专题13 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

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专题13 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1..理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tanα ‎2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α 正弦、余弦、正切的诱导公式 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 三角函数的诱导公式 例1、【2017北京,理12】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式探究】(1)计算:2sin+cos12π+tan=________。‎ ‎(2)已知cos=,则sin=________。‎ ‎(3)已知f(x)=,则f=________。‎ ‎【答案】 (1)1(2)-(3)-1‎ ‎【解析】(1)原式=2sin+1+‎ tan ‎=2sinπ+1-tan ‎=2sin+1-1‎ ‎=2sin ‎=1。‎ ‎(2)因为+=-,所以sin=sin ‎=-sin=-cos=-。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎1.诱导公式的两个应用 ‎(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了。‎ ‎(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了。‎ ‎2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知sin=,则cos的值为 (  )‎ A.    B.- C.- D. 解析:因为sin=,‎ 所以cos=cos ‎=-sin=-。‎ 答案:B 热点题型二 同角三角函数关系式的应用 例2、 (1)已知α是第四象限角,sinα=-,则tanα=(  )‎ A.- B. C.- D. ‎ (2)化简:(1+tan2α)(1-sin2α)=________。‎ ‎【答案】(1)C (2)1‎ ‎【解析】(1)因为α是第四象限角,sinα=-,‎ 所以cosα==,‎ 故tanα==-,故选C。‎ ‎(2)原式=cos2α=cos2α+sin2α=1。‎ ‎【提分秘籍】 同角三角函数关系式的应用方法 ‎(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化。‎ ‎(2)关系式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α。‎ ‎(3)sinα,cosα的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,或含有sin2α,cos2α及sinαcosα的式子求值时,可将所求式子的分母看作“‎1”‎,利用“sin2α+cos2α=‎1”‎代换后转化为“切”后求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设cos(-80°)=k,那么tan100°等于(  )‎ A. B.-C. D.- 解析:因为cos(-80°)=cos80°=k,‎ 所以sin80°==。‎ 所以tan100°=-tan80°=-=-。‎ 答案:B 热点题型三 两类公式在三角形中的应用 例3.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin (π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角。‎ 解析:由已知,得 ‎①2+②2,得2cos‎2A=1,得cosA=±。‎ 当cosA=时,cosB=,‎ 又A、B是三角形的内角,∴A=,B=。‎ ‎∴C=π-(A+B)=π。‎ 当cosA=-时,cosB=-。‎ 又A、B是三角形的内角,∴A=π,B=π,不符合题意。‎ 综上,A=,B=,C=π。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,‎2A+2B=2π-‎2C,++=等,于是可得sin(A+B)=sinC,cos=sin等;‎ ‎2.求角时,通常是先求出该角的某一个合适的三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知θ为△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ=m,若m∈(0,1),则关于△ABC的形状的判断,正确的是(  )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.三种形状都有可能 ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017山东,理9】在中,角,,的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以,选A.‎ ‎2.【2017北京,理12】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为和关于轴对称,所以,那么, (或),‎ 所以.‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标2理数】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,‎ 且,故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ,则( )‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由,得或,所以,故选A.‎ ‎4.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎【2015江苏高考,8】已知,,则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【2015高考福建,理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程;‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解.‎ ‎(1)求实数m的取值范围;‎ ‎(2)证明:‎ ‎【答案】(Ⅰ) ,;(Ⅱ)(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】解法一:(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的图像,再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,故,从而函数图像的对称轴方程为 ‎(2)1) ‎ ‎ (其中)‎ 依题意,在区间内有两个不同的解当且仅当,故m的取值范围是.‎ 解法二:(1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解,‎ 所以,.‎ 当时,‎ 当时, ‎ 所以 于是 ‎【2015高考山东,理16】设.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(I)单调递增区间是;‎ 单调递减区间是 ‎(II) 面积的最大值为 ‎(Ⅱ)由 得 ‎ 由题意知为锐角,所以 ‎ 由余弦定理: ‎ 可得: ‎ 即: 当且仅当时等号成立.‎ 因此 ‎ 所以面积的最大值为 ‎(2014·福建卷)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.‎ ‎(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【解析】方法一:(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.‎ 所以f(α)=×- ‎=.‎ 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x- ‎=sin 2x+- ‎=sin 2x+cos 2x ‎=sin.‎ ‎(1)因为0<α<,sin α=,所以α=,‎ 从而f(α)=sin=sin=.‎ ‎(2)T==π.‎ 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2014·重庆卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)若f=,求cos的值.‎ ‎【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.‎ 又因为f(x)的图像关于直线x=对称,‎ 所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….‎ 因为-≤φ<,‎ 所以φ=-.‎ ‎(2)由(1)得ƒ=sin(2×-)=,‎ 所以sin=.‎ 由<α<得0<α-<,‎ 所以cos===.‎ 因此cos ‎=sin α ‎=sin ‎=sincos+cossin ‎=×+× ‎=.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1.cos的值是 (  )‎ A.- B. C. D.-‎ ‎【解析】选C.cos=cos=cos=.‎ ‎2.已知α∈(0,π),且sinα+cosα=,则sinα-cosα的值为 (  )‎ A.- B.- C. D.‎ ‎3.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2015)=-1,那么f(2016)等于 (  )‎ A.-1 B‎.0 ‎ C.1 D.2‎ ‎【解析】选C.因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-[]‎ bcosβ=-1,所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+‎ bcosβ=1.‎ ‎4.若tanα=2,则的值是 (  )‎ A.- B.- C. D.‎ ‎【解析】选A.由tanα=2,则==-.‎ ‎5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+= (  )‎ A.-2 B‎.2 ‎ C.-2或2 D.0‎ ‎【解析】选D.由题意得α在第二或第四象限,所以+=+=0.‎ ‎6.已知α为第一象限角,且=3+2,则cosα= (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.由题意得tanα==,又因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,又因为α为第一象限角,所以cosα=.‎ ‎7.设θ是三角形的内角,若函数f=x2cosθ-4xsinθ+6对一切实数x都有f>0,则θ的取值范围是 (  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.由题意得 解得cosθ>,所以θ的取值范围是.‎ ‎8.已知cosα是3x2-x-2=0的根,且α为第三象限角,则=(  )‎ A. B.- C.- D.‎ ‎【解析】选D.因为α为第三象限角,所以cosα<0,cosα=-,‎ 原式==tan2α===.‎ ‎9.已知cos=,且-π<α<-,则cos=    .‎ ‎【解析】因为-π<α<-,‎ 所以-<+α<-,‎ 因为cos=,‎ 所以sin=-,‎ 所以cos=cos ‎=sin=-.‎ ‎【答案】-‎ ‎10.已知sinα+cosα=,则sinα-cosα=     .‎ ‎【解析】由sinα+cosα=,‎ 平方得1+2sinαcosα=2①,‎ 设sinα-cosα=t,‎ 平方得1-2sinαcosα=t2②‎ 由①②相加得2=2+t2,所以t2=0,t=0.‎ ‎【答案】0‎ ‎11.若tan=,则sinθcosθ=    .‎ ‎【解析】tan==,得tanθ=,‎ 所以sinθcosθ====.‎ ‎【答案】 ‎ ‎12.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),则=      .‎ ‎【解析】由已知得,-sinα=2cosα,即tanα=-2,‎ 所以 ‎===-.‎ ‎【答案】-‎ ‎13.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=     .‎ ‎【解析】因为sin=cosα,所以当α+β=90°时,sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1,‎ 设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,‎ 则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°‎ 两个式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5.‎ ‎【答案】44.5‎ ‎14.已知函数f(x)=sinx-cosx且f ′(x)=‎2f(x),f ′(x)是f(x)的导函数,则=    .‎ ‎【解析】因为f ′(x)=cosx+sinx,f ′(x)=‎2f(x),所以cosx+sinx ‎=2(sinx-cosx),所以tanx=3,‎ 所以=‎ ‎===-.‎ ‎【答案】-‎ ‎15.在△ABC中,若sin=-sincos ‎=-cos,求这个三角形的内角.‎ ‎16.已知θ是三角形中的最小角,并且满足关于θ的方程cos2θ+2msinθ‎-2m-2=0有实数解,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】因为θ是三角形中的最小角,‎ 所以0<θ≤,0
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