高考复习不等式

高考复习不等式

‎2017高考复习---不等式 ‎1．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是　　．‎ ‎2．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　　．‎ ‎3．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　　．‎ ‎4．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　　．‎ ‎5．若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是　　．‎ ‎6．当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎7．若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为　　．‎ ‎8．若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=　　．‎ ‎9．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是　　．‎ ‎10．若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是　　．‎ ‎11．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是　　．‎ ‎12．已知a＞0，b＞0，且满足a+b=3，则的最小值为　　．‎ ‎13．设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．已知变量x，y满足，则的取值范围是　　．‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是　　．‎ ‎16．已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=　　．‎ ‎17．已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是　　．‎ ‎18．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于　　．‎ ‎19．若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎20．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为　　．‎ ‎21．已知t＞0，则函数的最小值为　　．‎ ‎22．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎23．已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎24．已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为　　．‎ ‎25．若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为　　．‎ ‎26．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是　　．‎ ‎　‎ ‎2017高考复习---不等式 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．填空题（共26小题）‎ ‎1．（2016•河北区二模）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是　　．‎ ‎【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．‎ ‎【解答】解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，‎ 所以==．‎ 因为 所以．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．‎ ‎　‎ ‎2．（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　　．‎ ‎【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：∵4x2+y2+xy=1‎ ‎∴（2x+y）2﹣3xy=1‎ 令t=2x+y则y=t﹣2x ‎∴t2﹣3（t﹣2x）x=1‎ 即6x2﹣3tx+t2﹣1=0‎ ‎∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0‎ 解得 ‎∴2x+y的最大值是 ‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．‎ ‎　‎ ‎3．（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　9　．‎ ‎【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），‎ ‎∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=‎ 不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），‎ 即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），‎ 则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6‎ ‎∴|m+6﹣m|==6‎ 解得c=9‎ 故答案为：9‎ ‎【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•徐汇区一模）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　16　．‎ ‎【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵=1，x、y∈R+，‎ ‎∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（2011•浙江）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是　　．‎ ‎【分析】利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．‎ ‎【解答】解：∵x2+y2+xy=1‎ ‎∴（x+y）2=1+xy ‎∵xy≤‎ ‎∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤‎ ‎∴x+y的最大值是 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•浙江）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　[]　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由约束条件作可行域如图，‎ 联立，解得C（1，）．‎ 联立，解得B（2，1）．‎ 在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．‎ 要使1≤ax+y≤4恒成立，‎ 则，解得：1．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ 解法二：令z=ax+y，‎ 当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，‎ 可得，即1≤a≤；‎ 当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，‎ ‎①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）‎ ‎②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）‎ 综上所述即：1≤a≤；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为　﹣6　．‎ ‎【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．‎ ‎【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，‎ 得到的图形是一个平行四边形，‎ 目标函数z=x+2y，‎ 变化为y=﹣x+，‎ 当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，‎ 当直线过A点时，z取到最小值，‎ 由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）‎ ‎∴z=4+2（﹣5）=﹣6‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•福建模拟）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=　﹣1　．‎ ‎【分析】不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b可得．‎ ‎【解答】解：由题意不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，‎ ‎∴3+2=a，3×2=﹣b ‎∴a=5，b=﹣6‎ ‎∴a+b=5﹣6=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．‎ ‎　‎ ‎9．（2010•山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是　a≥　．‎ ‎【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，‎ ‎∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），‎ ‎∴=≤=，即的最大值为，‎ 故答案为：a≥‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•南昌模拟）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是　（﹣∞，﹣2）∪（0，]　．‎ ‎【分析】画出平面区域，直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，可行域是三角形，直线过（0，2）和（﹣2，0），结合图形，求出k的范围．‎ ‎【解答】解：直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，‎ 根据约束条件画出可行域如图：‎ 平面区域是一个三角形，‎ 就是图中阴影部分，‎ 所以 k∈（﹣∞，﹣2）∪（0，]‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，]．‎ ‎【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查作图能力，逻辑思维能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•福建模拟）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是　5　．‎ ‎【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0‎ ‎∴‎ ‎∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5‎ 当且仅当即x=2y=1时取等号 故答案为：5‎ ‎【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑 ‎　‎ ‎12．（2016•雅安模拟）已知a＞0，b＞0，且满足a+b=3，则的最小值为　3　．‎ ‎【分析】把化为 +++，利用基本不等式求出它的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足a+b=3，‎ 则=+=+=+++≥+2=3，‎ 当且仅当=时，等号成立．‎ 故的最小值为3，‎ 故答案为 3．‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（2014•浙江）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是　（﹣∞，]　．‎ ‎【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：‎ 由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2．‎ 当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；‎ 当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，‎ 则实数a的取值范围是a≤，‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•杭州模拟）已知变量x，y满足，则的取值范围是　[，]　．‎ ‎【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．‎ ‎【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），‎ 变形目标函数可得==1+，‎ 表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，‎ 由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；‎ 当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；‎ 故答案为：[，]‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•南京校级四模）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是　4　．‎ ‎【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，化简为函数求最值．‎ ‎【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）‎ 整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0‎ 即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，‎ 所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）‎ 则x+2y的最小值是 4‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•怀化二模）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=　﹣6　．‎ ‎【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．‎ ‎【解答】解：画出可行域 将z=x+3y变形为y=，‎ 画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，‎ 联立方程得，‎ 代入，∴k=﹣6．‎ 故答案为﹣6‎ ‎【点评】本题考查画不等式组的可行域；利用可行域求出目标函数的最值．‎ ‎　‎ ‎17．（2016•河北区一模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是　4　．‎ ‎【分析】依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴xy≤，又x+y=xy，‎ ‎∴x+y≤，‎ ‎∴（x+y）2≥4（x+y），‎ ‎∴x+y≥4．‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（2016•浙江模拟）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于　﹣4　．‎ ‎【分析】把k看作参数，将参数分离成k≥，再利用基本不等式求的最大值．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，‎ 由++≥0，得k≥，‎ 只需k≥[]max即可．‎ ‎∵a+b≥，∴．‎ ‎∴k≥﹣4，从而实数k的最小值等于﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点评】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．‎ ‎　‎ ‎19．（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是　（﹣∞，2）　．‎ ‎【分析】根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2‎ ‎∵x∈（1，2）‎ ‎∴k＜=1+x ‎∴y=1+x是一个增函数 ‎∴k＜1+1=2‎ ‎∴实数k取值范围是（﹣∞，2）‎ 故答案为：（﹣∞，2）‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用函数的单调性确定参数的范围．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•青浦区一模）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为　　．‎ ‎【分析】变形利用基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，‎ ‎∴（0＜x＜2）．‎ ‎∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，‎ 当且仅当x=时取等号．‎ ‎∴x+y的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（2010•重庆）已知t＞0，则函数的最小值为　﹣2　．‎ ‎【分析】将函数变为﹣4，用基本不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 当且仅当t=1时等号成立，‎ 故ymin=﹣2．‎ ‎【点评】考查灵活变形的能力及基本不等式．‎ ‎　‎ ‎22．（2009•天津）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【分析】由关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵不等式等价于（﹣a+4）x2﹣4x+1＜0，‎ 当a≥4时，显然不满足要求，‎ 故4﹣a＞0且△=4a＞0，故0＜a＜4，‎ 不等式的解集为，‎ 则一定有1，2，3为所求的整数解集．‎ 所以，解得a的范围为，‎ 故答案：．‎ ‎【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4﹣a＞0且△=4a＞0，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（2015•安徽三模）已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣1，+∞）　．‎ ‎【分析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以分离参数将问题转化为：对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．‎ ‎【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，‎ 即：，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，‎ 令，则1≤t≤3，‎ ‎∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，‎ ‎∵‎ ‎∴ymax=﹣1，‎ ‎∴a≥﹣1‎ ‎ 故答案为：[﹣1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．‎ ‎　‎ ‎24．（2010•山东）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为　3　．‎ ‎【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．‎ ‎【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），‎ 于是，，xy≤3．‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．‎ ‎　‎ ‎25．（2012•江苏模拟）若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为　　．‎ ‎【分析】构造变量m的函数，对x2﹣1＞0，x2﹣1＜0，x2﹣1=0，进行分类讨论，利用|m|≤‎ ‎2时函数的取值，分别求出x的范围，然后求并集即可．‎ ‎【解答】解：构造变量m的函数求解：2x﹣1＞m（x2﹣1）即：（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0‎ 构造关于m的函数f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1），|m|≤2即﹣2≤m≤2．‎ ‎1）当x2﹣1＞0时，则f（2）＜0 从而 2x2﹣2x﹣1＜0 解得：‎ 又x2﹣1＞0，即x＜﹣1 或 x＞1，所以 1＜x＜；‎ ‎2）当x2﹣1＜0时，则f（﹣2）＜0 可得﹣2x2﹣2x+3＜0 从而 2x2+2x﹣3＞0‎ 解得 x＜或x＞又﹣1＜x＜1，从而＜x＜1‎ ‎3）当x2﹣1=0时，则f（m）=1﹣2x＜0 从而x＞，故x=1；‎ 综上有：＜x＜‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式与二次函数，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎26．（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是　3　．‎ ‎【分析】由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵x﹣2y+3z=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，当且仅当x=3z时取“=”．‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．‎ ‎　‎