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高考数学人教A版(理)一轮复习:第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理
第 6 讲 正弦定理和余弦定理 A 级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A= ( ). A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 由 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,得 a2= 3bc+b2,c b =2 3.由余弦定 理,得 cos A=b2+c2-a2 2bc =c2- 3bc 2bc = c 2b - 3 2 = 3- 3 2 = 3 2 ,所以 A=30°, 故选 A. 答案 A 2.(2012·四川)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连结 EC、ED,则 sin∠CED=( ). A.3 10 10 B. 10 10 C. 5 10 D. 5 15 解析 依题意得知,CD=1,CE= CB2+EB2= 5,DE= EA2+AD2= 2, cos∠CED=CE2+ED2-CD2 2CE·ED =3 10 10 ,所以 sin∠CED= 1-cos2∠CED= 10 10 , 选 B. 答案 B 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成 等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC= ( ). A. 2 B. 3 C. 3 2 D.2 解析 ∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= 3,∴ a sin A = b sin B , ∴sin A=asin B b = 3 2 × 1 3 =1 2 , ∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=1 2 ×1× 3= 3 2 . 答案 C 4.(2012·湖南)在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于 ( ). A. 3 2 B.3 3 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4 解析 设 AB=c,BC 边上的高为 h. 由余弦定理,得 AC2=c2+BC2-2BC·ccos 60°,即 7=c2+4 -4ccos 60°,即 c2-2c-3=0,∴c=3(负值舍去). 又 h=c·sin 60°=3× 3 2 =3 3 2 ,故选 B. 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)·tan B= 3ac, 则角 B 的值为________. 解析 由余弦定理,得a2+c2-b2 2ac =cos B,结合已知等式得 cos B·tan B= 3 2 ,∴sin B= 3 2 ,∴B=π 3 或2π 3 . 答案 π 3 或2π 3 6.(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦 值为________. 解析 依题意得,△ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a>0),则最大边 2a 所对 的角的余弦值为:a2+ 2a2-2a2 2a· 2a =- 2 4 . 答案 - 2 4 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)(2012·辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B, C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. 解 (1)由已知 2B=A+C,三角形的内角和定理 A+B+C=180°,解得 B=60°, 所以 cos B=cos 60°=1 2. (2)由已知 b2=ac,据正弦定理,得 sin2B=sin Asin C, 即 sin Asin C=sin2B=1-cos2B=3 4. 8.(13 分)(2012·浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A=2 3 ,sin B= 5cos C. (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 解 (1)因为 0<A<π,cos A=2 3 , 得 sin A= 1-cos2A= 5 3 . 又 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C = 5 3 cos C+2 3sin C. 所以 tan C= 5. (2)由 tan C= 5,得 sin C= 5 6 ,cos C= 1 6. 于是 sin B= 5cos C= 5 6. 由 a= 2及正弦定理 a sin A = c sin C ,得 c= 3. 设△ABC 的面积为 S,则 S=1 2acsin B= 5 2 . B 级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.在△ABC 中,A=60°,且最大边长和最小边长是方程 x2-7x+11=0 的两个 根,则第三边的长为 ( ). A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由 A=60°,不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为 b,c,故 b+c=7, bc=11. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16,∴a= 4. 答案 C 2.(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为 3 2 ,AC= 3,∠ABC=π 3 ,则△ABC 的周长等于 ( ). A.3+ 3 B.3 3 C.2+ 3 D.3 3 2 解析 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,即 a2+c2-ac=3.又△ABC 的面 积为 1 2acsin π 3 = 3 2 ,即 ac=2,所以 a2+c2+2ac=9,所以 a+c=3,即 a+c +b=3+ 3,故选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.在 Rt△ABC 中,C=90°,且 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx,则 实数 x 的取值范围是________. 解析 x=a+b c =sin A+sin B sin C =sin A+cos A= 2sin A+π 4 .又 A∈ 0,π 2 ,∴ π 4c2,则 C<π 3 ②若 a+b>2c,则 C<π 3 ③若 a3+b3=c3,则 C<π 2 ④若(a+b)c<2ab,则 C>π 2 ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C>π 3 解析 ①由 ab>c2,得-c2>-ab,由余弦定理可知 cos C=a2+b2-c2 2ab >2ab-ab 2ab =1 2 ,因为 C∈(0,π),函数 y=cos x 在(0,π)上是减函数,所以 C<π 3 ,即①正 确 . ② 由 余 弦 定 理 可 知 cos C = a2+b2-c2 2ab > a2+b2- a+b 2 2 2ab = 4a2+b2-a+b2 8ab =3a2+b2-2ab 8ab ≥4ab 8ab =1 2 ,所以 C<π 3 ,即②正确.③若 C 是直角或钝角,则 a2+b2≤c2,即 a c 2+ b c 2≤1,而a c ,b c ∈(0,1),而函数 y= ax(0c2,转化为命题①,故④错误.⑤因为(a2+ b2)c2<2a2b2,所以 c2< 2a2b2 a2+b2 ≤2a2b2 2ab =ab,即 ab>c2,转化为命题①,故⑤错误. 答案 ①②③ 三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)(2012·郑州三模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点 (a,b)在直线 x(sin A-sin B)+ysin B=csin C 上. (1)求角 C 的值; (2)若 a2+b2=6(a+b)-18,求△ABC 的面积. 解 (1)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C, 由正弦定理,得 a(a-b)+b2=c2, 即 a2+b2-c2=ab, 由余弦定理,得 cos C=a2+b2-c2 2ab =1 2 , 结合 0查看更多
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