二元一次方程组的应用(第二课时)教案

二元一次方程组的应用(第二课时)教案

‎ ‎ 第二课时　二元一次方程组的应用(二)‎ 教学目标 ‎1．学会利用二元一次方程组解决简单的实际问题，会归纳列方程组解决实际问题的一般步骤．‎ ‎2．通过解决实际问题的教学，掌握使用方程去反映现实世界中的等量关系的方法与思想，体会代数方法的优越性，再次感受二元一次方程组与现实生活的联系和作用．‎ 教学重难点 以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题是重点，根据题意找出等量关系是难点．‎ 教学过程 导入新课 导入方式一：‎ 前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．‎ ‎(说明：开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题．)‎ 导入方式二：‎ 出示问题：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18～20 kg，每只小牛1天约需饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？‎ ‎(说明：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．)‎ 推进新课 一、探索新知 活动 ‎1．探索分析，解决问题 学生思考、讨论．‎ 判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：‎ ‎(1)先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．‎ ‎(2)根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．‎ 学生在比较探究后发现用方法(2)较简便．‎ ‎(说明：引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法(1)主要是估算的运用，而方法(2)是方程思想的应用．)‎ 设问1.如果选择方法(2)，如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量？‎ ‎(有前面几节的知识准备，学生可以回答)‎ 列方程组求解．‎ 主要思路：‎ 学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．‎ 解：设平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg，‎ 根据题意可列方程组 解这个方程组，‎ 得 ‎(说明：规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯．)‎ 4‎ ‎ ‎ 这就是说，平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料20 kg和5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．‎ ‎(说明：让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答．)‎ 归纳：‎ 活动 ‎2．拓广探索，比较分析 设问2.以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？‎ 个别学生可能会列出如下方程组 但结果一致．‎ ‎(说明：比较分析，加深对方程组的认识．)‎ 活动 ‎3．归纳总结 列二元一次方程组解应用题的步骤可归纳如下：(1)审题，弄清题意和题目中的数量关系；(2)设未知数，用字母(如x，y)表示题目中的两个未知数，可以直接设，也可以间接设；(3)找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系；(4)根据这些相等关系列出需要的代数式，再列出方程并组成方程组；(5)解这个方程组，求出未知数的值；(6)检验方程组的解，看所求得的解是否符合题意，不符合题意的解应该舍去；(7)写出答语(包括单位名称)．‎ 二、应用新知 ‎【例2】 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5.现要把一块长200 m，宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)?‎ ‎1．探索分析，研究策略 如何解决这一实际问题呢？‎ 学生自主探索，合作交流，整理思路：‎ ‎(1)先明确有两种方法可分割长方形，即横向或纵向．‎ ‎(2)确定分割线的位置，也就是确定面积比．‎ ‎(3)面积比与总产量比及单位面积产量比之间有关．‎ ‎(4)选取数学工具求解．‎ ‎……‎ 学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．‎ ‎2．合作交流，解决问题 总结学生的讨论结果：‎ 种植方案一：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和EBCF，设AE＝x m，EB＝y m，长方形土地的长为200 m，所以x＋y＝200.①‎ 4‎ ‎ ‎ 总产量＝面积×单位面积产量．‎ 设甲的单位面积产量为a，因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，所以乙的单位面积产量就是1.5a.‎ 甲种作物的总产量为100xa，乙种作物的总产量为100y×1.5a，根据总产量比值是3∶4可以列出第二个方程(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4.②‎ 将①②两个方程联立就可以得到方程组 将方程②化简，得2x∶3y＝3∶4.‎ 所以8x＝9y.③‎ 由①，得y＝200－x.④‎ 将④代入③，得8x＝9(200－x)．‎ 所以x＝≈106.‎ 把x＝106代入④，得y＝200－106＝94.‎ 所以这种种植方案为：过长方形土地长边上离一端约106 m处，把这块地分为两个长方形，较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物．‎ 你能求出第二种种植方案吗？试试看．‎ ‎(具体过程由学生写出．)‎ 三、拓展提升 学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个．如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．‎ 按以下步骤展开问题的讨论：‎ ‎(1)学生独立思考，选择数学模型．‎ ‎(2)小组讨论达成共识，形成解题思路．‎ ‎(3)学生板书交流．‎ ‎(4)对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果．‎ ‎【引申问题1】 如果用1个盒身和1个盒底做成无盖的纸盒，这20张白卡纸如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套？‎ ‎【引申问题2】 针对这一问题背景，你能提出一个探索性问题吗？‎ ‎(说明：安排开放题，以利于培养学生的探索精神和创新意识．)‎ 本课小结 通过学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们不仅要学会分析阅读材料，从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型，还要了解同一数学问题并非只有一种方案，往往是多元化的，要从不同角度来观察问题、解决问题．‎ 有趣的诗歌算题 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或 4‎ ‎ ‎ 方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥乏味之感，令人耳目一新、回味无穷．下面采撷几例用方程组解的应用题，共同赏析．‎ 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数；‎ 十比个位正小三，个位六倍与寿符；‎ 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？‎ 诗中的“寿”指的是年龄．诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．‎ 解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，‎ 根据题意，得解得 答：这个两位数是36，即周瑜共活了36岁．‎ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数；‎ 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？‎ 这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，问军官和士兵各多少名？‎ 解：设有x名军官，y名士兵，‎ 根据题意，得 解得 答：有200名军官，800名士兵．‎ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨；‎ 一人一个多一个，一人两个少两梨；‎ 请问君子知道否，几个老头几个梨？‎ 这首诗的意思是：若干个人分若干个梨，如果一人分一个，那么还剩余一个梨；如果一人分两个，那么少两个梨，不够分配，问共有多少个人和多少个梨？‎ 解：设有x个老头，y个梨，‎ 根据题意，得解得 答：有3个老头，4个梨．‎ 4‎