4 分 （2）∵ ABCDBCAC  , ∴ ADAB 2 5 分 在 ADCRt 中，  30A ， 8AC ∴ AACAD cos 6 分 342 3830cos8  ∴ 382  ADAB ( m ) 8 分 60．（2010 云南昭通）云南 2009 年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾，部分坝塘干涸， 小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确 保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测 量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形 ABCD（如图 7 所示），AD∥BC，EF 为水 面，点 E 在 DC 上，测得背水坡 AB 的长为 18 米，倾角∠B=30°，迎水坡 CD 上线段 DE 的长为 8 米，∠ADC=120°． （1）请你帮技术员算出水的深度（精确到 0.01 米，参考数据 732..13  ）； （2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量 至少能使用 20 天？（精确到 0.01 米）   图7   120   30   F   E   D   C   B   A 【答案】解：分别过 A、B 作 AM⊥BC 于 M、DN⊥BC 于 N， ………1 分 在 Rt△ABM 中， ∵∠B=30°， ∴AM= 2 1 AB=9． ∵AM∥BC，AM⊥BC，DN⊥BC， ∴AM=DN=9． …………………2 分 ∵DN⊥AD， ∴∠ADN=90°． ∠CDN=∠ADC－∠AND=120°－90°=30°． 延长 FE 交ＤＮ于Ｈ. 在 Rt△DHE 中，cos∠EDH= DE HD , 830cos 0 DH , ∴DH= 342 38  , ………………………………6 分 ∴HN=DN－DH=9－ 34 =9－4×1.732≈2.07．（米） ……………8 分 （2） 10.01035.020 07.2  （米）． ……………………………9 分 答：平均每天水位下降必须控制在 0.01 米以内，才能保证现水量至少使用 20 天． 61．（2010 辽宁大连）如图 11，一艘海轮位于灯塔 C 的北偏东 30 方向，距离灯塔 80 海 里的 A 处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的东南方向上的 B 处 （1）求灯塔 C 到航线 AB 的距离； （2）若海轮的速度为 20 海里/时，求海轮从 A 处到 B 处所用的时间（结果精确到 0.1 小时） （参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ） 北 30 A B C 图 11 【答案】 62．（2010 贵州遵义）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡角∠BAD=60°，坡长 AB=20 3 m,为加强水坝强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处，使新的背水坡的坡角∠ F=45 ，求 AF 的长度（结果精确到 1 米，参考数据： 2 ≈1.414, 3 ≈1.732） 【答案】解法一：过点 B 作 ADBE  于 E 1 分 在 ABERt 中， ∵ 320,60,sin  ABBADAB BEBAD 2 分 ∴ 320 60sin BE ,即： 302 3320 BE 4 分 (22 题图) 又∵  45BFE ,∴ 30 BEEF 5 分 又∵  90,60 BEABAE ,∴  30ABE 6 分 ∴ 3103202 1 2 1  ABAE 7 分 ∴ 31030  AEEFAF 8 分 ∵ 732.13  ,∴ 1368.12 AF 9 分 答： AF 的长为 13 米． 10 分 解法二：过 B 作 ADBE  于 E 1 分 在 ABERt 中， ,60BAD ∴  30ABE 2 分 3103202 1 2 1  ABAE 4 分 ∴ 30)310()320( 2222  AEABBE 6 分 在 BEFRt 中，  45F ,∴ 30 BEEF 7 分 ∴ 31030  AEEFAF 8 分 ∵ 732.13  ,∴ 1368.12 AF 9 分 答： AF 的长为 13 米． 10 分 63．（2010 广西柳州）如图 10，从热气球 P 上测得两建筑物 A、B 的底部的俯角分别为 45° 和 30°，如果 A、B 两建筑物的距离为 90m，P 点在地面上的正投影恰好落在线段 AB 上，求 热气球 P 的高度．（结果精确到 0.01m，参考数据： 3 ≈1.732， 2 ≈1.414） 45° 30° FE P BA 【答案】32.94m 64．（2010 广东佛山）如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩 天轮的示意图，O 为圆心，AB 为为水平地面，假设摩天轮的直径为 80 米，最低点 C 离地 面为 6 米，旋转一周所用的时间为 6 分钟，小明从点 C 乘坐摩天轮（身高忽略不计），请 问： （1）经过 2 分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？ （2）若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围 3 公里远的地面景物，则他 看到的地面景物有多大面积？（精确到 1 平方公里） 【答案】（1）从点 C 乘坐摩天轮，经过 2 分钟后到达点 E，…………1 分 则∠COE=120°，…………………………………………2 分 延长 CO 与圆交于点 F，作 EG⊥OF 于点 G。…………3 分 则∠GOE=60°，…………………………………………4 分 在 RT△EOG 中，OG=40cos60°=20 米，………………5 分 ∴小明 2 分钟后离开地面高度 DG=DC+CO+OG=66 米，…4 分 （2）F 即为最高点，她能看到的地面景物面积为 s= 3 2 2( 3 0.086 )  ≈28 平方公里。………………………8 分 65．（2010 湖北宜昌）如图，华庆号船位于航海图上平面直角坐标系中的点 A（10,2）处时， 点 C、海岛 B 的位置在 y 轴上，且 30 , 60CBA CAB     。 （1）求这时船 A 与海岛 B 之间的距离； （2）若海岛 B 周围 16 海里内有海礁，华庆号船继续沿 AC 向 C 航行有无触礁危险？请说 明理由（7 分） 【答案】（1）证明：∵∠CBA＝30°, ∠CAB＝60°， ACB 90°．······· 1 分 在 Rt△ACB 中, ∵cos60 AC AB   , 20 AB ．·······················4 分 （2）在 Rt△ACB 中，tan60°= AC BC ， 10 3BC  ,································ 6 分 300 256 16BC    （或 BC≈17＞16）．································· 7 分 答：无触礁危险. 66．（2010 辽宁本溪）一艘轮船向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在 A 的北偏东 60°方 向，航行 40 海里到达 B 处，此时测得灯塔 P 在 B 的北偏东 15°方向上. （1）求灯塔 P 到轮船航线的距离 PD 是多少海里？（结果保留根号） （2）当轮船从 B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔 P 处同时前往 D 处，尽管快艇速度是 轮船速度的 2 倍，但快艇还是比轮船晚 15 分针到达 D 处，求轮船每小时航行多少海里？（结 果保留到个位，参考数据： 3 1.73 ）. A M 北 东 B D P N60° 15° 【答案】 67．（2010 辽宁沈阳）阅读下列材料，并解决后面的问题。 ★阅读材料： （1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线。 例如，如图 1，把海拔高度是 50 米、100 米、150 米的点分别连接起来，就分别形成 50 米、 100 米、150 米三条等高线。 （2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图 2） 步骤一：根据两点 A、B 所在的等高线地形图，分别读出点 A、B 的高度；A、B 两点的铅 直距离=点 A、B 的高度差； 步骤二：量出 AB 在等高线地形图上的距离为 d 个单位，若等高线地形图的比例尺为 1：n， 则 A、B 两点的水平距离=dn； 步骤三：AB 的坡度= dn 的高度差、点 水平距离 铅直距离 BA ； 请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上。 某中学学生小明和小丁生活在山城，如图 3（示意图），小明每天从家 A 经过 B 沿着 公路 AB、BP 到学校 P，小丁每天上学从家 C 沿着公路 CP 到学校 P．该山城等高线地形图 的比例尺为 1:50000，在等高线地形图上量得 AB=1.8 厘米，BP=3.6 厘米，CP=4.2 厘米。 （1）分别求出 AB、BP、CP 的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）； （2）若他们早晨 7 点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡 度在 10 1 到 8 1 之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为 1.3 米／秒；当坡度在 8 1 到 6 1 之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为 1 米／秒） 解：（1）AB 的水平距离=1.8×50000=90000（厘米）=900（米），AB 的坡度 = 9 1 900 100200  ；BP 的水平距离=3.6×50000=180000（厘米）=1800（米），BP 的坡度= 9 1 1800 200400  ；CP 的水平距离=4.2×50000=210000（厘米）=2100（米）， CP 的坡度= ① 。 （2）因为 8 1 9 1 10 1  ，所以小明在路段 AB、BP 上步行的平均速度均为 1.3 米／秒。 因为 ② ，所以小丁在路段 CP 上步行的平均速度约为 ③ 米／秒，斜 坡 AB 的 距 离 = 906100900 22  （ 米 ） ， 斜 坡 BP 的 距 离 = 18112001800 22  （米），斜坡 CP 的距离= 21213002100 22  （米）， 所以小明从家到学校的时间 20903.1 1811906  （秒）。小丁从家到学校的时间 约为 ④ 秒。因此， ⑤ 先到学校。 【答案】① 7 1 ，② 6 1 7 1 8 1  ，③1，④2121， ⑤小明 68．（2010 福建南平）南平是海峡西岸经济区的绿色腹地.如图所示，我市的 A、B 两地相 距 20km，B 在 A 的北偏东 45°方向上，一森林保护中心 P 在 A 的北偏东 30°和 B 的正西方 向上.现计划修建的一条高速铁路将经过 AB（线段），已知森林保护区的范围在以点 P 为圆 心，半径为 4km 的圆形区域内.请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？ 第 24 题A B P 北 北 【答案】 69．（2010 天门、潜江、仙桃）如图，A、B 两地被一大山阻隔，汽车从 A 地到 B 须经过 C 地中转.为了促进 A、B 两地的经济发展，现计划开通隧道，使汽车可以直接从 A 地到 B 地.已知∠A=30°，∠B=45°，BC= 215 千米.若汽车的平均速度为 45 千米/时，则隧道 开通后，汽车直接从 A 地到 B 地需要多长时间？(参考数据： 7.13,4.12  ) 【答案】过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 于点 D，则 在 Rt△BCD 中，BD=BCcos45°=15,CD=BD=15， 在 Rt△ACD 中，AD= 3530tan  CD 所以 AB=5 3 +15，所以 t= 45 1535  ≈0.52. 答：汽车直接从 A 地到 B 地需要 0.52 小时 70．（2010 云南曲靖）如图，小明家所住楼房的高度 AB=10 米，到对面较高楼房的距离 BD=20 米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为 400，据此，小 明便知楼房 CD 的高度。请你写出计算过程（结果精确到 0.1 米.参考数据：sin400≈0.64， cos400≈0.77，tan400≈0.84）. 【答案】解：在 Rt△ABP 中，tan400= ,10 BPBP AB  BP= .90.11 40tan 10 0  在 Rt△CDP 中， ,2090.1140tan 0  CD PD CD CD=31.90×0.84≈26.8（米） 答：楼房 CD 的高度为 26.8 米. 71．（2010 四川广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是 l0 米，坡面的倾斜角 为 45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为 30° 若新坡脚前需留 2 ．5 米的人行道，问离原坡脚 10 米的建筑物是否需要拆除?请说明理 由 (参考数据压 2 1.414, 3 1.732  ) 【答案】当倾斜角为 30°时，AD= 310 ，当倾斜角为 45°时，AC=10，则 C 到建筑物的距离 为 1082.95.210310  ，所以不需要拆除。 72．（2010 吉林）如图，在一滑梯侧面示意图中，BD//AF，BC⊥AF 于点 C，DE⊥AF 于点 E， BC=1.8m，BD=0.5m，∠A=450，∠F=290。 （1）求滑道 DF 的长（精确到 0.1m） （2）求踏梯 AB 底端 A 与滑道 DF 底端 F 的距离 AF（精确到 0.1m） （参考数据：sin290=0.48，cos290=0.87，tan290=0.55） 【答案】 73．（2010 广东湛江）如图，小明在公园里放风筝，拿风筝的手 B 离地面高度为 1.5 米， 风筝飞到 C 处时的线长 BC 为 30 米，这时测得∠CBD=60°.求此时风筝离地面的高度.（结 果精确到 0.1 米， 3 ≈1.73） 【答案】解：在 Rt△BCD 中 CD=BC·sin60° =30× 2 3 =15 3 在矩形 AEDB 中，DE=AB=1.5 ∴CE=CD+DE=15 3 +1.5≈27.5（米） 答：求此时风筝离地面的高度是 27.5 米. 74．（2010 广东清远）某课外活动小组测量学校旗杆的高度，当太阳光线与地面成 35°角是， 渢旗杆 AB 在地面上的投影 BC 的长为 20 米（如图 5）.求旗杆 AB 的高度.（sin35°≈0.6， cos35°≈0.8，tan35°≈0.7） 【答案】21. 解：由题意得：在 Rt△ACB 中，∠B＝90° tanC＝AB BC………………………………（2 分） ∴AB＝BC·tanC………………………………（3 分） ＝20×tan35° ＝20×0.7 ＝14（米）………………………………（4 分） 答：旗杆 AB 的高度是 14 米. ………………………………（5 分） 75．（2010 湖南娄底）如图 8，在一个坡角为 20°的斜坡上方有一棵树，高为 AB，当太阳 光线与水平线成 52°角时，测得该树在斜坡上的树影 BC 的长为 10cm，求树高ＡＢ（精确到 ０.１ｍ）. （已知：sin20°≈0.342, cos20°≈0.940, tan20°≈0.364, sin52°≈0.788, cos52°≈0.616, tan52°≈1.280. 供选用） 【答案】解：如图，在 Rt△BCD 中，cos20° = CD BC ，sin20° = BD BC ，所以 CD=BCcos20°=10 × 0.940=9.4 ， BD=BCsin20°=10 × 0.342=3.42. 在 Rt △ ACD 中 ， tan52° = AD CD ， 所 以 AD=CDtan52° =9.4×1.280=12.032.所以 AB=AD－BD=12.032－3.42=8.612≈8.6. 76．（2010 湖北黄石）某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了 座通讯铁塔.甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼 顶 A 处测得塔尖 M 的仰角为α，塔座 N 的的仰角为β；乙在一楼 B 处只能望到塔尖 M，测得 仰角为θ（望不到底座），他们知道楼高 AB＝20m，通过查表得：tanα＝0.5723,tanβ＝0.2191,tanθ ＝0.7489；请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度 MN 的值. 【答案】 解：过 P 作 PC⊥AB 于 C, 因为 B 在 A 的北偏东 45°方向上，所以 A 在 B 的南偏西 45 方向° 在 RtΔPBC 中，∵∠PBA=45°,∴∠BPC=45° ∴BC=PC 在 RtΔAPC 中,∵∠BAP=45°-30°=15° ∴ AC= PC tan15° 又∴AC+BC=AB,∴（ 1 tan15° +1 ）PC=20 ∴ PC=4.226 ∵ 4.226>4 ,∴ 这条高速铁路不会穿越保护区 第 24 题A B P 北 北 C