重庆市2020届高三5月调研（二诊）考试数学（文科）试题（解析版）

重庆市2020届高三5月调研（二诊）考试数学（文科）试题（解析版）

‎2020年高考数学二诊试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题）. ‎ ‎1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{3，5}‎ ‎2．若复数z满足（z+i）i＝2﹣i，则|z|＝（　　）‎ A．‎2‎ B．2 C．‎10‎ D．10‎ ‎3．两条平行直线3x+4y﹣12＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（　　）‎ A．‎23‎‎5‎ B．‎23‎‎10‎ C．7 D．‎‎7‎‎2‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a＞2，则2a≤4” ‎ B．命题p∨q与￢（p∨q）至少有一个为真命题 ‎ C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜0” ‎ D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题 ‎5．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　）‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关 ‎ B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 ‎ C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 ‎ D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 ‎6．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{an}定义如下：a1＝a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈Z）．随着n的增大，anan+1‎越来越逼近黄金分割‎5‎‎-1‎‎2‎‎≈0.618‎，故此数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（　　）‎ A．144厘米 B．233厘米 C．250厘米 D．377厘米 ‎7．已知a，b＞0，a+2b＝2，则ba‎+‎‎1‎b的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．[2，+∞） C．‎[‎2‎+1，+∞)‎ D．‎‎[2‎2‎，+∞)‎ ‎8．如图，AB为半圆O的直径，在弧AB上随机取一点P，记△PAB与半圆的面积之比为λ，则λ∈（‎1‎π，‎2‎π）的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎12‎ B．‎1‎‎6‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎4‎ ‎9．函数y=‎xe‎|x|‎的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（‎3‎‎4‎‎+‎x）＝f（‎3‎‎4‎‎-‎x），且当x∈（0，‎3‎‎4‎）时，f（x）＝log2（x+1）+m，若f（100）＝log23，则实数m的值为（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎11．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，9a2+9b2＝19c2，则tanAtanBtanC(tanA+tanB)‎‎=‎（　　）‎ A．‎4‎‎9‎ B．‎5‎‎9‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎7‎‎9‎ ‎12．若曲线y＝ax+2cosx上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[‎-‎‎3‎，‎3‎] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，1] D．[‎-‎‎3‎，1]‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量a‎=‎（2，m），a‎→‎‎+b‎→‎=‎（1，2），若a‎→‎∥（a‎→‎‎+‎3b‎→‎），则实数m＝　 　．‎ ‎14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为　 　．‎ ‎15．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2，a4，a8依次成等比数列，若a3，a6，ab‎1‎，ab‎2‎‎⋯‎，abn‎⋯‎成等比数列，则b5＝　 　．‎ ‎16．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心，3p为半径的圆交抛物线E于P，Q两点，以线段PF为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F到直线PQ的距离为　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．已知函数f(x)=cos(π‎2‎-2x)-2‎3‎cos‎2‎x+‎‎3‎．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A‎2‎)=‎‎3‎，a=‎‎3‎，c＝1，求△ABC的面积．‎ ‎18．今年2月份，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各大医药厂商纷纷加紧生产口罩，某医疗器械生产工厂为了解目前的生产力，统计了每个工人每小时生产的口罩数量（单位：箱），得到如图所示的频率分布直方图，其中每个工人每小时的产量均落在[10，70]内，数据分组为[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70），已知前三组的频率成等差数列，第三组、第四组、第五组的频率成等比数列，最后一组的频率为‎1‎‎15‎．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）在最后三组中采用分层抽样的方法随机抽取了6人，现从这6人中随机抽出两人对其它小组的工人进行生产指导，求这两人来自同一小组的概率．‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为BB1、A1C的中点．‎ ‎（1）证明：DE⊥平面ACC1A1；‎ ‎（2）求点E到平面ACD的距离．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（﹣1，‎2‎‎2‎）在椭圆C上，且|PF2|‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足ON‎→‎‎=‎3OM‎→‎（O为坐标原点），求直线l的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣lnx﹣1，a∈R．‎ ‎（1）当a‎=‎‎1‎‎4‎时，求f（x）的单调区间及极值；‎ ‎（2）若a为整数，且不等式f（x）≥x对任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosθy=3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4sinθ+3cosθ）＝a，且直线l与曲线C有两个不同的交点．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|的最小值为m．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若实数a，b满足a2+b2＝m，求‎1‎‎1+‎a‎2‎‎+‎‎1‎‎2+‎b‎2‎的最小值．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|log2（x﹣2）＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{3，5}‎ ‎【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ 解：∵集合A＝{2，3，5，7}，‎ B＝{x|log2（x﹣2）＜1}＝{x|2＜x＜4}，‎ ‎∴A∩B＝{3}．‎ 故选：B．‎ ‎2．若复数z满足（z+i）i＝2﹣i，则|z|＝（　　）‎ A．‎2‎ B．2 C．‎10‎ D．10‎ ‎【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．‎ 解：∵（z+i）i＝2﹣i，∴z+i‎=‎2-ii=-‎1﹣2i，‎ ‎∴z＝﹣1﹣3i，‎ ‎∴|z|‎=‎(-1)‎‎2‎‎+(-3‎‎)‎‎2‎=‎‎10‎，‎ 故选：C．‎ ‎3．两条平行直线3x+4y﹣12＝0与ax+8y+11＝0之间的距离为（　　）‎ A．‎23‎‎5‎ B．‎23‎‎10‎ C．7 D．‎‎7‎‎2‎ ‎【分析】先将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论．‎ 解：由题意，a＝6，直线3x+4y﹣12＝0可化为6x+8y﹣24＝0‎ ‎∴两条平行直线之间的距离为‎|11+24|‎‎36+64‎‎=‎‎7‎‎2‎ 故选：D．‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a＞2，则2a≤4” ‎ B．命题p∨q与￢（p∨q）至少有一个为真命题 ‎ C．“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∀x＞0，x2﹣2x+2＜0” ‎ D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题 ‎【分析】写出命题的否定判断A；由互为否命题的两个命题必有一个是真命题判断B；写出全程命题的否定判断C；由命题的概念判断D．‎ 解：“若a＞2，则2a＞4”的否命题为“若a≤2，则2a≤4”，故A错误；‎ 命题p∨q与￢（p∨q）互为否命题，则必有一个为真命题，即至少有一个为真命题，故B正确；‎ ‎“∀x＞0，x2﹣2x+2≥0”的否定为“∃x＞0，x2﹣2x+2＜0”，故C错误；‎ ‎“这次数学考试的题目真难”不是能够判断真假的陈述句，不是命题，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎5．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　）‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关 ‎ B．有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 ‎ C．有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关 ‎ D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 ‎【分析】根据K的观测值K2对照题目中的表格，得出统计结论．‎ 解：根据题意K2＝7＞6.635，P（K2≥k0）＝0.010，‎ 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，‎ 故选：D．‎ ‎6．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{an}定义如下：a1＝a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈Z）．随着n的增大，anan+1‎越来越逼近黄金分割‎5‎‎-1‎‎2‎‎≈0.618‎，故此数列也称黄金分割数列，而以an+1、an为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（　　）‎ A．144厘米 B．233厘米 C．250厘米 D．377厘米 ‎【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计算即可．‎ 解：设该长方形的长为x厘米，则宽为0.618x；‎ 故有：0.618x2＝336平方分米＝33600平方厘米；‎ ‎∴x≈233厘米；‎ 故选：B．‎ ‎7．已知a，b＞0，a+2b＝2，则ba‎+‎‎1‎b的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．[2，+∞） C．‎[‎2‎+1，+∞)‎ D．‎‎[2‎2‎，+∞)‎ ‎【分析】由ba‎+a+2b‎2b=ba+a‎2b+1‎，直接利用基本不等式求出ba‎+‎‎1‎b的最小值即可．‎ 解：∵a，b＞0，a+2b＝2，‎ ‎∴ba‎+a+2b‎2b=ba+a‎2b+1≥2ba‎⋅‎a‎2b+1=‎2‎+1‎，‎ 当且仅当ba‎=‎a‎2b，即a=2‎2‎-2‎，b=2-‎‎2‎时等号成立，‎ 故选：C．‎ ‎8．如图，AB为半圆O的直径，在弧AB上随机取一点P，记△PAB与半圆的面积之比为λ，则λ∈（‎1‎π，‎2‎π）的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎12‎ B．‎1‎‎6‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎4‎ ‎【分析】由题意画出图形，设P到AB的距离为h，圆的半径为r，由面积比得到‎1‎‎2‎‎＜hr＜‎‎2‎‎2‎，即∠BOP（或∠AOP）∈（π‎6‎，π‎4‎）．再由测度比是角度比得答案．‎ 解：如图，设P到AB的距离为h，圆的半径为r，‎ 则S‎△PAB‎=‎1‎‎2‎×2r×h，半圆的面积为S半圆‎=‎1‎‎2‎πr‎2‎，‎ 则λ‎=rh‎1‎‎2‎πr‎2‎=‎‎2hπr．‎ 由λ∈（‎1‎π，‎2‎π），得‎1‎π‎＜‎2hπr＜‎‎2‎π，‎ 得‎1‎‎2‎‎＜hr＜‎‎2‎‎2‎，即∠BOP（或∠AOP）∈（π‎6‎，π‎4‎）．‎ 再由测度比为角度比，可得λ∈（‎1‎π，‎2‎π）的概率为‎2(π‎4‎-π‎6‎)‎π‎=‎‎1‎‎6‎．‎ 故选：B．‎ ‎9．函数y=‎xe‎|x|‎的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值的大小，比较即可判断函数的图象．‎ 解：函数y=‎xe‎|x|‎是奇函数，‎ 当x＝1时，f（1）‎=‎1‎e＞‎0，排除C，当x＝2时，f（2）‎=‎2‎e‎2‎＜‎1‎e=‎f（1），‎ 排除选项A，D．‎ 故选：B．‎ ‎10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（‎3‎‎4‎‎+‎x）＝f（‎3‎‎4‎‎-‎x），且当x∈（0，‎3‎‎4‎）时，f（x）＝log2（x+1）+m，若f（100）＝log23，则实数m的值为（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎【分析】根据题意，由f（‎3‎‎4‎‎+‎x）＝f（‎3‎‎4‎‎-‎x）可得f（﹣x）＝f（‎3‎‎2‎‎+‎x），结合函数的奇偶性可得f（‎3‎‎2‎‎+‎x）＝﹣f（x），进而可得f（x+3）＝﹣f（‎3‎‎2‎‎+‎x）＝f（x），即函数f（x ‎）是周期为3的周期函数，据此可得f（100）＝f（1+3×33）＝f（1）＝f（‎1‎‎2‎），则有f（‎1‎‎2‎）＝log23，结合函数的解析式可得f（‎1‎‎2‎）＝log2‎3‎‎2‎‎+‎m＝log23，解可得m的值，即可得答案．‎ 解：根据题意，函数f（x）满足：f（‎3‎‎4‎‎+‎x）＝f（‎3‎‎4‎‎-‎x），则有f（﹣x）＝f（‎3‎‎2‎‎+‎x），‎ 又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（‎3‎‎2‎‎+‎x）＝﹣f（x），‎ 则有f（x+3）＝﹣f（‎3‎‎2‎‎+‎x）＝f（x），即函数f（x）是周期为3的周期函数，‎ 若f（100）＝log23，则f（100）＝f（1+3×33）＝f（1）＝f（‎1‎‎2‎），则有f（‎1‎‎2‎）＝log23，‎ 当x∈（0，‎3‎‎4‎）时，f（x）＝log2（x+1）+m，则有f（‎1‎‎2‎）＝log2‎3‎‎2‎‎+‎m＝log23，‎ 解可得m＝1；‎ 故选：B．‎ ‎11．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，9a2+9b2＝19c2，则tanAtanBtanC(tanA+tanB)‎‎=‎（　　）‎ A．‎4‎‎9‎ B．‎5‎‎9‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎7‎‎9‎ ‎【分析】由已知可得a2+b2‎=‎‎19‎‎9‎c2，进而由余弦定理c‎2‎ab‎=‎‎9cosC‎5‎，进而利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．‎ 解：∵9a2+9b2＝19c2，可得a2+b2‎=‎‎19‎‎9‎c2，‎ 又由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC＝c2，‎ ‎∴‎19‎‎9‎c2＝c2+2abcosC，可得c‎2‎ab‎=‎‎9cosC‎5‎ ‎∴tanAtanBtanC(tanA+tanB)‎‎=sinAsinBtanC(sinAcosB+cosAsinB)‎=sinAsinBtanCsin(A+B)‎=sinAsinBtanCsinC=sinAsinBcosCsin‎2‎C=abcosCc‎2‎=cosCc‎2‎ab=cosC‎9cosC‎5‎=‎‎5‎‎9‎．‎ 故选：B．‎ ‎12．若曲线y＝ax+2cosx上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[‎-‎‎3‎，‎3‎] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，1] D．[‎-‎‎3‎，1]‎ ‎【分析】先对函数求导数，要使曲线上存在互相垂直的切线，则两切线斜率乘积为﹣1，只需导数的最大值、最小值的之积小于等于﹣1，由此构造不等式求解．‎ 解：y′＝a﹣2sinx，要使曲线y＝ax+2cosx上存在两条切线相互垂直，‎ 只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即‎-‎1‎y‎'‎min≤y‎'‎max，显然y′mn＜0，‎ 故只需（y′）min×（y′）max≤﹣1，‎ 因为y′＝a﹣2sinx最小值为a﹣2＜0，最大值为a+2＞0，‎ 所以（a﹣2）（a+2）≤﹣1，即a2≤3，‎ 解得‎-‎3‎≤a≤‎‎3‎．‎ 故选：A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量a‎=‎（2，m），a‎→‎‎+b‎→‎=‎（1，2），若a‎→‎∥（a‎→‎‎+‎3b‎→‎），则实数m＝　4　．‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出．‎ 解：向量a‎→‎‎=(2，m)‎，a‎→‎‎+b‎→‎=(1，2)‎，‎ ‎∴b‎→‎‎=‎（﹣1，2﹣m）．‎ ‎∴a‎→‎‎+‎3b‎→‎‎=‎（﹣1，6﹣2m）．‎ 若a‎→‎‎∥(a‎→‎+3b‎→‎)‎，‎ 则实数m＝2（6﹣2m）+m＝0，‎ 解得m＝4．‎ 故答案为：4．‎ ‎14．已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为　‎45-‎‎9π‎2‎　．‎ ‎【分析】利用三视图画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可．‎ 解：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个‎1‎‎8‎球，‎ 如图所示，∴V=3×3×5-‎1‎‎8‎⋅‎4‎‎3‎π⋅‎3‎‎3‎=45-‎9‎‎2‎π．‎ 故答案为：‎45-‎‎9π‎2‎．‎ ‎15．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2，a4，a8依次成等比数列，若a3，a6，ab‎1‎，ab‎2‎‎⋯‎，abn‎⋯‎成等比数列，则b5＝　192　．‎ ‎【分析】设公差为d，d≠0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得a1＝d，进而得到等比数列的首项为3d、公比为2‎ ‎，运用等比数列和等差数列的通项公式，化简可得所求bn，则b5可求．‎ 解：设公差为d，d≠0，由a2，a4，a8依次成等比数列，可得a42＝a2a8，‎ 即a‎4‎‎2‎‎=‎（a4﹣2d）（a4+4d），‎ ‎∴a4＝4d，得a1+3d＝4d，‎ 故a1＝d，‎ ‎∴an＝nd，则a3＝3d，a6＝6d，‎ 故此等比数列的首项为3d、公比为2，‎ 因此abn‎=‎3d•2n+1＝bnd，‎ 故bn‎=3⋅‎‎2‎n+1‎，n∈N*．‎ 则b‎5‎‎=3⋅‎2‎‎6‎=192‎．‎ 故答案为：192．‎ ‎16．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心，3p为半径的圆交抛物线E于P，Q两点，以线段PF为直径的圆经过点（0，﹣1），则点F到直线PQ的距离为　‎4‎‎5‎‎5‎　．‎ ‎【分析】由题意设以F为圆心，3p为半径的圆的方程与抛物线联立求出P，Q的坐标，再由以线段PF为直径的圆经过点D（0，﹣1）可得DF‎→‎‎⋅DP‎→‎=‎0，求出p的值，进而求出F的坐标及直线PQ的方程，求出F到直线PQ的距离．‎ 解：由题意可得以F为圆心，3p为半径的圆的方程为：（x‎-‎p‎2‎）2+y2＝（3p）2，‎ 与抛物线方程联立，‎(x-p‎2‎‎)‎‎2‎+y‎2‎=9‎p‎2‎y‎2‎‎=2px，整理可得4x2+4px﹣35＝0，所以可得x‎=‎‎5p‎2‎，代入抛物线的方程可得y＝±‎5‎p，‎ 由题意可得P（‎5p‎2‎，‎-‎‎5‎p），Q（‎5p‎2‎，‎5‎p），所以直线PQ为x‎=‎‎5p‎2‎，‎ 因为以线段PF为直径的圆经过点D（0，﹣1），所以DF‎→‎‎⋅DP‎→‎=‎0，‎ 即（p‎2‎，1）•（‎5p‎2‎，‎-‎‎5‎p+1）＝0‎ 整理可得：5p2﹣4‎5‎p+4＝0，所以p‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ 所以F（‎5‎‎5‎，0），直线PQ的方程为：x‎=‎‎5‎，‎ 所以点F到直线PQ的距离为‎5‎‎-‎5‎‎5‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．已知函数f(x)=cos(π‎2‎-2x)-2‎3‎cos‎2‎x+‎‎3‎．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A‎2‎)=‎‎3‎，a=‎‎3‎，c＝1，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）先利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式把函数f（x）变形成正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求其单调区间即可；‎ ‎（2）把x=‎A‎2‎代入函数f（x），并结合A∈（0，π），可解得A=‎‎2π‎3‎，再利用正弦定理求出角 C的值，由于三角形的内角和为π，可求得角B，最后利用三角形的面积公式即可得解．‎ 解：（1）f(x)=sin2x-‎3‎(1+cos2x)+‎3‎=2sin(2x-π‎3‎)‎，‎ 由‎2kπ-π‎2‎≤2x-π‎3‎≤2kπ+‎π‎2‎，得kπ-π‎12‎≤x≤kπ+‎‎5π‎12‎，k∈Z；‎ 由‎2kπ+π‎2‎＜2x-π‎3‎≤2kπ+‎‎3π‎2‎，得kπ+‎5π‎12‎＜x≤kπ+‎‎11π‎12‎，k∈Z．‎ 故f（x）在‎[kπ-π‎12‎，kπ+‎5π‎12‎]‎上单调递增，在‎(kπ+‎5π‎12‎，kπ+‎11π‎12‎]‎上单调递减，k∈Z．‎ ‎（2）f(A‎2‎)=2sin(A-π‎3‎)=‎‎3‎，则sin(A-π‎3‎)=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵A∈（0，π），∴A-π‎3‎=‎π‎3‎，即A=‎‎2π‎3‎，‎ 由正弦定理得，asinA‎=‎csinC即‎3‎‎3‎‎2‎‎=‎‎1‎sinC，解得sinC=‎‎1‎‎2‎，∴C=‎π‎6‎或‎5π‎6‎，‎ 当C‎=‎‎5π‎6‎时，A+C＞π，舍去，所以C=‎π‎6‎，故B=‎π‎6‎，‎ ‎∴S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎acsinB=‎‎3‎‎4‎．‎ ‎18．今年2月份，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各大医药厂商纷纷加紧生产口罩，某医疗器械生产工厂为了解目前的生产力，统计了每个工人每小时生产的口罩数量（单位：箱），得到如图所示的频率分布直方图，其中每个工人每小时的产量均落在[10，70]内，数据分组为[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70），已知前三组的频率成等差数列，第三组、第四组、第五组的频率成等比数列，最后一组的频率为‎1‎‎15‎．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）在最后三组中采用分层抽样的方法随机抽取了6人，现从这6‎ 人中随机抽出两人对其它小组的工人进行生产指导，求这两人来自同一小组的概率．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，结合等差数列、等比数列的性质能求出a的值．‎ ‎（2）由a＝0.03，第三组、第四组、第五组的频率成等比数列，得到第四组的频率为‎1‎‎5‎，第五组的频率为‎2‎‎15‎，在最后三组中采用分层抽样的方法随机抽取了6人，利用分层抽样方法求出第四组抽取3人，第五组抽取2人，第六组抽取1人，从这6人中随机抽出两人对其它小组的工人进行生产指导，利用古典概型能求出这两人来自同一小组的概率．‎ 解：（1）由频率分布直方图得：‎ ‎（0.02+2×0.02+0.02+0.02‎×‎‎0.02‎a）×10‎+‎1‎‎15‎=‎1，‎ 解得a＝0.03．‎ ‎（2）由a＝0.03，第三组、第四组、第五组的频率成等比数列，‎ 得到第四组的频率为：0.02×10‎=‎‎1‎‎5‎，‎ 第五组的频率为0.02‎×‎0.02‎‎0.03‎×‎10‎=‎‎2‎‎15‎，‎ 在最后三组中采用分层抽样的方法随机抽取了6人，‎ 第四组抽取6‎×‎1‎‎5‎‎1‎‎5‎‎+‎2‎‎15‎+‎‎1‎‎15‎=‎3人，‎ 第五组抽取6‎×‎2‎‎15‎‎1‎‎5‎‎+‎2‎‎15‎+‎‎1‎‎15‎=‎2人，‎ 第六组抽取6‎×‎1‎‎15‎‎1‎‎5‎‎+‎2‎‎15‎+‎‎1‎‎15‎=‎1人，‎ 从这6人中随机抽出两人对其它小组的工人进行生产指导，‎ 基本事件总数n‎=C‎6‎‎2‎=‎15，‎ 这两人来自同一小组包含的基本事件个数m‎=C‎3‎‎2‎+C‎2‎‎2‎=‎4，‎ ‎∴这两人来自同一小组的概率p‎=mn=‎‎4‎‎15‎．‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为BB1、A1C的中点．‎ ‎（1）证明：DE⊥平面ACC1A1；‎ ‎（2）求点E到平面ACD的距离．‎ ‎【分析】（1）取AA1中点F，连结DF，EF，推导出DF∥AB，EF∥AC，从而平面ABC∥平面DEF，进而AA1⊥平面DEF，DE⊥AA1，连结A1D，推导出DE⊥A1C，由此能证明DE⊥平面ACC1A1．‎ ‎（2）设点E到平面ACD的距离为d，由VD﹣ACE＝VE﹣ADC，能求出点E到平面ACD的距离．‎ 解：（1）证明：如图，取AA1中点F，连结DF，EF，‎ ‎∵AA1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，D，E分别为BB1、A1C的中点．‎ ‎∴DF∥AB，EF∥AC，又DF∩EF＝F，AB∩AC＝A，‎ ‎∴平面ABC∥平面DEF，‎ ‎∴AA1⊥平面DEF，‎ ‎∴DE⊥AA1，‎ 连结A1D，‎ ‎∵AB＝BC＝AA1＝2，∴CD＝A1D，∴DE⊥A1C，‎ ‎∵AA1∩AC1＝E，∴DE⊥平面ACC1A1．‎ ‎（2）解：∵DE⊥平面ACC1A1，AB＝BC＝AA1＝2，‎ ‎∴AD＝CD‎=‎4+1‎=‎‎5‎，CE‎=‎1‎‎2‎A‎1‎C=‎1‎‎2‎‎4+4+4‎=‎‎3‎，‎ ‎∴DE‎=DC‎2‎-CE‎2‎=‎‎2‎，S‎△ACE‎=‎1‎‎2‎S‎△AA‎1‎C=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎×2×2‎2‎=‎‎2‎，‎ S△ACD‎=‎1‎‎2‎×2‎2‎×‎(‎5‎‎)‎‎2‎-(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎6‎，‎ 设点E到平面ACD的距离为d，‎ ‎∵VD﹣ACE＝VE﹣ADC，‎ ‎∴‎1‎‎3‎‎×S‎△ACE×DE=‎1‎‎3‎×S‎△ADC×d，解得d‎=‎1‎‎3‎‎×‎2‎×‎‎2‎‎1‎‎3‎‎×‎‎6‎=‎‎6‎‎3‎．‎ ‎∴点E到平面ACD的距离为‎6‎‎3‎．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（﹣1，‎2‎‎2‎）在椭圆C上，且|PF2|‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足ON‎→‎‎=‎3OM‎→‎（O为坐标原点），求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）根据题意得‎1‎a‎2‎‎+‎1‎‎2‎b‎2‎=1‎①，‎(-1-c‎)‎‎2‎+(‎2‎‎2‎-0‎‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎②，c2＝a2﹣b2③，由①②③组成方程组，解得a，b，进而得椭圆C的方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为x＝ky+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆C的方程得关于y的一元二次方程，结合韦达定理得y1+y2‎=-‎‎2kk‎2‎‎+2‎，x1+x2‎=‎‎4‎k‎2‎‎+2‎，从而得线段AB中点M坐标，点N的坐标，将其代入椭圆方程，可解得k，进而得出直线l的方程．‎ 解：（1）因为点P（﹣1，‎2‎‎2‎）在椭圆C上，且|PF2|‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ 所以‎1‎a‎2‎‎+‎1‎‎2‎b‎2‎=1‎，①‎ ‎(-1-c‎)‎‎2‎+(‎2‎‎2‎-0‎‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎‎，解得c＝1，②‎ 又因为c2＝a2﹣b2③‎ 由①②③组成方程组，解得a‎=‎‎2‎，b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为：x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎．‎ ‎（2）由（1）可知F2（1，0），‎ 设直线l的方程为x＝ky+1，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立直线l与椭圆C的方程得（k2+2）y2+2ky﹣1＝0，‎ 得y1+y2‎=-‎‎2kk‎2‎‎+2‎，则x1+x2‎=‎‎4‎k‎2‎‎+2‎，‎ 所以线段AB中点M（‎2‎k‎2‎‎+2‎，‎-‎kk‎2‎‎+2‎），‎ 所以ON‎→‎‎=‎3OM‎→‎‎=‎3（‎2‎k‎2‎‎+2‎，‎-‎kk‎2‎‎+2‎），‎ 所以N点的坐标为（‎6‎k‎2‎‎+2‎，‎-‎‎3kk‎2‎‎+2‎），‎ 将N点坐标代入椭圆的方程‎(‎‎6‎k‎2‎‎+2‎‎)‎‎2‎‎2‎‎+(‎-3kk‎2‎‎+2‎‎)‎‎2‎=1‎，‎ 解得k2＝7，k＝±‎7‎，‎ 所以直线l的方程为：x‎+‎‎7‎y﹣1＝0或x‎-‎‎7‎y﹣1＝0．‎ ‎21．已知函数f（x）＝ax2+2ax﹣lnx﹣1，a∈一、选择题．‎ ‎（1）当a‎=‎‎1‎‎4‎时，求f（x）的单调区间及极值；‎ ‎（2）若a为整数，且不等式f（x）≥x对任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．‎ ‎【分析】（1）对函数f（x）求导，根据导数的符号求单调区间与极值；‎ ‎（2）先由f（1）≥1⇒a∈N*，再构造函数g（x）＝f（x）﹣x，求导研究其单调性及最小值，由其最小值非负求得a的最小值．‎ 解：（1）当a‎=‎‎1‎‎4‎时，f（x）‎=‎‎1‎‎4‎x2‎+‎‎1‎‎2‎x﹣lnx﹣1，f′（x）‎=‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎-‎1‎x=‎‎(x+2)(x-1)‎‎2x，x＞0，令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或1．易知当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（‎ ‎0，1）时，f′（x）＜0．故f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），f（x）的极小值为f（1）‎=‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎-0-1=-‎‎1‎‎4‎，无极大值；‎ ‎（2）∵不等式f（x）≥x对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴当x＝1时，有f（1）≥1，解得a‎≥‎‎2‎‎3‎，∵a为整数，‎ ‎∴a∈N*．令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2+2ax﹣lnx﹣1﹣x，x＞0，∵g′（x）＝2ax+2a‎-‎1‎x-‎1＝（x+1）（2a‎-‎‎1‎x），‎ 令g′（x）＝0⇒x‎=‎‎1‎‎2a，易知g（x）在（0，‎1‎‎2a）上单调递减，在（‎1‎‎2a，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）min＝g（‎1‎‎2a）‎=-‎1‎‎4a+‎ln2a．‎ ‎∵不等式f（x）≥x对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴g（x）≥0，即g（x）min‎=-‎1‎‎4a+‎ln2a≥0．令h（a）‎=-‎1‎‎4a+‎ln2a，a∈N*，‎ 则h（a）单调递增，且h（1）‎=-‎1‎‎4‎+‎ln2＞0，‎ 故a≥1．所以a的最小值为1．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosθy=3+2sinθ（θ为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（4sinθ+3cosθ）＝a，且直线l与曲线C有两个不同的交点．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线l垂直，求点M的直角坐标．‎ ‎【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用直线与圆的相交建立等量关系式求出结果．‎ ‎（2）利用直线的平行建立关系式，求出结果．‎ 解：（1）曲线C的参数方程为x=2+2cosθy=3+2sinθ（θ为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4，‎ 直线l的极坐标方程为ρ（4sinθ+3cosθ）＝a，根据x=ρcosθy=ρsinθ转换为直角坐标方程为4y+3x＝a，‎ 由直线l与圆C有两个交点知‎|6+12-a|‎‎5‎‎＜2‎，解得8＜a＜28．‎ ‎（2）设圆C的圆心为O1，由圆C的参数方程可设点M（2+2cosθ0，3+2sinθ0），‎ 由题知O1M∥l，‎ ‎∴cosθ‎0‎=-‎‎4‎‎5‎，sinθ‎0‎=‎‎3‎‎5‎，或cosθ‎0‎=‎‎4‎‎5‎，sinθ‎0‎=-‎‎3‎‎5‎，‎ 故点M(‎2‎‎5‎，‎21‎‎5‎)‎，或‎(‎18‎‎5‎，‎9‎‎5‎)‎．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝2|x|+|x﹣2|的最小值为m．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若实数a，b满足a2+b2＝m，求‎1‎‎1+‎a‎2‎‎+‎‎1‎‎2+‎b‎2‎的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得m＝2；‎ ‎（2）由（1）得a2+b2＝2，再利用柯西不等式直接得解，注意取等条件．‎ 解：（1）f（x）＝|x|+|x|+|x﹣2|≥|x|+|x﹣（x﹣2）|＝|x|+2≥2，当且仅当x＝0时等号成立，‎ 故m＝2；‎ ‎（2）由（1）得a2+b2＝2，由柯西不等式得‎(‎1‎‎1+‎a‎2‎+‎1‎‎2+‎b‎2‎)(1+a‎2‎+2+b‎2‎)≥(1+1‎‎)‎‎2‎，当且仅当a‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎，b‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎时，等号成立，‎ ‎∴‎1‎‎1+‎a‎2‎‎+‎1‎‎2+‎b‎2‎≥‎4‎a‎2‎‎+b‎2‎+3‎=‎‎4‎‎5‎，‎ 故‎1‎‎1+‎a‎2‎‎+‎‎1‎‎2+‎b‎2‎的最小值为‎4‎‎5‎．‎ ‎ ‎