专题13 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题13 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα ‎2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α 正弦、余弦、正切的诱导公式 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 三角函数的诱导公式 例1、【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式探究】(1)计算：2sin＋cos12π＋tan＝________。‎ ‎(2)已知cos＝，则sin＝________。‎ ‎(3)已知f(x)＝，则f＝________。‎ ‎【答案】 （1）1（2）－（3）－1‎ ‎【解析】(1)原式＝2sin＋1＋‎ tan ‎＝2sinπ＋1－tan ‎＝2sin＋1－1‎ ‎＝2sin ‎＝1。‎ ‎(2)因为＋＝－，所以sin＝sin ‎＝－sin＝－cos＝－。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1．诱导公式的两个应用 ‎(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了。‎ ‎(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了。‎ ‎2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知sin＝，则cos的值为 (　　)‎ A.　　　　B．－ C．－ D. 解析：因为sin＝，‎ 所以cos＝cos ‎＝－sin＝－。‎ 答案：B 热点题型二 同角三角函数关系式的应用 例2、 (1)已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα＝(　　)‎ A．－　B. C．－ D. ‎ (2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________。‎ ‎【答案】（1）C （2）1‎ ‎【解析】(1)因为α是第四象限角，sinα＝－，‎ 所以cosα＝＝，‎ 故tanα＝＝－，故选C。‎ ‎(2)原式＝cos2α＝cos2α＋sin2α＝1。‎ ‎【提分秘籍】 同角三角函数关系式的应用方法 ‎(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化。‎ ‎(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α， sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α。‎ ‎(3)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“‎1”‎，利用“sin2α＋cos2α＝‎1”‎代换后转化为“切”后求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设cos(－80°)＝k，那么tan100°等于(　　)‎ A. B．－C. D．－ 解析：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，‎ 所以sin80°＝＝。‎ 所以tan100°＝－tan80°＝－＝－。‎ 答案：B 热点题型三 两类公式在三角形中的应用 例3．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin (π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角。‎ 解析：由已知，得 ‎①2＋②2，得2cos‎2A＝1，得cosA＝±。‎ 当cosA＝时，cosB＝，‎ 又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝。‎ ‎∴C＝π－(A＋B)＝π。‎ 当cosA＝－时，cosB＝－。‎ 又A、B是三角形的内角，∴A＝π，B＝π，不符合题意。‎ 综上，A＝，B＝，C＝π。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C，‎2A＋2B＝2π－‎2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，cos＝sin等；‎ ‎2．求角时，通常是先求出该角的某一个合适的三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知θ为△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝m，若m∈(0，1)，则关于△ABC的形状的判断，正确的是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．三种形状都有可能 ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为和关于轴对称，所以，那么， （或），‎ 所以.‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎4.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．‎ ‎（1)求实数m的取值范围；‎ ‎（2)证明：‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 ‎(2)1) ‎ ‎ （其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.‎ 解法二：(1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时, ‎ 所以 于是 ‎【2015高考山东，理16】设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（II） 面积的最大值为 ‎（Ⅱ）由 得 ‎ 由题意知为锐角，所以 ‎ 由余弦定理： ‎ 可得： ‎ 即： 当且仅当时等号成立.‎ 因此 ‎ 所以面积的最大值为 ‎（2014·福建卷）已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.‎ ‎(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【解析】方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.‎ 所以f(α)＝×－ ‎＝.‎ 方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋－ ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，‎ 从而f(α)＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎（2014·重庆卷）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 因为－≤φ＜，‎ 所以φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝＝＝.‎ 因此cos ‎＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎＝×＋× ‎＝.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1.cos的值是　(　　)‎ A.- B. C. D.-‎ ‎【解析】选C.cos=cos=cos=.‎ ‎2.已知α∈(0，π)，且sinα+cosα=，则sinα-cosα的值为　(　　)‎ A.- B.- C. D.‎ ‎3.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2015)=-1，那么f(2016)等于　(　　)‎ A.-1 B‎.0 ‎ C.1 D.2‎ ‎【解析】选C.因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-[]‎ bcosβ=-1，所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+‎ bcosβ=1.‎ ‎4.若tanα=2，则的值是　(　　)‎ A.- B.- C. D.‎ ‎【解析】选A.由tanα=2，则==-.‎ ‎5.若角α的终边落在直线x+y=0上，则+=　(　　)‎ A.-2 B‎.2 ‎ C.-2或2 D.0‎ ‎【解析】选D.由题意得α在第二或第四象限，所以+=+=0.‎ ‎6.已知α为第一象限角，且=3+2，则cosα=　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.由题意得tanα==，又因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=，又因为α为第一象限角，所以cosα=.‎ ‎7.设θ是三角形的内角，若函数f=x2cosθ-4xsinθ+6对一切实数x都有f>0，则θ的取值范围是　(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.由题意得 解得cosθ>，所以θ的取值范围是.‎ ‎8.已知cosα是3x2-x-2=0的根，且α为第三象限角，则=(　　)‎ A. B.- C.- D.‎ ‎【解析】选D.因为α为第三象限角，所以cosα<0，cosα=-，‎ 原式==tan2α===.‎ ‎9.已知cos=，且-π<α<-，则cos=　　　　.‎ ‎【解析】因为-π<α<-，‎ 所以-<+α<-，‎ 因为cos=，‎ 所以sin=-，‎ 所以cos=cos ‎=sin=-.‎ ‎【答案】-‎ ‎10.已知sinα+cosα=，则sinα-cosα=　　　　　.‎ ‎【解析】由sinα+cosα=，‎ 平方得1+2sinαcosα=2①，‎ 设sinα-cosα=t，‎ 平方得1-2sinαcosα=t2②‎ 由①②相加得2=2+t2，所以t2=0，t=0.‎ ‎【答案】0‎ ‎11.若tan=，则sinθcosθ=　　　　.‎ ‎【解析】tan==，得tanθ=，‎ 所以sinθcosθ====.‎ ‎【答案】 ‎ ‎12.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π)，则=　　　　　　.‎ ‎【解析】由已知得，-sinα=2cosα，即tanα=-2，‎ 所以 ‎===-.‎ ‎【答案】-‎ ‎13.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=　　　　　.‎ ‎【解析】因为sin=cosα，所以当α+β=90°时，sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1，‎ 设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°，‎ 则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°‎ 两个式子相加得2S=1+1+1+…+1=89，S=44.5.‎ ‎【答案】44.5‎ ‎14.已知函数f(x)=sinx-cosx且f ′(x)=‎2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则=　　　　.‎ ‎【解析】因为f ′(x)=cosx+sinx，f ′(x)=‎2f(x)，所以cosx+sinx ‎=2(sinx-cosx)，所以tanx=3，‎ 所以=‎ ‎===-.‎ ‎【答案】-‎ ‎15.在△ABC中，若sin=-sincos ‎=-cos，求这个三角形的内角.‎ ‎16.已知θ是三角形中的最小角，并且满足关于θ的方程cos2θ+2msinθ‎-2m-2=0有实数解，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】因为θ是三角形中的最小角，‎ 所以0<θ≤，0

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