高三数学（理数）总复习练习专题二十四 不等式选讲
1．(2015·山东，5，易)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1，4) D．(1，5)
【答案】 A 由|x－1|－|x－5|<2
⇒
或
或
⇒x<1或1≤x<4或∅⇒x<4.故选A.
2．(2015·浙江，14，难)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．
【解析】 由图知当x2＋y2≤1时，6－x－3y>0，即|6－x－3y|＝6－x－3y.
如图，直线2x＋y－2＝0将圆x2＋y2＝1分成了两部分：
①在阴影区域内的(x，y)满足2x＋y－2≥0，
即|2x＋y－2|＝2x＋y－2.
此时|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝(2x＋y－2)＋(6－x－3y)＝x－2y＋4，
利用线性规划可知在点A处取得最小值3.
②在阴影区域外的(x，y)满足2x＋y－2≤0，
即|2x＋y－2|＝－(2x＋y－2)，
此时|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝－(2x＋y－2)＋(6－x－3y)＝8－3x－4y，
利用线性规划可知在点A处取得最小值3.
综上，当x＝，y＝时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值为3.
【答案】 3
3．(2015·江苏，21D，10分，中)解不等式x＋|2x＋3|≥2.
解：原不等式可化为
或
解得x≤－5或x≥－.
综上，原不等式的解集是
.
4.(2015·课标Ⅰ，24，10分)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，即x＞4，无解；
当－1
0，解得0，解得1≤x<2.
综上，f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，
f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
1．(2014·安徽，9，中)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
【答案】 D ①当a＝2时，f(x)＝3|x＋1|≥0，显然不成立．
②当a<2时，－1<－，
f(x)＝
③当a>2时，－1>－，
f(x)＝
在②③两种情况下， f (x) min＝ f ＝
＝3，解得a＝－4或8.
2．(2014·广东，9，易)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
【解析】 当x≤－2时，不等式等价于－2x－1≥5，解得x≤－3；
当－21时，不等式等价于2x＋1≥5，解得x≥2.
综上，不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
【答案】 (－∞，－3]∪[2，＋∞)
3．(2014·湖南，13，中)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________．
【解析】 ∵|ax－2|<3，∴－10时，－0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
解：(1)证明：由a>0，得f(x)＝＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2，所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，
由f(3)<5得30时，－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f ＝|2x＋1|－2|x＋1|，
则h(x)＝
所以当x≤－1时，h(x)＝1；
当－10，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．
(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)零点分区间法
零点分区间法的一般步骤
①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
(2013·辽宁，24，10分)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
【解析】 (1)当a＝2时，
f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当21，所以|4x－2a|≤2，
解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得a＝3.
【点拨】 解(1)时将不等式转化为f(x)＋|x－4|≥4后，注意分类讨论；解(2)的关键是构造辅助函数h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)进行求解．
含绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
(2012·课标全国，24，10分)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，
f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当25；
当－2≤x<时，y＝－x＋3>；
当x≥时，y＝3x＋1≥；
故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.
∵不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，∴≥a2＋a＋2.
解得－1≤a≤，故a的取值范围为.
【答案】 (1)C (2)
求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法
求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：
第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．
综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
2．(2014·湖南长沙模拟，13)不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是________．
【解析】 依题意，不等式|x－1|<4－|x＋2|等价于
或
或
解得－0，
则有
或或
解得x<－2或x>3.
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
(2)由对数函数的性质知，
f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥1＝log22，
∴不等式f(x)≥1等价于不等式|x＋1|＋|x－2|≥2＋m.
∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，而不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，
∴m＋2≤3，故m的取值范围是(－∞，1]．
7．(2015·河北石家庄模拟，24，10分)设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<－1；
(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|
＝
故由不等式f(x)<－1可得x>3或
解得x>.
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，
即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．
故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，
求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．
8．(2015·吉林长春模拟，24，10分)已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)∵
≥＝＝4，
∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，
即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|小于等于的最小值．
由(1)可知，的最小值为4，
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．
解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2，2]．
1．(2015·课标Ⅱ，24，10分，中)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd
＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
2．(2015·湖南，16Ⅲ，6分，中)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0得00，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
(2)(2015·江苏苏州质检，21D，10分)已知函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，求证：|f(x)|≤.
证明：(1)因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，所以(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy，当且仅当x＝y＝1时，“＝”成立．
(2)因为－1≤x≤1，
所以0＜|x|≤1，0＜x2≤1.
又因为|a|≤1，
所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|
≤|a(x2－1)|＋|x|
≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|
＝－＋≤.
考向2 利用基本不等式、柯西不等式求最值
(1)(2013·湖南，10)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
(2)(2014·课标Ⅰ，24，10分)若a>0，b>0，且＋＝.
①求a3＋b3的最小值；
②是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
【解析】 (1)由柯西不等式(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2得3(a2＋4b2＋9c2)≥36，所以a2＋4b2＋9c2≥12，当且仅当a＝2b＝3c＝2时，a2＋4b2＋9c2取得最小值12.
(2)①由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
②不存在a，b，使得2a＋3b＝6.理由如下：
由①知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法
(1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．
(2)在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．
(2015·福建厦门一模，21(3)，7分)已知函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝m－2|x－11|，若2f(x)≥g(x＋4)恒成立，实数m的最大值为t.
(1)求实数m的最大值t；
(2)已知实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值为，求a的值．
解：(1)由题意可得g(x＋4)＝m－2|x＋4－11|＝m－2|x－7|，
若2f(x)≥g(x＋4)恒成立，
则2|x＋3|≥m－2|x－7|，
即m≤2(|x＋3|＋|x－7|)．
而由绝对值三角不等式可得2(|x＋3|＋|x－7|)≥2|(x＋3)－(x－7)|＝20，
∴m≤20，故m的最大值t＝20.
(2)实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，由柯西不等式可得
·
≥
即a×1≥(x＋y＋z)2，∴x＋y＋z≤.
又∵x＋y＋z的最大值是＝1，
∴＝1，∴a＝1.
1．(2015·陕西渭南模拟，15(A))已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是________．
【解析】 由柯西不等式得
(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
【答案】
2．(2015·江苏南京模拟，21D，10分)已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.
证明：因为x，y，z都是为正数，
所以＋＝≥，
同理，可得
＋≥，＋≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得＋＋≥＋＋.
3．(2015·辽宁锦州一模，24，10分)(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)由柯西不等式，得
[42＋()2＋22]·
≥
＝(x＋y＋z)2，
即25×1≥(x＋y＋z)2.
∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.
∴x＋y＋z的取值范围是[－5，5]．
4．(2015·黑龙江大庆二模，24，10分)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.
解：(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.
∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，
∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意．
若m≥1，①当x<0时，得x≥，≤x<0；
②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；
③当x>1时，得x≤，1n，
∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.
∵<，
∴an<＋＋＋…＋
＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.
综上得
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