新疆阿勒泰地区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷（A卷） Word版含解析

新疆阿勒泰地区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷（A卷） Word版含解析

新疆阿勒泰地区2019-2020学年第二学期期末数学试卷A 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1. 全称命题“，”的否定是 (　　)‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. 以上都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题否定形式为: 改为,并否定结论.‎ ‎【详解】改为,并否定结论,‎ 故“，”的否定是，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本道题目考查了命题的否定, 改为,并否定结论.‎ ‎2. 若实数,且 ,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得 ,故选D.‎ 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.‎ ‎3. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，再根据导数的几何意义可得切点坐标．‎ - 15 -‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，再由导数的几何意义，‎ 令，解得或(舍去)，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，属于基础题．‎ ‎4. 已知函数，则的单调增区间是（ ）‎ A. 和 B. ‎ C. 和 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对于函数，结合二次函数的性质可得其开口方向与对称轴方程，进而可得其单调递增区间，即可得答案．‎ ‎【详解】函数为二次函数，其开口方向向上，‎ 其对称轴为 则的单调递增区间是；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求二次函数的单调区间，解题关键是掌握二次函数图象特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎5. 函数在区间上的最大值是2，则常数（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是，则 - 15 -‎ 值可求．‎ 详解：令，解得：或， 令，解得： ∴在递增，在递减， ， 故答案为2‎ 点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．‎ ‎6. 电路如图所示，在A，B间有四个开关，若发现A，B之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有（ ）‎ A. 3种 B. 8种 C. 13种 D. 16种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据串联与并联电路的特征从反面求解，要使电路是通路，则1，4闭合，2，3中至少有一个闭合，情形只有3种，‎ ‎【详解】解：各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有种可能，其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有（种）.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查计数原理的应用，对于串并联电路的通与不通问题，串联的“通”易求，并联的“不通”易求．‎ ‎7. 已知，则（ ）‎ A. 11 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数的计算公式，化简对应方程，求解，即可得出结果.‎ - 15 -‎ ‎【详解】∵，∴，整理，得，；‎ 解得，或 (不合题意，舍去)；∴的值为12.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查解排列数方程，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎8. 在的展开式中,含项的系数为 A. 30 B. 20‎ C. 15 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解】，‎ 所以含项的系数为15.‎ 故选：C.‎ ‎9. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A. 30种 B. 35种 C. 42种 D. 48种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A中选有种，只在B中选有种，则在两类课程中至少选一门的选法有种.‎ ‎10. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值．‎ ‎【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为 - 15 -‎ ‎，又因为渐近线方程为，即，故，选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．‎ ‎11. 设（），则在上为增函数的充要条件是（ ）‎ A. B. ， C. ， D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在上为增函数，只需恒成立，即满足判别式即可.‎ ‎【详解】，∵，∴，‎ 又∵在上为增函数，∴恒成立，‎ ‎∴，即 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，在上为增函数，只需恒成立，在上为减函数，只需恒成立.‎ ‎12. 已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 15 -‎ ‎【分析】‎ 先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．‎ ‎【详解】由f（x）＝，‎ ‎∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．‎ 又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，‎ 故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 命题“若，则”的逆否命题是______.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用逆否命题求解.‎ ‎【详解】因为命题“若，则”，‎ 所以其逆否命题是“若，则”‎ 故答案为：若，则 ‎【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，属于基础题.‎ ‎14. 定积分的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 15 -‎ ‎【分析】‎ 直接利用定积分运算求解.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算，属于基础题.‎ ‎15. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的离心率公式以及利用求出，即可得到椭圆的方程.‎ ‎【详解】依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，，因此其方程是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了由离心率求椭圆的方程，属于基础题.‎ ‎16. 给出以下数对序列：‎ ‎……‎ 记第i行的第j个数对为，如，则______‎ ‎【答案】（）‎ ‎【解析】‎ - 15 -‎ ‎【分析】‎ 由表中第行有个数对，每个数对中两数的和与行数关系求解．‎ ‎【详解】由表中已知数对归纳：表中第行有个数对，每个数对中两数和为，是第行第个数对，应是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，寻找表中数对与行数、列数的关系是解题关键．‎ 三、解答题，（17题10分，18，19，20，21，22题12分）‎ ‎17. 命题函数是上的单调减函数；命题．若是真命题，是假命题，求常数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是真命题，是假命题，得到一真一假，分两种情况，求出的范围.‎ ‎【详解】解：∵是真命题，是假命题，‎ ‎∴，中一个是真命题，一个是假命题．‎ 若真假，则有解得； ‎ 若假真，则有解得．‎ 综上可知，满足条件的的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假的应用，逻辑连结词的理解与应用，还考查转化与化归思想，分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎18. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？‎ ‎（1）只有1名女生；‎ ‎（2）两队长当选；‎ - 15 -‎ ‎（3）至少有1名队长当选；‎ ‎（4）至多有2名女生当选；‎ ‎【答案】（1）350；（2）165；（3）825；（4）966.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选1名女生，4名男生即可；‎ ‎（2）除队长外11人中再选3人；‎ ‎（3）分类，一类是队长中选1人，另一类是两队长都选进；‎ ‎（4）分三类：选2名女生，1名女生，不选女生．‎ ‎【详解】解：（1）1名女生，4名男生，故共有（种）‎ ‎（2）将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有（种）‎ ‎（3）至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：（种）‎ 或采用间接法：（种）.‎ ‎（4）至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：（种）．‎ ‎【点睛】本题考查组合的应用，解题关键掌握分类讨论思想，对各种可能情形进行正确的分类．‎ ‎19. 设，其中，曲线在点处的切线斜率为2.‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间与极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）单调增区间为和，单调减区间为；极大值，极小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 15 -‎ ‎（1）求出导函数，由可求得；‎ ‎（2）定义域内，由确定增区间，确定减区间，然后可得极值，可列表求解．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 依题意，，得.‎ ‎（2）由（1）知，（），‎ ‎.‎ 令，得或3.‎ x，，的变化情况如下表：‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 故的单调增区间为和，单调减区间为 的极大值，极小值.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数确定函数的单调性、求极值．属于基础．‎ ‎20. 证明：（1）已知a，b，，，求证：‎ ‎（2）已知a，b，，，求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ - 15 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把不等式左边的的分子中的1都用代换，然后由基本不等式得结论；‎ ‎（2）由，然后每个分子应用基本不等式后可证结论．‎ ‎【详解】证明（1）已知a，b，，，求证：‎ ‎（2）已知a，b，，，求证：.‎ ‎①‎ ‎，b，‎ 当时，“”成立.‎ ‎②‎ ‎，b，‎ 当且仅当时等号成立.‎ ‎【点睛】‎ - 15 -‎ 本题考查用基本不等式证明不等式，掌握基本不等式是解题关键．解题技巧是“1”的代换．‎ ‎21. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.‎ ‎（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ ‎（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出的坐标，由向量积的运算易得；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案.‎ ‎【详解】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）依题意有，，，‎ 则，，，所以，，‎ 即⊥，⊥.且,‎ - 15 -‎ 故⊥平面.‎ 又平面，所以平面⊥平面.‎ ‎（II）依题意有，=，=.‎ 设是平面的法向量，则即 因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以,‎ 且由图形可知二面角为钝角 故二面角的余弦值为 考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角 ‎22. 已知椭圆的离心率，焦距是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ - 15 -‎ ‎（2）若直线与椭圆交于、两点，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由离心率可求得的值，由焦距可得值，进而得到值，得到椭圆方程；（2）将直线与椭圆方程联系，整理得的值，利用弦长公式求解的值 试题解析：（1），，又，所以，‎ ‎∴ 椭圆方程为．‎ ‎（2）设，、，，将带入 整理得 所以有 ①‎ 所以 又 代入上式，整理得 即 - 15 -‎ 解得 或即 经验证，，使①成立，故为所求．‎ 考点：1．椭圆方程及性质；2．直线与椭圆相交弦长问题 - 15 -‎