2021届高三入学调研试卷 理科数学(一) Word版含解析

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2021届高三入学调研试卷 理科数学(一) Word版含解析

‎2021届高三入学调研试卷 理 科 数 学(一)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数的实部与虚部分别为,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合,,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.若函数的图象经过抛物线的焦点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知两个单位向量,的夹角为,则下列向量是单位向量的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.的内角,,的对边分别为,,,已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设,满足约束条件,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数,将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为,按从大到小排成的两位数记为(例如,则,),执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知,则曲线在点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀个小灯,另一种是大灯下缀个小灯,大灯共个,小灯共个若在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在正四棱柱中,为侧棱上一点,,,且异面直线与所成角的余弦值为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设是双曲线的右焦点,为坐标原点过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若的内切圆与轴切于点,且,则的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.的展开式中的系数为 .‎ ‎14.已知函数,若,,则 .‎ ‎15.如图,一几何体由一个圆锥与半球组合而成,且圆锥的体积与半球的体积相等,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 .‎ ‎16.已知函数是上的奇函数,函数,若对恒成立,则的取值范围为 .‎ 三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)设为数列的前项和,已知,,其中是不为的常数,且,,成等比数列.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎18.(12分)下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位:罐)的雷达图.‎ ‎(1)分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数,从计算结果看,哪种可乐的销量更好;‎ ‎(2)从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动,中奖率为,中奖可获得元的红包,以雷达图中一周的销量代替每周的销量.‎ ‎①活动期间,一位顾客买了罐百事可乐,他恰好获得元红包的概率;‎ ‎②在这连续三周的活动中,求该超市需要投入红包总金额的数学期望.‎ ‎19.(12分)在直角坐标系中,已知,,且,记动点的轨迹为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与交于,两点,且,求直线的斜率.‎ ‎20.(12分)如图,在四面体中,,平面平面,,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若在上存在最大值,证明:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称.‎ ‎(1)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,,求的最小值.‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知函数,且不等式的解集为.‎ ‎(1)求,;‎ ‎(2)若,证明:.‎ ‎2021届高三入学调研试卷 理 科 数 学(一)答 案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】∵,∴.‎ ‎2.【答案】B ‎【解析】∵,,∴.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】抛物线的焦点坐标为,则,即,‎ 解得.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】由平面向量的减法可得的模为,则是单位向量.‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】∵,∴,∴.‎ ‎6.【答案】A ‎【解析】作出约束条件表示的可行域,如图所示,‎ 当直线过点时,取得最小值;‎ 直线过点时,取得最大值,‎ 故.‎ - 13 -‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】,;,;,,‎ ‎∵为的倍数,∴输出的.‎ ‎8.【答案】C ‎【解析】令,则,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,∴曲线在点处的切线方程为.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎10.【答案】D ‎【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,,‎ 则,解得,‎ 若随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是一大四小的概率为.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,‎ - 13 -‎ 则,,,则,‎ 设,则,‎ 从而,‎ ‎∵,∴.‎ ‎12.【答案】C ‎【解析】∵到渐近线的距离为,∴,‎ 则的内切圆的半径,‎ 设的内切圆与切于点,则,‎ ‎∵,∴,∴,‎ 即,则,∴,‎ ‎∵,∴.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.【答案】‎ - 13 -‎ ‎【解析】的展开式中的系数为.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】∵,∴的图象关于直线对称,‎ 又,且,∴.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】设该圆锥的半径与高分别为,,则,即,‎ 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】由是上的奇函数,得,则,‎ 因为在上单调递减,‎ 所以是上的减函数,作出与的图象,如图所示,‎ 由图可知,即,则.‎ 三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ - 13 -‎ ‎17.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)∵,∴数列是公差为的等差数列,‎ ‎∵,∴,,,‎ ‎∵,,成等比数列,∴,‎ ‎∴,∴或,‎ ‎∵,∴,.‎ ‎(2)∵,∴,即,∴.‎ ‎18.【答案】(1)百事可乐销量的平均数为,可口可乐销量的平均数为,百事可乐的销量更好;(2)①;②元.‎ ‎【解析】(1)百事可乐销量的平均数为,‎ 可口可乐销量的平均数为,‎ ‎∵,∴百事可乐的销量更好.‎ ‎(2)①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖,‎ 故所求的概率为.‎ ‎②连续三周该超市罐装可乐(仅限百事可乐或可口可乐)的销量为 罐,‎ 记连续三周顾客中奖总次数为,则,则,‎ 故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元.‎ ‎19.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)∵,∴,∴,‎ - 13 -‎ 即,此即为的方程.‎ ‎(2)设直线的斜率为,则直线的方程为,‎ 当时,或,不合题意;‎ 当时,由,得,‎ 设,,则,,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,∴,,‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎20.【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)证明:因为,平面平面,平面平面,‎ 平面,∴平面,‎ 因为平面,所以,‎ 因为,所以,所以,‎ 因为,所以平面.‎ ‎(2)设,则,‎ 四面体的体积,‎ ‎,‎ - 13 -‎ 当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减,‎ 故当时,四面体的体积取得最大值,‎ 以为坐标原点,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,‎ 设平面的法向量为,则,即,‎ 令,得,‎ 同理,平面的法向量为,‎ ‎,‎ 由图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为.‎ ‎21.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1),‎ 当时,,在上单调递减;‎ - 13 -‎ 当时,由,得,在上单调递增;‎ 由,得,在上单调递减.‎ ‎(2)易知,当时,,‎ 由(1)知,在上单调递增,此时在上不存在最大值,‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减,‎ 则,‎ 故,‎ 设,,‎ ‎∵,∴,∴在上单调递增,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵,且,‎ ‎∴要证:,只需证,‎ 即证,‎ 设,则,‎ 则在上单调递减,从而,即,‎ 则,从而.‎ - 13 -‎ ‎22.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)∵,∴,∴,即,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由(1)可设,,‎ 直线与直线的直角坐标方程分别为,,‎ 从而,,‎ ‎,‎ 故的最小值为.‎ ‎23.【答案】(1),;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)当时,由,得,‎ 因为不等式的解集为,所以,解得,‎ 当时,由,得,所以,‎ 经检验,满足题意.‎ ‎(2)证明:因为,所以,‎ 同理,‎ 因为,‎ 所以.‎ - 13 -‎
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