数学理卷·2018届黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学高三上学期期中考试（2017

红兴隆管理局第一高级中学 ‎2017－2018学年度高三第一学期期中考试 数学试卷（理科）‎ ‎ 注：卷面分值150分； 时间：120分钟。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}‎ ‎2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎3.已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（）‎ ‎(A)pq (B) p q (C)(p) ( q) (D)p (q)‎ ‎4．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则‎3a5+a7=（　　）‎ A．10 B．‎18 ‎C．20 D．28‎ ‎5．如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ ‎ A．34 B．‎16 ‎C．48 D．24‎ ‎6.已知，，则（）‎ A.　 　 B. C.　 D. ‎ ‎7. 函数的部分 图象如图所示，则 A. ‎　　 B. C. D.‎ ‎8.已知直线与平面满足 则下列命题一定正确的是（）‎ ‎ A. B.C. D.‎ ‎9. 已知实数满足， 仅在处取得最大值，则的取值范围是（）‎ A. 　　 B. C. 　 D. ‎ ‎10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎11.等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：‎ ‎①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=‎2f（x）③|f（x）|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13已知等比数列{an}中，a3+a5=8，a‎1a5=4，则=　　．‎ ‎14．设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为　．‎ ‎15．．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是____．‎ ‎16. ．已知则的最小值是___________;‎ 三、解答题（本题共5个小题，满分40分。请写出必要的解答过程）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎1）若点在角的终边上，求的值；‎ ‎（2）若，求的最值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱ADF-BCE中，AB=BC=BE=2，CE=‎ ‎ (1)求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎ (2)若EB=4EK，求直线AK与平面BDF所成角的正 ‎19.已知数列的前项和,数列满足 ‎（1）求证：数列是等差数列 ‎（2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中，，，平面，，，为中点.‎ ‎（1）证明：平面 ‎（2）若二面角的余弦值为，‎ 求的长.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)若在处取得极值，求的值；‎ ‎(2)讨论的单调性；‎ ‎(3)证明：为自然对数的底数）.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.‎ 在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 已知函数，不等式对恒成立.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)记的最大值为，若正实数满足，求证：.‎ ‎2017-2018学年上学期期中考试理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}‎ ‎【解答】解：由B={x|x＜1}，‎ 得到CRB={x|x≥1}，‎ 又集合A={x|﹣1≤x≤2}，‎ 则A∩（CRB）={x|1≤x≤2}．‎ 故选：D．‎ ‎2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎【解答】解：由，得z=i（1﹣i）=1+i．‎ 故选：B．‎ ‎3.已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（ B ）‎ ‎(A)pq (B) p q (C)(p) ( q) (D)p (q)‎ ‎4．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则‎3a5+a7=（　　）‎ A．10 B．‎18 ‎C．20 D．28‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质得：‎ ‎3a‎5+a7=‎2a5+（a5+a7）=‎2a5+（‎2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，‎ 故选C．‎ ‎5．如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．34 B．‎16 ‎C．48 D．24‎ ‎【解答】解：由图几何体是一个高为4，底面是一个长为6，宽为2的矩形的四棱锥，‎ 故其体积为×4×2×6=16‎ 故选B ‎6.已知，，则 A.　 　 B. C.　 D. ‎ ‎【试题解析】B 由可知，则. 故选B.‎ ‎7. 函数的部分图象如图所示，则 A. 　　 B. C. D. ‎ ‎【试题解析】B　由题意可知，进而，从而. 故选B.‎ ‎8.已知直线与平面满足则下列命题一定正确的是（ A ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9. 已知实数满足， 仅在处取得最大值，则的取值范围是 A. 　　 B. C. 　 D. ‎ ‎【试题解析】B　可行域如图所示，目标函数可化为，若目标函数仅在处取最大值，则，即. 故选B. ‎ ‎10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．‎ 即y=3sin（2x﹣）．‎ 当函数递增时，由，得．‎ 取k=0，得．‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．‎ 故选：B．‎ ‎11.等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:，故选D．‎ ‎12．．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：‎ ‎①f（﹣x）=﹣f（x）；‎ ‎②f（）=2f（x）‎ ‎③|f（x）|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），‎ ‎∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；‎ f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=‎2f（x），故②正确；‎ 当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））‎ ‎∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，‎ 又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；‎ 故正确的命题有①②③，‎ 故选：A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13已知等比数列{an}中，a3+a5=8，a‎1a5=4，则=　9　．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可得a‎1a5=a32=4，‎ 解得a3=2，或a3=﹣2，‎ 当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3‎ 当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）‎ ‎∴=q4=32=9‎ 故答案为：9‎ ‎14． 设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为　﹣5　．‎ ‎【解答】解：∵数f（x）=，f（f（1））=2，‎ ‎∴f（1）=2e1﹣1=2，‎ ‎∴f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，‎ ‎∴4﹣a=9，解得a=﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎15．．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是____．丙 ‎16. ．已知则的最小值是___________;‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ 当且仅当时成立，所以的最小值是16.‎ 三、解答题（本题共5个小题，满分40分。请写出必要的解答过程）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数 ‎1）若点在角的终边上，求的值；‎ ‎（2）若，求的最值.‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱ADF-BCE中，AB=BC=BE=2，CE=‎ ‎ (1)求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎ (2)若EB=4EK，求直线AK与平面BDF所成角的正弦值.‎ ‎19.已知数列的前项和,数列满足 ‎（1）求证：数列是等差数列 ‎（2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在四棱锥中，，，平面，，，为中点.‎ ‎（1）证明：平面 ‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求的长.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ ‎【试题解析】解：取的中点为，连结 ‎(1) 是的中点，‎ ‎ ‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 又 平面，平面 所以平面 (6分)‎ ‎(2)以为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 ‎，‎ ‎，由题意可求得：‎ ‎.‎ 设为平面的法向量，为平面的法向量，则有：‎ ‎，所以 ‎，所以 二面角的余弦值为，‎ 化简得，所以，即 (12分)‎ ‎21.已知函数 ‎(1)若在处取得极值，求的值； ‎ ‎(2)讨论的单调性； ‎ ‎(3)证明：为自然对数的底数）.‎ 解：（1）是的一个极值点，则 ‎ ，验证知=0符合条件…………………….（2分）‎ ‎ （2）‎ ‎ 1）若=0时，‎ ‎ 单调递增，在单调递减；‎ ‎ 2）若 ‎ 上单调递减…………………………………（4分）‎ ‎ 3）若 ‎ ‎ ‎ 再令 ‎ ‎ ‎ 在-------（6分）‎ ‎ 综上所述，若上单调递减，‎ 若 ‎ 。‎ 若（7分）‎ ‎(3)由（2）知，当 当 ‎22（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.‎ 在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 已知函数，不等式对恒成立.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.‎ 1. ‎(本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，，因此曲线的直角坐标方程为 点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为 为参数. (5分)‎ ‎(2) 将为参数代入，有，‎ 设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)‎ 1. ‎(本小题满分10分)‎ ‎【试题解析】(1)，所以. (5分)‎ ‎(2)由(1)知所以 因为，所以，又因为，所以 （当且仅当时取“”）. ‎