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文档介绍
2021届高三入学调研试卷 理科数学(一) Word版含解析
2021届高三入学调研试卷 理 科 数 学(一) 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数的实部与虚部分别为,,则( ) A. B. C. D. 2.设集合,,则( ) A. B. C. D. 3.若函数的图象经过抛物线的焦点,则( ) A. B. C. D. 4.已知两个单位向量,的夹角为,则下列向量是单位向量的是( ) A. B. C. D. 5.的内角,,的对边分别为,,,已知,则( ) A. B. C. D. 6.设,满足约束条件,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.设是一个各位数字都不是且没有重复数字的两位数,将组成的个数字按从小到大排成的两位数记为,按从大到小排成的两位数记为(例如,则,),执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的( ) A. B. C. D. 8.已知,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 9.( ) A. B. C. D. 10.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀个小灯,另一种是大灯下缀个小灯,大灯共个,小灯共个若在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为( ) A. B. C. D. 11.在正四棱柱中,为侧棱上一点,,,且异面直线与所成角的余弦值为,则( ) A. B. C. D. 12.设是双曲线的右焦点,为坐标原点过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若的内切圆与轴切于点,且,则的离心率为( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.的展开式中的系数为 . 14.已知函数,若,,则 . 15.如图,一几何体由一个圆锥与半球组合而成,且圆锥的体积与半球的体积相等,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 16.已知函数是上的奇函数,函数,若对恒成立,则的取值范围为 . 三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)设为数列的前项和,已知,,其中是不为的常数,且,,成等比数列. (1)求的通项公式; (2)若,求. 18.(12分)下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位:罐)的雷达图. (1)分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数,从计算结果看,哪种可乐的销量更好; (2)从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动,中奖率为,中奖可获得元的红包,以雷达图中一周的销量代替每周的销量. ①活动期间,一位顾客买了罐百事可乐,他恰好获得元红包的概率; ②在这连续三周的活动中,求该超市需要投入红包总金额的数学期望. 19.(12分)在直角坐标系中,已知,,且,记动点的轨迹为. (1)求的方程; (2)若过点的直线与交于,两点,且,求直线的斜率. 20.(12分)如图,在四面体中,,平面平面,,且. (1)证明:平面; (2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值. 21.(12分)已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若在上存在最大值,证明:. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】 在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称. (1)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的直角坐标方程; (2)设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,,求的最小值. 23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】 已知函数,且不等式的解集为. (1)求,; (2)若,证明:. 2021届高三入学调研试卷 理 科 数 学(一)答 案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 【解析】∵,∴. 2.【答案】B 【解析】∵,,∴. 3.【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为,则,即, 解得. 4.【答案】D 【解析】由平面向量的减法可得的模为,则是单位向量. 5.【答案】C 【解析】∵,∴,∴. 6.【答案】A 【解析】作出约束条件表示的可行域,如图所示, 当直线过点时,取得最小值; 直线过点时,取得最大值, 故. - 13 - 7.【答案】D 【解析】,;,;,, ∵为的倍数,∴输出的. 8.【答案】C 【解析】令,则,, ∵,∴, ∵,∴曲线在点处的切线方程为. 9.【答案】B 【解析】 . 10.【答案】D 【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,, 则,解得, 若随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是一大四小的概率为. 11.【答案】A 【解析】以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示, - 13 - 则,,,则, 设,则, 从而, ∵,∴. 12.【答案】C 【解析】∵到渐近线的距离为,∴, 则的内切圆的半径, 设的内切圆与切于点,则, ∵,∴,∴, 即,则,∴, ∵,∴. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【答案】 - 13 - 【解析】的展开式中的系数为. 14.【答案】 【解析】∵,∴的图象关于直线对称, 又,且,∴. 15.【答案】 【解析】设该圆锥的半径与高分别为,,则,即, 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为. 16.【答案】 【解析】由是上的奇函数,得,则, 因为在上单调递减, 所以是上的减函数,作出与的图象,如图所示, 由图可知,即,则. 三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. - 13 - 17.【答案】(1);(2). 【解析】(1)∵,∴数列是公差为的等差数列, ∵,∴,,, ∵,,成等比数列,∴, ∴,∴或, ∵,∴,. (2)∵,∴,即,∴. 18.【答案】(1)百事可乐销量的平均数为,可口可乐销量的平均数为,百事可乐的销量更好;(2)①;②元. 【解析】(1)百事可乐销量的平均数为, 可口可乐销量的平均数为, ∵,∴百事可乐的销量更好. (2)①他恰好获得元红包说明他有两次中奖一次未中奖, 故所求的概率为. ②连续三周该超市罐装可乐(仅限百事可乐或可口可乐)的销量为 罐, 记连续三周顾客中奖总次数为,则,则, 故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为元. 19.【答案】(1);(2). 【解析】(1)∵,∴,∴, - 13 - 即,此即为的方程. (2)设直线的斜率为,则直线的方程为, 当时,或,不合题意; 当时,由,得, 设,,则,, ∵,,, ∴,∴,, ∵,∴,∴. 20.【答案】(1)证明见解析;(2). 【解析】(1)证明:因为,平面平面,平面平面, 平面,∴平面, 因为平面,所以, 因为,所以,所以, 因为,所以平面. (2)设,则, 四面体的体积, , - 13 - 当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 故当时,四面体的体积取得最大值, 以为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则,,,,, 设平面的法向量为,则,即, 令,得, 同理,平面的法向量为, , 由图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为. 21.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析. 【解析】(1), 当时,,在上单调递减; - 13 - 当时,由,得,在上单调递增; 由,得,在上单调递减. (2)易知,当时,, 由(1)知,在上单调递增,此时在上不存在最大值, 当时,在上单调递增,在上单调递减, 则, 故, 设,, ∵,∴,∴在上单调递增, ∴,即, ∵,且, ∴要证:,只需证, 即证, 设,则, 则在上单调递减,从而,即, 则,从而. - 13 - 22.【答案】(1);(2). 【解析】(1)∵,∴,∴,即, ∴曲线的直角坐标方程为. (2)由(1)可设,, 直线与直线的直角坐标方程分别为,, 从而,, , 故的最小值为. 23.【答案】(1),;(2)证明见解析. 【解析】(1)当时,由,得, 因为不等式的解集为,所以,解得, 当时,由,得,所以, 经检验,满足题意. (2)证明:因为,所以, 同理, 因为, 所以. - 13 -查看更多