【数学】2020届一轮复习(文)通用版4-7正弦定理和余弦定理(一)作业

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【数学】2020届一轮复习(文)通用版4-7正弦定理和余弦定理(一)作业

课时跟踪检测(二十九) 正弦定理和余弦定理(一)‎ A级——保大分专练 ‎1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则B的大小为(  )‎ A.30°          B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:选B 由正弦定理知,=,‎ ‎∴sin B=cos B,∴B=45°.‎ ‎2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(  )‎ A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析:选C 由正弦定理得=,‎ ‎∴sin B===>1.‎ ‎∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.‎ ‎3.(2018·重庆六校联考)在△ABC中,cos B=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选A 因为cos B=,由余弦定理得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.‎ ‎4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.若bsin A=3csin B,a=3, cos B=,则b=(  )‎ A.14 B.6‎ C. D. 解析:选D ∵bsin A=3csin B⇒ab=3bc⇒a=3c⇒c=1,∴b2=a2+c2-2accos B=9+1-2×3×1×=6,∴b=.‎ ‎5.(2019·莆田调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin Bcos C ‎+csin Bcos A=b,且a>b,则B=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A ∵asin Bcos C+csin Bcos A=b,∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,即sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B.∵sin B≠0,∴sin(A+C)=,即sin B=.∵a>b,∴A>B,即B为锐角,∴B=.‎ ‎6.(2019·山西大同联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2(bcos A+acos B)=c2,b=3,3cos A=1,则a=(  )‎ A. B.3‎ C. D.4‎ 解析:选B 由正弦定理可得2(sin Bcos A+sin Acos B)=csin C,‎ ‎∵2(sin Bcos A+sin Acos B)=2sin(A+B)=2sin C,‎ ‎∴2sin C=csin C,∵sin C>0,∴c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+22-2×3×2×=9,∴a=3.‎ ‎7.在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,则AC=________.‎ 解析:C=180°-75°-45°=60°,‎ 由正弦定理得=,‎ 即=,解得AC=2.‎ 答案:2‎ ‎8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=________.‎ 解析:∵3sin A=2sin B,∴3a=2b.‎ 又∵a=2,∴b=3.‎ 由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴c2=22+32-2×2×3×=16,∴c=4.‎ 答案:4‎ ‎9.(2018·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b ‎=2,A=60°,则sin B=________,c=________.‎ 解析:由正弦定理=,‎ 得sin B=·sin A=×=.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,‎ 得7=4+c2-4c×cos 60°,‎ 即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).‎ 答案: 3‎ ‎10.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,sin A,sin B,sin C成等差数列,且a=2c,则cos A=________.‎ 解析:因为sin A,sin B,sin C成等差数列,所以2sin B=sin A+sin C.由正弦定理得a+c=2b,又因为a=2c,可得b=c,所以cos A===-.‎ 答案:- ‎11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=2B.‎ ‎(1)求证:a=2bcos B;‎ ‎(2)若b=2,c=4,求B的值.‎ 解:(1)证明:因为A=2B,所以由正弦定理=,得=,所以a=2bcos B.‎ ‎(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,‎ 因为b=2,c=4,A=2B,‎ 所以16cos2B=4+16-16cos 2B,所以cos2B=,‎ 因为A+B=2B+B<π,‎ 所以B<,所以cos B=,所以B=.‎ ‎12.(2019·绵阳模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.‎ 解:(1)由已知,结合正弦定理,‎ 得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.‎ 又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,‎ 所以bc=-2bccos A,即cos A=-.‎ 由于A为△ABC的内角,所以A=.‎ ‎(2)由已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,‎ 结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,‎ 即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2=.‎ 又由sin B+sin C=1,‎ 得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,‎ 所以sin Bsin C=,结合sin B+sin C=1,‎ 解得sin B=sin C=.‎ 因为B+C=π-A=,所以B=C=,‎ 所以△ABC是等腰三角形.‎ B级——创高分自选 ‎1.(2019·郑州质量预测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为(  )‎ A. B. C. D.6‎ 解析:选A 由2cos2-cos 2C=1,得1+cos(A+B)-(2cos2C-1)=2-2cos2C-cos C=1,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A及正弦定理,得4b=3a,结合a-b=1,得a=4,b=3.由余弦定理,知c2=a2+b2-2ab cos C=42+32-2×4×3×=13,所以c=.‎ ‎2.(2019·长春模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,=,若sin(A-B)+sin C=2sin 2B,则a+b=________.‎ 解析:∵==,且由正弦定理可得a=2Rsin A,c=2Rsin C(R为△ABC的外接圆的半径),∴cos C=.∵C∈(0,π),∴C=.∵sin(A-B)+sin C=2sin 2B,sin C=sin(A+B),∴2sin Acos B=4sin Bcos B.当cos B=0时,B=,则A=,∵c=, ∴a=1,b ‎=2,则a+b=3.当cos B≠0时,sin A=2sin B,即a=2b.∵cos C==,∴b2=1,即b=1,∴a=2,则a+b=3.综上,a+b=3.‎ 答案:3‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若c=,角B的平分线BD=,求a.‎ 解:(1)2acos C-c=2b⇒2sin Acos C-sin C=2sin B⇒2sin Acos C-sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C,‎ ‎∴-sin C=2cos Asin C,‎ ‎∵sin C≠0,∴cos A=-,‎ 又A∈(0,π),∴A=.‎ ‎(2)在△ABD中,由正弦定理得,=,‎ ‎∴sin∠ADB==.‎ 又∠ADB∈(0,π),A=,‎ ‎∴∠ADB=,∴∠ABC=,∠ACB=,b=c=,‎ 由余弦定理,得a2=c2+b2-2c·b·cos A=()2+()2-2××cos=6,∴a=.‎
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