2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．点在极坐标系中的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，又点在第二象限内，故极角。‎ 所以点在极坐标系中的坐标为。选A。‎ ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，由，得，则，则抛物线的准线方程为，故选C.‎ ‎3．直线与直线平行，则实数的值为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. 2或 ‎【答案】D ‎【解析】有两直线平行可得，解得。选D。‎ ‎4．圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 ‎【答案】B ‎【解析】圆的标准方程即为，圆心为（-1,1），半径为2；圆的标准方程即为，圆心为（3,4），半径为5.所以 所以，因此两圆相交。选B。‎ ‎5．以抛物线的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得抛物线的焦点坐标为（2,0）。‎ 故所求圆的方程为，即。选A。‎ ‎6．若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的焦点在 轴上， ， 该椭圆的焦点为以椭圆的焦点为焦点，短半轴长为实轴长的双曲线焦点也 轴上，且有： ，则， 该双曲线的标准方程为，故选B.‎ ‎7．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ）‎ A. 20 B. 22 C. 24 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆1的焦点坐标为、。由椭圆的定义得 ‎，所以，‎ 因为 ，所以，‎ 所以，‎ 所以。选C。‎ 点睛：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到的关系．‎ ‎(2)对的处理方法：①定义式的平方，即；②余弦定理，即；③面积公式，即。‎ 其中。‎ ‎8．若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线表示以（2,2）为圆心，半径为2的圆的下半部分，如下图所示。‎ 由图形知，当直线经过点（2,0）时，直线与曲线有两个不同的公共点，‎ 此时有。‎ 当直线与圆相切时，可得，解得或（舍去）。‎ 结合图形可得实数的取值范围是。选B。‎ ‎9．与圆及圆都外切的圆的圆心的轨迹为 A. 椭圆 B. 双曲线一支 C. 抛物线 D. 圆 ‎【答案】B ‎【解析】,设两个圆心分别为，设动圆圆心为P（x,y）,则，所以是双曲线的一支。‎ ‎10．、分别是椭圆的左顶点和上顶点， 是该椭圆上的动点，则 面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得点、的坐标分别为，‎ ‎∴，且直线的方程为。‎ 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆相切，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去）。‎ ‎∴所求切线的方程为。‎ ‎∴该切线与直线AB间的距离。‎ 由题意得当点C为切点时， 的面积最大，且最大面积为 ‎。选B。‎ 点睛：本题考查了数形结合的思想方法，由于是定值，故当三角形的高最大时，面积才最大，由此作为解题的突破点，并结合图形进行分析，发现当点C为与AB平行且与椭圆相切的直线的切点时满足题意，然后根据判别式求得切线方程，并利用两平行线间的距离求得三角形的高即可。‎ ‎11．已知直线 被椭圆截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为2017的有（ ）‎ ‎① ② ③ ④ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】C ‎【解析】由于直线被椭圆截得的弦长为， 与直线，分别关于原点、 轴、 轴对称，根据椭圆的对称性可得： ， 被椭圆截得的弦长也为，，而直线被椭圆截得弦长大于，综上可得被椭圆截得弦长一定为的有①③④，故选C.‎ ‎12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为。‎ 由抛物线的定义得，‎ 又，所以。‎ 同理。‎ ‎①当直线与x轴垂直时，则有，‎ ‎∴。‎ ‎ ②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立。‎ 综上可得。选C。‎ 点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ ‎（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件。‎ 二、填空题 ‎13．直线（为参数）的斜率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的参数方程为为参数）消去参数得，则直线的斜率为，故答案为.‎ ‎14．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0,1)，依题意得，‎ c＝2，b＝1⇒a＝⇒e＝.‎ ‎15．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：设抛物线上的一点的坐标为，则到直线的距离；‎ 到直线的距离 则 当时，到直线和的距离之和的最小值为2‎ ‎【考点】点到直线距离公式 ‎16．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上， 是坐标原点， 是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等腰三角形， ，又为直角三角形，设，则，可得， ， ，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件结合双曲线的定义以及勾股定理找出之间的关系，求出离心率．‎ 三、解答题 ‎17．（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别为、， 是双曲线右支上一点，且，求双曲线的标准方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为，根据定义可得，求得p即可得到方程；（Ⅱ）由题意得可知，故，又在双曲线上，代入坐标可得，从而得到曲线方程。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为在抛物线上，可设抛物线方程为，‎ 由抛物线的定义可知， 到准线的距离为4，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以抛物线的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）由双曲线定义及可知，‎ 所以，‎ 又因为是双曲线上的点，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以双曲线的标准方程为. ‎ ‎18．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为，圆与直线交于， 两点， ‎ 点的直角坐标为．‎ ‎（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】(1) ,;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得直线的普通方程为，把， 代入圆的极坐标方程可得圆的直角坐标方程．（Ⅱ）利用参数方程中参数的几何意义求解。把参数方程代入圆的方程整理得，设， 是该方程的两根，则。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由消去参数得，‎ 即直线的普通方程为．‎ 把， ，代入，整理得 故圆的直角坐标方程，即．‎ ‎（Ⅱ）把（为参数）代入，‎ 化简得： ，‎ ‎，‎ 设， 是该方程的两根．‎ 则．‎ 所以,‎ 又直线过，‎ 所以．‎ ‎19．已知抛物线的方程为，过点作直线交抛物线于、两点，且为线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段的长度.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用“点差法”可求得直线AB的斜率，再用点斜式得到直线方程。（Ⅱ）把直线方程代入抛物线方程得，从而， ，再利用弦长公式求解。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设， ，‎ 因为、在抛物线上，所以有，‎ ‎①-②得，‎ 所以，‎ 因为为线段的中点，‎ 所以， ，‎ 所以，‎ 又因为直线过点，‎ 所以直线的方程为，‎ 即； ‎ ‎（Ⅱ）由消去y整理得，‎ 显然 又， ，‎ 所以，‎ 所以线段的长度为. ‎ ‎20．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切，被直线截得的弦长为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若， 满足圆的方程，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆的圆心为，半径为，根据条件得到关于的方程组，求得可得圆的方程；（Ⅱ）由于，故可将求范围的问题转化为两圆有公共点的问题处理，可得所求范围。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设圆的圆心为，半径为，则有：‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ），‎ 故表示圆上的点与（-2，-2）距离的平方减去8。‎ 设，‎ 又点（-2，-2）在圆外，‎ 则圆心（2,1）到点（-2，-2）的距离为5，‎ 所以，‎ 所以 。‎ 所以的取值范围为. ‎ 点睛：与圆有关的最值问题，常用代数式的几何意义求解，常见的有以下几种类型：‎ ‎（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；‎ ‎（2）形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；‎ ‎（3）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．‎ ‎21．椭圆与直线相交于、两点，且，其中为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程消去y整理得，设， ，由，得到，将， 代入上式整理可得结论；（Ⅱ）由，得，由（Ⅰ）知，代入上式整理得，故，由此可求得长轴长的取值范围。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由消去y整理得 ‎，‎ 设， ，‎ 则， ，‎ 由，‎ 得，‎ 化简得，‎ 所以，‎ 化简得； ‎ ‎（Ⅱ），‎ 由，‎ 得，‎ 所以，‎ 又由（Ⅰ）知，‎ 所以，‎ 因此，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以 即椭圆的长轴长的取值范围为．‎ ‎22．如图，椭圆 的左右焦点分别为的、，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，当时， 点在轴上的射影为。连结并延长分别交于、两点，连接； 与的面积分别记为， ，设.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ,;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，得 ，可得，解得，从而得，可得曲线方程。（Ⅱ ）设， ，分析可得，先设出直线的方程为 ，由，解得，从而可求得，同理可得,故可将化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由抛物线定义可得，‎ ‎∵点M在抛物线上，‎ ‎∴，即 ①‎ 又由，得 ‎ 将上式代入①，得 解得 ‎∴‎ ‎，‎ 所以曲线的方程为，曲线的方程为。 ‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ 设， .‎ 则，‎ 设， ，‎ 则，‎ 所以， ②‎ 设直线的方程为 ，‎ 由，解得，‎ 所以，‎ 由②可知，用代替，‎ 可得， ‎ 由，解得，‎ 所以，‎ 用代替，可得 所以 ‎，当且仅当时等号成立。‎ 所以的取值范围为. ‎ 点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎③利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎