2014高考数学百题精练分项解析7

2014高考数学百题精练分项解析7

‎2014高考数学百题精练之分项解析7‎ 一、选择题（每小题6分，共42分）‎ ‎1.等差数列{an}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（）‎ A.9项B.12项C.10项D.13项 ‎【答案】C ‎【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,‎ an+an-1+an-2+an-3=72.‎ ‎∴a1+an==28.‎ 又=140,‎ 故n=10.‎ ‎2.给出下列等式：（ⅰ）an+1-an=p(p为常数);（ⅱ）2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b为常数)则无穷数列{an}为等差数列的充要条件是（）‎ A.（ⅰ）B.（ⅰ）（ⅲ）‎ C.（ⅰ）（ⅱ）D.（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】易知三个都是，另外还有一个常见的是{an}的前n项和Sn=an2+bn，（a,b为常数）.‎ ‎3.等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）‎ A.66B‎.99C.144D.297‎ ‎【答案】B ‎【解析】a1+a4+a7=‎39a4=13,a3+a6+a9=‎27a6=9，‎ S9==99.‎ ‎4.等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是（）‎ A.S7B.S‎8C.S13D.S15‎ ‎【答案】C ‎【解析】因a2+a8+a11=‎3a7,故a7为定值.‎ 又S13==‎13a7,‎ ‎∴选C.‎ ‎5.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{}是等差数列,则a11等于()‎ A.0B.C.D.-1‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵+(7-3)d,‎ ‎∴d=.‎ ‎∴+(11-3)d=,‎ a11=.‎ ‎6.已知数列{an}的通项为an=26-2n,若要使此数列的前n项之和Sn最大,则n的值是()‎ A.12B‎.13C.12或13D.14‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得12≤n≤13,‎ 故n=12或13.‎ ‎7.在等差数列{an}中,＜-1,若它的前n项和Sn有最大值,则下列各数中是Sn的最小正数值的是()‎ A.S1B.S‎38C.S39D.S40‎ ‎【答案】C ‎【解析】因Sn有最大值,故d＜0,又＜0.‎ 因a21＜a20,故a20＞0,a20+a21＜0.‎ ‎∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)＜0.‎ S39=‎39a20＞0,S39-S38=a39＜0.‎ 又S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)＜0,‎ 故选C.‎ 二、填空题（每小题5分，共15分）‎ ‎8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:‎ 则第n个图案中有白色地面砖_____________块.‎ ‎【答案】4n+2‎ ‎【解析】每增加一块黑砖,则增加4块白砖,故白砖数构成首项为6,公差为4的等差数列,故an=6+4(n-1)=4n+2.‎ ‎9.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和方法,求f()+f()+…+f()的值为_________________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)‎ ‎==1.‎ 设S=f()+f()+…+f(),倒序相加有 ‎2S=［f()+f()］+［f()+f()］+…+［f()+f()］=10.‎ 即S=5.‎ ‎10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式an=__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】前n项一共有1+2+3+…+n=个自然数,设Sn=1+2+3+…+n=,则 an=.‎ 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）‎ ‎11.{an}是等差数列，公差d＞0，Sn是{an}的前n项和，已知a‎2a3=40,S4=26.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn=，求数列{bn}的所有项之和T.‎ ‎【解析】（1）S4=(a1+a4)=2(a2+a3)=26.‎ 又∵a‎2a3=40,d＞0，‎ ‎∴a2=5,a3=8,d=3.‎ ‎∴an=a2+(n-2)d=3n-1.‎ ‎(2)bn==‎ Tn=.‎ ‎12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,‎ ‎(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；‎ ‎（2）设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.‎ ‎(1)证明：f(x)=［x-(n+1)2］+3n-8,‎ ‎∴an=3n-8.∵an-1-an=3,‎ ‎∴{an}为等差数列.‎ ‎(2)【解析】bn=|3n-8|,‎ 当1≤n≤2时，bn=8-3n,b1=5.‎ Sn=；‎ 当n≥3时，bn=3n-8.‎ Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)‎ ‎=7+‎ ‎=.‎ ‎∴Sn=‎ ‎13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：‎ ‎（Ⅰ）每年年末加1000元；‎ ‎(Ⅱ)每半年结束时加300元.请你选择.‎ ‎(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？‎ ‎(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？‎ ‎【解析】设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1000元，则an=1000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n.‎ ‎(1)在该公司干10年（20个半年），方案（Ⅰ）共加薪S10=a1+a2+…+a10=55000（元）.‎ 方案（Ⅱ）共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+×300=63000元.‎ ‎(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：‎ Sn=a1+a2+…+an=1000×n+×1000=500n2+500n,‎ T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+×300=600n2+300n；‎ 令T2n≥Sn即600n2+300n＞500n2+500n,解得，n≥2,当n=2时等号成立.‎ ‎∴如果干3年以上（包括3年）应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.‎ ‎14.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有an=2-2.‎ ‎(1)写出数列{an}的三项;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式,并写出推证过程;‎ ‎(3)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)由题意，当n=1时，有a1=2-2,S1=a1，‎ ‎∴a1=2-2,解得a1=2.‎ 当n=2时，有a2=2-2,S2=a1+a2,‎ 将a1=2代入，整理得（a2-2）2=16,‎ 由a2＞0，解得a2=6.‎ 当n=3时，有a3=2-2,S3=a1+a2+a3,‎ 将a1=2,a2=6代入，整理得（a3-2）2=64,‎ 由a3＞0，解得a3=10.‎ 所以该数列的前三项分别为2，6，10.‎ ‎(2)由an=2-2(n∈N*),整理得Sn=(an+2)2,‎ 则Sn+1=(an+1+2)2,‎ ‎∴an+1=Sn+1-Sn=［(an+1+2)2-(an+2)2］.‎ 整理，得（an+1+an）(an+1-an-4)=0,‎ 由题意知an+1+an≠0,∴an+1-an=4.‎ ‎∴即数列{an}为等差数列，其中首项a1=2，公差d=4,‎ ‎∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).‎ 即通项公式为an=4n-2(n∈N*).‎ ‎(3)bn=,‎ Tn=b1+b2+…+bn ‎=.‎