2019年高考数学仿真押题试卷（五）（含解析）

2019年高考数学仿真押题试卷（五）（含解析）

专题05高考数学仿真押题试卷（五）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数满足是虚数单位），则复数的模　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎【答案】． 2．已知集合，，则　　‎ A．， B． C． D．‎ ‎【解答】解：集合，‎ ‎，‎ ‎．‎ 19‎ ‎【答案】． 3．在等差数列中，前项和满足，则的值是　　‎ A．5 B．7 C．9 D．3‎ ‎【解答】解：等差数列中，前项和，满足，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【答案】． 4．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：由茎叶图得：‎ 在（1）中，甲的成绩集中于茎叶图的左下方，乙的成绩集合于茎叶图的右上方，‎ 甲的平均成绩比乙的平均成绩高，故（1）正确；‎ 在（2）中，甲的成绩的极差是：，故（2）正确；‎ 在（3）中，乙的成绩的众数是21，故（3）正确；‎ 在（4）中，乙的成绩的中位数是：，故（4）错误．‎ ‎【答案】． 5．从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有　　‎ A．15种 B．180种 C．360种 D．90种 ‎【解答】解：先现从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，再从剩下的4人选2人，故有种，‎ ‎【答案】． ‎ 19‎ ‎6．实数，满足约束条件，则的最大值是　　‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎【解答】解：由实数，满足约束条件，作出可行域：‎ 联立，解得，‎ 化为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为：4．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：三视图定义的几何体的直观图如图：几何体是上下底面是半径为1的4段的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为：．‎ 19‎ ‎【答案】．‎ ‎8．勒洛三角形是由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，设，以为圆心的扇形的面积为，‎ 的面积为，‎ 勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，‎ 即为，‎ 故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，‎ ‎【答案】． 9．已知双曲线的左焦点为，过点作圆的切线，切点为，且交双曲线右支于点．若，则双曲线的渐近线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设双曲线的右焦点为，‎ 若，可得为的中点，‎ 又为的中点，可得，‎ 19‎ 由为切点，可得，‎ 且，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 由勾股定理可得，‎ 化简可得，‎ 则双曲线的渐近线方程为．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 10．三棱锥中，棱是其外接球（多面体各顶点都在球面上）的直径，，平面平面，则该三棱锥的体积为　　‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【解答】解：如图，，是球得直径，‎ ‎，且，‎ ‎．‎ 平面平面，，‎ ‎．‎ ‎【答案】．‎ ‎ ‎ 19‎ ‎11．已知椭圆，直线，分别平行于轴和轴，交椭圆于，两点，交椭圆于，两点，，交于点，若，则该椭圆的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由，‎ 不妨设，，，，‎ 可得，．‎ 代入椭圆方程可得：，．‎ 联立解得，．‎ 则该椭圆的离心率．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 12．已知函数，给出三个命题：①的最小值为，②是轴对称图形，③．其中真命题的个数是　　‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【解答】解：①若的最小值为等价为恒成立，且能取等号，‎ 即恒成立，‎ 设，则，‎ 19‎ 当时，，即0能取到，故①正确，‎ ‎②是和共同的对称轴，‎ 是的对称轴，即是轴对称图形，故②正确，‎ ‎③，‎ ‎，‎ 只要证明，即可，‎ 设，‎ 当时不等式恒成立，‎ 当时，即证明，‎ 设，，即在上是减函数，‎ 则，‎ 即成立，‎ 综上，成立，故③正确，‎ 故三个命题都是真命题，‎ ‎【答案】．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知实数，满足约束条件，则的最大值是　　．‎ ‎【解答】解：作出实数，满足约束条件对应的平面区域，‎ 由，得，‎ 19‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点时，‎ 直线的截距最大，此时最大．‎ 由，得，，‎ 此时的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎ 14．的展开式中的系数为9，则　1　．‎ ‎【解答】解：的通项公式，‎ 若第一括号是1，则第二个括号必须是，相乘，‎ 若第一括号是，则第二个括号必须是相乘，‎ 则项系数为，‎ 即，得，‎ 得或（舍，‎ 故答案为：1． 15．已知点为抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，，若，分别表示，的面积），则直线的斜率的取值范围为　‎ 19‎ ‎　．‎ ‎【解答】解：，‎ 设直线的方程为：．，，，，，．‎ 联立，化为：，‎ 解得：．‎ ‎，，‎ ‎，取，．‎ ‎，‎ 解得：，．‎ ‎．‎ 故答案为：，．‎ ‎ 16．已知正三棱锥的体积为，则其表面积的最小值为　　．‎ ‎【解答】解：设正三棱锥的底面边长为，高为，如图，过顶点作底面的垂线，垂足为，过作垂直于，连接，‎ ‎，．‎ 底面，底面，‎ ‎，，‎ 19‎ 又，，‎ 平面，‎ 又平面，‎ ‎，即为侧面的斜高，‎ 三棱锥体积，得，‎ 又为底面中心，，‎ ‎，‎ 三棱锥的表面积，将代入得：．‎ ‎，令，得，令，，上式可化为，解得，或（舍，‎ ‎，得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，表面积最小，‎ 此时，‎ 故填：．‎ 19‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．设函数．‎ ‎（Ⅰ）当，时，求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）的内角，，所对的边分别为，，，且（A），，，求的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ 函数的值域为，；‎ ‎（Ⅱ）（A），‎ ‎，，，即，‎ 19‎ 由正弦定理，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则 ‎．‎ ‎，，‎ ‎． 18．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：‎ 每周累计户外暴露时间 ‎（单位：小时）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不少于28小时 近视人数 ‎21‎ ‎39‎ ‎37‎ ‎2‎ ‎1‎ 不近视人数 ‎3‎ ‎37‎ ‎52‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；‎ ‎（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附： ‎ 19‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则（A）‎ 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为．‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 ‎40‎ ‎60‎ 不足够的户外暴露时间 ‎60‎ ‎40‎ 所以的观测值，‎ 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系． 19．如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点．‎ ‎（Ⅰ）试确定点的位置使得平面；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在中，延长交于点，‎ ‎，是等边三角形，为的重心，‎ ‎，‎ 平面，平面，且面面，‎ 19‎ ‎，，‎ 即点为线段上靠近点的三等分点．‎ ‎（Ⅱ）等边中，，平面，‎ 面面，交线为，‎ 平面，‎ 如图，以为原点建立空间直角坐标系，‎ 点在平面上，二面角与二面角为相同二面角．‎ 设，则，，0，，，0，，，1，，‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，‎ 又平面，，0，，‎ 则，‎ 又二面角为钝二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ 19‎ ‎20．已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，点为椭圆上异于、的一个动点，设直线、的斜率分别为、，若动点与、的连线斜率分别为、，且，记动点的轨迹为曲线 ‎（Ⅰ）当时，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，直线与分别与曲线交于、两点，设的面积为，的面积为，若，，求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设，，，则，‎ 因为，，则，‎ 设，则，‎ 所以，‎ 整理得，．‎ 所以，当时，曲线的方程为，，‎ ‎（Ⅱ）设，，，，由题意知，‎ 直线的方程为：，直线的方程为．‎ 由（Ⅰ）知，曲线的方程为，．‎ 联立，消去，得，得，‎ 联立，消去，得，得，‎ 所以 19‎ 设，则在，上递增 又（1），（3），‎ 所以 的取值范围为， 21．已知为自然对数的底数），．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎，令，解得：，‎ ‎，，的变化如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 ‎；‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 令，，，‎ ‎，设，，‎ 由得，，，，‎ ‎，在单调递增，‎ 即在单调递增，（1），‎ ‎①当，即时，时，（1），在单调递增，‎ 又（1），故当时，关于的方程有且只有一个实数解，‎ ‎②当，即时，‎ 19‎ ‎（1），，又，‎ 故，，当时，，单调递减，又（1），‎ 故当，时，，‎ 在，内，关于的方程有一个实数解，‎ 又，时，，单调递增，‎ 且（a），‎ 令，‎ ‎，，‎ 故在单调递增，又（1），‎ 故在单调递增，故（a）（1），故（a），‎ 又，由零点存在定理可知，，，，‎ 故在，内，关于的方程有一个实数解，‎ 此时方程有两个解．‎ 综上，．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线与直线交于，两点，若，求的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）， ‎ 所以曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，，，其中为直线的倾斜角，‎ 代入曲线得，设，所对应的极径分别为，．‎ 19‎ ‎，，△‎ 满足△或的倾斜角为或，‎ 则或．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设实数为（Ⅰ）中的最大值，若实数，，满足，求的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，解得：．‎ 故实数的取值范围为，；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，，即，‎ 根据柯西不等式 等号在即，，时取得．‎ 所以的最小值为．‎ 19‎ 19‎