江苏省扬州市邗江区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省扬州市邗江区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省扬州市邗江区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（　　）‎ A. 5 B. 7 C. 9 D. 11‎ 2. 若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（　　）‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ 4. 不等式≥2的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ,‎ 5. ‎“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 不等式ax2+bx+1＞0的解集是，则a+b的值是（　　）‎ A. 5 B. C. D. 7‎ 7. 椭圆的焦距为，则m的值为（　　）‎ A. 9 B. 23 C. 9或23 D. 或 8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-4，n∈N*，则an=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ 10. 已知椭圆C：，直线l：y=x-2过C的一个焦点，则C的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=15，且满足=+1，已知n，m∈N，n＞m，则Sn-Sm的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是______ ．‎ 14. 如果椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离等于10，那么点P到另一个焦点F2的距离是______．‎ 15. 已知数列1，a1，a2，a3，9是等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数列，则=______．‎ 16. 已知a，b∈R，a+b=4，则+的最大值为______‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. ‎（1）m为何实数时，关于x的方程x2+（2m-4）x+m=0有两个不等实根？ （2）设实数x满足x＞-1，求的最小值，并求对应的x的值． ‎ 1. 已知p：x2-7x+10＜0，q：x2-4mx+3m2＜0，其中m＞0． （1）若m=3，p和q都是真命题，求x的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 2. 等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn．等比数列{bn}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8． （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式； （Ⅱ）求． ‎ 3. 为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道．已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费C（单位：万元）与跑道厚度x（单位：毫米）的关系为C（x）=，x∈[10，15]．若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元．设总费用f（x）为跑道铺设费用与10年维护费之和． （Ⅰ）求k的值与总费用f（x）的表达式； （Ⅱ）塑胶跑道铺设多厚时，总费用f（x）最小，并求最小值． ‎ 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（-1，0），离心率e=． （1）求椭圆G 的标准方程； （2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于 A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示． ①证明：m1+m2=0； ②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． ‎ 1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）． （1）证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公式； （2）设bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ​【解答】 解：由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1． 则S5==5a3=5． 故选A． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：不妨取a=-2，b=-1，则 ∵，∴，∴A不正确； ∵，∴，∴B不正确； ∵|a|=2，|b|=1，∴|a|＞|b|，∴C正确 ∵a2=4，b2=1，∴a2＞b2，∴D不正确 故选：C． 不妨取a=-2，b=-1，然后一一验证即可判断． 本题的考点是不等关系与不等式，解题的关键是赋值，一一验证． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126， 化简得：2n=64，解得：n=6． 故选D 由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值． 此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查简单的分式不等式求解，属基本题． 在解题中，要注意等号．本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法． 【解答】 解：⇔⇔⇔⇔-1≤x＜0 故选A． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了椭圆的定义，考查充分必要条件，是一道基础题. 根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可. 【解答】 解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆， ‎ ‎∴，解得：7＜k＜10， 故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件， 故选B. 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集是， ∴，解得， ∴a+b=-7． 故选：C． 由题意可得，解得即可． 熟练掌握一元二次不等式的解法与相应的一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标所在的轴，属于基础题. 利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可． 【解答】 ​解：椭圆的焦距为，则： 当016时，焦点在y轴上时，，​解得m=23． ​则m的值为9或23.  故选C． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：当n=1时，a1=2a1-4， 解得，a1=4； 当n≥2时，Sn=2an-4，Sn-1=2an-1-4， 故an=2an-2an-1， 故an=2an-1， 故数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列； 故an=2n+1， 故选：A． 分n=1时与n≥2时讨论，从而解得． 本题考查了数列的通项与前n项间的关系应用，及分类讨论的思想应用． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：≥2=8 若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立， ∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2 故选：D． 先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围． 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的性质求出a，然后求解离心率即可． 【解答】 解：椭圆C：，直线l：y=x-2过C的一个焦点，可得c=2，则a=， 所以椭圆的离心率为：e===． 故选：C． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查累加法求数列的通项公式，涉及数列的最值，属于中档题. 由累加法可得an，进而可得，结合函数的单调性可得. 【解答】 解：由题意可得 an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+ ​+（a2-a1）+a1 =2（n-1）+2（n-2）++2+33 =+33=n2-n+33， 故==-1. 由于函数y=在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增， 故当=-1在n=5，或n=6时取最小值， 当n=5时，-1=， 当n=6时，-1==＜. 故的最小值为. 故选C. 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由=+1，即-=1，=-5． ∴数列{}为等差数列，首项为-5，公差为1． ∴=-5+n-1，可得：an=（2n-5）（n-6）， 当且仅当3≤n≤5时，an＜0． 已知n，m∈N，n＞m， 则Sn-Sm的最小值为a3+a4+a5=-3-6-5=-14． 故选：C． 由=+1，即-=1，=-5．利用等差数列的通项公式可得：an=（2n-5）（n-6），当且仅当3≤n≤5时，an＜0．即可得出结论． 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.【答案】∀x＞1，使得x2＜2 ‎ ‎【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是”，∀x＞1，使得x2＜2”， 故答案为：x＞1，使得x2＜2 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 14.【答案】14 ‎ ‎【解析】解：椭圆+=1，可得a=12，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=24， 椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离等于10，那么点P到另一个焦点F2的距离是：24-10=14． 故答案为：14． 利用椭圆方程，求出长半轴的长，通过椭圆的定义求解点P到另一个焦点F2的距离． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：数列1，a1，a2，a3，9是等比数列，可得a22=1×9， 解得a2=±3， 由于1，a2，9均为奇数项，可得a2＞0，即a2=3， 数列1，b1，b2，9是等差数列，可得b1+b2=1+9=10， 则=． 故答案为：． 由等比数列的中项性质和奇数项的符号相同，可得a2=3，再由等差数列的中项性质可得b1+b2，进而得到所求值． 本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查化简运算能力，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵a+b=4， ∴+==， =， =， =， 设ab-1=t， ∵a+b=4， ∴t=ab-1=a（4-a）-1=-a2+4a-1=-（a-2）2+3≤3， 令f（t）=， ∴f′（t）=， 令f′（t）=0，解得t=8-4，t=8+4（舍去）， 当f′（t）＞0时，即t＜8-4，函数f（t）单调递增， 当f′（t）＜0时，即8-4＜t≤3，函数f（t）单调递减， ∴f（t）max=f（8-4）===， 故则+的最大值为， 故答案为： 由题意可得+=，设ab-1=t，构造函数f（t）=，利用导数求出函数的最值． 本题考查了导数在函数最值中的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 17.【答案】解：（1）由△＞0，即（2m-4）2-4m＞0，解得m＞4或m＜1， （2）， 当且仅当，即x=0时，最小值为1． ‎ ‎【解析】（1）根据根的判别式即可求出， （2）利用基本不等式即可求出． 本题考查了根的判别式和基本不等式，属于基础题． 18.【答案】解：（1）由x2-7x+10＜0，得2＜x＜5，∴p：2＜x＜5； 由x2-4mx+3m2＜0，得m＜x＜3m，∴q：m＜x＜3m． 当m=3时，q：3＜x＜9． ‎ ‎∵p，q都为真，∴3＜x＜5； （2）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m ∵p是q的充分不必要条件，∴，解得． ∴实数m的取值范围是[，2]． ‎ ‎【解析】（1）分别求解一元二次不等式化简p与q，结合p和q都是真命题，取交集求x的取值范围； （2）由p是q的充分不必要条件，可得关于m的不等式组，求解得答案． 本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题． 19.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，d＞0，{bn}的等比为q 则an=1+（n-1）d，bn=qn-1 依题意有，解得或（舍去） 故an=n，bn=2n-1 （Ⅱ）由（1）可得 ∴ ∴ =． ‎ ‎【解析】（1）由题意要求数列{an}与{bn}的通项公式只需求公差，公比因此可将公差公比分别设为d，q然后根据等差数列的前项和公式代入b2S2=6，b2+S3=8求出d，q即可写出数列{an}与{bn}的通项公式． （2）由（1）可得即而要求故结合的特征可变形为代入化简即可． 本题第一问主要考查了求数列的通项公式较简单只要能写出sn的表达式然后代入题中的条件正确计算即可得解但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征将等价变形为然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法--裂项相消法！ 20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，x=10时，C（10）=，解得k=36， ∴C（x）=，则f（x）=10x+=10x+，x∈[10，15]； （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=10x+=10x-60+， =10（x-6）+， 当且仅当10（x-6）=，即x=12时取最小值， 答：当x=12毫米时，总费用f（x）最小，最小值为180万元． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，x=10时，C（10）=，求得k值，得到C（x）=，则f（x）的解析式可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=10x+，变形后利用基本不等式求最值． 本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 21.【答案】解：（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0） ∵左焦点为F1（-1，0），离心率e=．∴c=1，a=， b2=a2-c2=1 椭圆G 的标准方程为：． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4） ①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12-2=0 ， x1+x2=，x1x2=； |AB|==2； 同理|CD|=2‎ ‎， 由|AB|=|CD|得2=2， ∵m1≠m2，∴m1+m2=0 ②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d= ∵m1+m2=0，∴ ∴s=|AB|×d=2× ≤ 所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2 ‎ ‎【解析】（1）由焦点坐标及离心率可求得a、b、c即可． （2）①利用弦长公式及韦达定理，表示出由|AB|、|CD|，由|AB|=|CD|得到m1+m2=0， ②边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d= 由m1+m2=0得s=|AB|×d=2×<==2​．即可． 本题考查了椭圆的方程，弦长公式、韦达定理、运算能力，属于中档题． 22.【答案】（1）证明：∵Sn=2an-3n，∴Sn+1=2an+1-3（n+1）， 则an+1=2an+1-2an-3，∴an+1=2an+3， 即， ∴数列{an+3}是等比数列， a1=S1=3，a1+3=6，则， ∴； （2）解：， ， 令，① ，② ①-②得，， ， ∴； （3）解：设存在s、p、r∈N*，且s＜p＜r，使得as、ap、ar成等差数列，则2ap=as+ar， 即2（3•2p-3）=3•2s-3+3•2r-3， 即2p+1=2s+2r，2p-s+1=1+2r-s， ∵2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数， ∴2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项． ‎ ‎【解析】（1）由已知数列递推式可得数列{an+3}是等比数列，结合等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式； （2）把数列{an}的通项公式代入bn=an，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn； （3）设存在s、p、r∈N*，且s＜p＜r，使得as、ap、ar成等差数列，则2ap=as+ar，得2（3•2p-3）=3•2s-3+3•2r-3，结合2p-s+1为偶数，1+2r-s为奇数，可知2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项． 本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，考查数列的函数特性，训练了学生的逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题． ‎