重庆市云阳江口中学校2020届高三下学期第一次月考数学（文）试题

重庆市云阳江口中学校2020届高三下学期第一次月考数学（文）试题

重庆市云阳江口中学校·高2020级高三下期第1次月考试卷 数学（文）‎ 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ 1．已知集合,, 则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ 2．已知，是虚数单位，若，，则为（ ）‎ A．或 B． C． D．不存在的实数 ‎ 3．在等差数列中，若，，则等于（ ）‎ A．9 B．7 C．6 D．5‎ ‎ 4．下列关于向量a，b的叙述中，错误的是（ ）‎ A．若a‎2‎‎+b‎2‎=0‎，则a‎=b=‎‎0‎ B．若，ka=0‎，所以或a‎=‎‎0‎ C．若a‎⋅b=0‎，则a‎=‎‎0‎或b‎=‎‎0‎ D．若a，b都是单位向量，则a‎⋅b≤1‎恒成立 ‎ 5．我国数学家邹元治利用下图证明了勾股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ ‎ 7．已知是斐波那契数列，则，（且），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前项的算法，则（ ）‎ A．10 B．18‎ C．20 D．22‎ ‎ 8．如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中，P，E，F分别是，，AC的中点.则四棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 9．函数f(x)=(‎2‎‎1+‎ex-1)⋅sinx的图象的大致形状为（ ）‎ A B C D ‎ ‎ ‎10．已知点A(0,0)‎,B(2,0)‎.若椭圆W:  x‎2‎‎2‎+y‎2‎m=1‎上存在点C,使得‎△ABC为等边三角形,则椭圆W的离心率是（ ）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎2‎‎2‎ C．‎6‎‎3‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎11．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；‎ ‎③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.‎ 其中正确的判断是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎12．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。‎ ‎13．已知，则__________.‎ ‎14．设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则__________．‎ ‎15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是以，为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是______．‎ ‎16．在中，角的对边分别为，为的重心，若CG‎⋅AB=‎1‎‎3‎(c‎2‎-bc)‎且，则面积的最大值为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必做题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（本小题12分）‎ 已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1＝b1＝1，a2＝b2，2a3－b3＝1．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 三棱锥中，平面分别是的中点，是线段上的任意一点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量。2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队．‎ ‎（1）应从大三抽取多少个团队？‎ ‎（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试，甲、乙两组的分数如下：‎ 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142‎ 乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140‎ 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.‎ ‎（i）从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？（分别从两组数据的平均数或方差看）‎ ‎（ii）从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记得到的四边形的面积为，求的最大值．‎ ‎21．（本小题12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题10分）[选修4-4]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与交于点，求线段的长．‎ ‎23．（本小题10分）[选修4-5]‎ 已知，函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．‎ 重庆市云阳江口中学校·高2020级高三上第一次月考测试卷 数　学（文）·答案 ‎1—5 DABCB 6—10 AC C AC 11—12CB ‎13． 14．10 15 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．【详解】‎ ‎(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 由已知可得,解得.‎ 从而an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.‎ ‎(2)①当an＝bn＝1时，cn＝1，所以Sn＝n；‎ ‎②当an＝2n－1，bn＝3n－1时，cn＝(2n－1)×3n－1，‎ Sn＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1，‎ ‎3Sn＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n，‎ 从而有(1－3)Sn＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n ‎＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n ‎＝1＋2×－(2n－1)×3n ‎＝－2(n－1)×3n－2，‎ 故Sn＝(n－1)×3n＋1.‎ 综合①②，得Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.‎ ‎18．解：（1）因为分别是的中点，所以，‎ 因为，平面，所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（2）依题意，，故，‎ 故，记点到平面的距离为，‎ 因为，故，解得.‎ ‎19．试题解析：‎ ‎（1）由题知，大三团队个数占总团队数的，‎ 则用分层抽样的方法，应从大三中抽取个团队.‎ ‎（2）（i）甲组数据的平均数，乙组数据的平均数，‎ 甲组数据的方差，乙组数据的方差，‎ 选甲队理由：甲、乙两队平均数相差不大，且，甲组成绩波动小.‎ 选乙队理由：，且乙队中不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大.‎ ‎（ii）不低于140分的团队共5个，其中140分的团队有3个，分别为，，，144分的团队有2个，分别为，，‎ 则任取两个的情况有，，，，，，，，，，共10个，其中两个团队都是140分的情况有，，，共3个.‎ 故所求概率.‎ ‎20．【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵点是线段的垂直平分线上的点，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，‎ 其中，，∴，，.‎ 因此，点的轨迹方程是.‎ ‎（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，代入椭圆方程可得：‎ ‎，‎ 设，，则 即，代入椭圆方程可得：，‎ 设，到直线的距离分别为和，则 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎,‎ 当，即时取“”‎ 的最大值.‎ ‎21．【答案】‎ ‎(1) .‎ ‎(Ⅱ）证明：设.‎ 求导，得.‎ 设，则（其中）.‎ 所以当时，（即）为增函数.‎ 又因为，‎ 所以，存在唯一的，使得 且与在区间上的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，即的图象在图象的下方.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22． 【答案】（1），；（2）‎ ‎（2）由（1）得圆的圆心为，半径为，利用圆的弦长公式，即可求解．‎ 详解：（1） ， ． ‎ ‎（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为．‎ 所以．‎ ‎23．【详解】（1）当时,,所以.‎ ‎①若,则变为,或,所以；‎ ‎②若,则变为,,所以,‎ 由①②可得,的解集为.‎ ‎（2）,即其中.‎ 令,其中,对于任意的且,‎ 则,‎ 由于,所以,,,所以,‎ 所以,故,‎ 所以函数在区间上是增函数,‎ 所以,即,故.‎