数学理卷·2018届广东省佛山市高三下学期教学质量检测(二)(2018

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数学理卷·2018届广东省佛山市高三下学期教学质量检测(二)(2018

‎2017 ~2018 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)‎ 数 学( ( 理科) )‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集,若,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数为虚数单位)的共轭复数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知等差数列的前项为且,则( )‎ A.90 B.100 C.110 D.120‎ ‎5. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线的方程为,相关系数为.现给出以下3个结论:‎ ‎①; ②直线恰好过点; ③;其中正确结论是( )‎ ‎ ‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎6.函数的最小正周期和振幅分别是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为( )‎ ‎ ‎ A.-2 B.-1 C. D. ‎ ‎9.已知,设满足约束条件,且的最小值为-4,则( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.已知分别为双曲线 的左、右焦点以及右支上的动点,若恒成立,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎11.如图,正方形的棱长为 4 ,点分别在底面、棱上运动,且,点为线段运动时,则线段的长度的最小值为( )‎ ‎ ‎ A.2 B. C.6 D.‎ ‎12.已知函数,曲线关于直线对称,现给出如结论:‎ ‎①若,则存在,使;‎ ‎②若,则不等式的解集为;‎ ‎③若,且是曲线 的一条切线,则 的取值范围是.‎ 其中正确结论的个数为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 已知均为单位向量,且它们的夹角为120°,则 .‎ ‎14.的展开式中的常数项是 .‎ ‎15.若抛物线的焦点在直线上,则直线截抛物线的弦长为 .‎ ‎16.若使得成立的最小整数,则使得成立的最小整数 ‎ .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 如图 ,在平面四边形中,.‎ ‎(Ⅰ)若,求的面积;‎ ‎(Ⅱ)若,求.‎ ‎ ‎ ‎18. 如图,在多面体中,平面,直线与平面所成的角为30°,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎19. 单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测.已知随机一人血检呈阳性的概率为 1% ,且每个人血检是否呈阳性相互独立.‎ ‎(Ⅰ) 根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验;若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验.‎ 现有两个分组方案:‎ 方案一: 将 55 人分成 11 组,每组 5 人;‎ 方案二:将 55 人分成5组,每组 11 人;‎ 试分析哪一个方案工作量更少?‎ ‎(Ⅱ) 若该疾病的患病率为 0.4% ,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99% ,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据:)‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点为.过作直线交椭圆于,过作直线交椭圆于,且垂直于点.‎ ‎(Ⅰ)证明:点在椭圆内部;‎ ‎(Ⅱ)求四边形面积的最小值.‎ ‎21. 已知,函数.‎ ‎(Ⅰ)若有极小值且极小值为0,求的值;‎ ‎(Ⅱ)当时,, 求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,.以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线上一点的极坐标为,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点在上,点在上(异于极点),若四点依次在同一条直线上,且成等比数列,求 的极坐标方程.‎ ‎ ‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017~2018 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)‎ 数 学 ( 理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCDAA 6-10: BDBCC 11、12:BD 二、填空题 ‎13. 14.240 15. 40 16.18‎ 三、解答题 ‎17.解析(Ⅰ)在中,由余弦定理得,,‎ 即,解得或(舍去),‎ 所以的面积.‎ ‎(Ⅱ)设,在中,由正弦定理得,,‎ 即,所以.‎ 在中,,则,‎ 即,即,整理得.‎ 联立,解得,即.‎ ‎ ‎ ‎18.【解析】(Ⅰ)连接,取的中点为,连接.‎ 因为平面平面,所以,‎ 又,所以平面,‎ 则为直线与平面所成的角,即.‎ 所以,‎ 所以是等腰直角三角形,则,‎ 又平面,所以,所以平面.‎ 又分别是的中点,所以又,所以,‎ 故四边形是平行四边形,所以,‎ 所以平面,又平面,所以平面平面.‎ ‎(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,不妨设,‎ 则,‎ 所以.‎ 设平面 的法向量为,则,即,解得,‎ 令,得;‎ 设平面的法向量为,则,即,解得,‎ 令,得;‎ 所以,‎ 所以二面角的大小为60°.‎ ‎19.【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为,则的取值为1,6.‎ 所以,‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎6‎ ‎0.951‎ ‎0.049‎ 所以.‎ 故方案一的化验总次数的期望为:次.‎ 设方案二中每组的化验次数为,则的取值为1,12,‎ 所以,‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎12‎ ‎0.895‎ ‎0.105‎ 所以.‎ 故方案二的化验总次数的期望为:次.‎ 因,所以方案二工作量更少.‎ 方法 2:也可设方案一中每个人的化验次数为 ,则 的取值为.‎ 方案二中每个人的化验次数为 ,则的取值为.‎ 同方法一可计算得,因,所以方案二工作量更少.‎ ‎(Ⅱ)设事件:血检呈阳性;事件:患疾病.‎ 则由题意有,‎ 由条件概率公式,得,‎ 故, 所以血检呈阳性的人确实患病的概率为 39.6%.‎ ‎20.【解析】(Ⅰ)由题意得,故,所以椭圆方程为.‎ 由于分别为过两焦点, 且垂直相交于点,则的轨迹为以为直径的圆,‎ 即的轨迹方程为,‎ 又因为,所以点在椭圆内部.‎ ‎(Ⅱ)①当斜率不存在时,直线的方程为, 此时直线的方程为,‎ 此时四边形的面积为.‎ 同时当斜率为0时,此时的斜率不存在,易得.‎ ‎②当斜率存在且不为0时,设直线方程为,直线方程为,‎ 设,联立,消去整理得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 同理得 则 令,则 即当,即时,‎ 综合上式①②可得,当时,.‎ 求最值的其它方法:,令,得,‎ 因为,当时,,且是以为自变量的增函数,所以.‎ 综上可知,. 即四边形面积的最小值为.‎ 方法二:①当斜率为0,此时直线轴,此时四边形的面积为.‎ 同时当斜率为0时,此时轴,易得.‎ ‎②当斜率存在且不为0时,设直线方程为,直线方程为,‎ 设,联立,消去整理得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 同理得 则 下同解法一.‎ ‎21.【解析】(Ⅰ).‎ ‎①若,则由解得,‎ 当时,递减;当上,递增;‎ 故当时,取极小值,令,得(舍去).‎ ② 若,则由,解得.‎ ‎(i)若,即时,当,.递增;当上,递增.‎ 故当时,取极小值,令,得(舍去)‎ ‎(ii)若,即时,递增不存在极值;‎ ‎(iii)若,即时,当上,递增;,上,递减;当上,递增.‎ 故当时,取极小值,得满足条件.‎ 故当 有极小值且极小值为0时,‎ ‎(Ⅱ)等价于,即 当时,①式恒成立;当时,,故当时,①式恒成立;‎ 以下求当时,不等式恒成立,且当时不等式 恒成立时正数的取值范围.‎ 令,以下求当恒成立,且当,‎ 恒成立时正数的取值范围.‎ 对求导,得,记.‎ ‎(i)当时,,‎ 故在上递增,又,故,‎ 即当时,式恒成立;‎ ‎(ii)当时,,故的两个零点即的两个零点和,在区间上,是减函数,‎ 又,所以,当时①式不能恒成立.‎ 综上所述,所求的取值范围是.‎ ‎22.【解析】(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,化简得,‎ 又,所以 代入点得,解得或(舍去).‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ) 由题意知,设直线的极坐标方程为,设点,‎ 则.‎ 联立得,,所以.‎ 联立得,.‎ 因为成等比数列,所以,即.‎ 所以,解得.‎ 经检验满足四点依次在同一条直线上,所以的极坐标方程为.‎ ‎23.【解析】(Ⅰ)当时,不等式为.‎ 若,则,解得或,结合得或.‎ 若,则,不等式恒成立,结合得.‎ 综上所述,不等式解集为.‎ ‎(Ⅱ)‎ 则的图象与直线所围成的四边形为梯形,‎ 令,得,令,得,‎ 则梯形上底为, 下底为 11,高为.‎ ‎.‎ 化简得,解得,结合,得的取值范围为.‎ ‎ ‎
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