2019届二轮复习第3讲　基本不等式及其应用学案（全国通用）

2019届二轮复习第3讲　基本不等式及其应用学案（全国通用）

第3讲　基本不等式及其应用 高考定位　高考对本内容的考查主要有(1)基本不等式的证明过程，A级要求；(2)利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C级要求.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.‎ 解析　一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.‎ 答案　30‎ ‎2.(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.‎ 解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.‎ 答案　9‎ ‎3.(2016·江苏卷)已知函数f(x)＝2x＋，若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，则实数m的最大值为________.‎ 解析　由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.‎ ‎∵f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，‎ ‎∴m≤对于x∈R恒成立.‎ 又＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，‎ ‎∴m≤4，故实数m的最大值为4.‎ 答案　4‎ ‎4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________.‎ 解析　因为sin A＝2sin Bsin C，所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C，‎ 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，‎ 等式两边同时除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.‎ 又因为tan A＝－tan(B＋C)＝，‎ 所以tan Atan Btan C－tan A＝2tan Btan C，即tan Btan C(tan A－2)＝tan A.‎ 因为A，B，C为锐角，所以tan A，tan B，tan C>0，且tan A>2，‎ 所以tan Btan C＝，所以原式＝.‎ 令tan A－2＝t(t>0)，则＝＝＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝2，‎ 即tan A＝4时取等号.故tan Atan Btan C的最小值为8.‎ 答案　8‎ 考 点 整 合 ‎1.基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号；‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；‎ ‎(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；‎ ‎(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)；‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).‎ 热点一　配凑法求最值 ‎【例1】 (1)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.‎ ‎(2)(2018·南京、盐城一模)若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________.‎ 解析　(1)设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30.所以S＝xy＝x·(2y)≤‎ ＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.‎ ‎(2)因为log2x＋log2y＝log2xy＝1，所以xy＝2.因为x＞y＞0，所以x－y＞0.所以＝＝x－y＋≥2＝4，当且仅当x－y＝2时取等号.‎ 答案　(1)15　　(2)4‎ 探究提高　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.‎ ‎(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·宿迁期末)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝________.‎ ‎(2)若对x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　(1)当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.‎ ‎(2)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝.‎ 答案　(1)3　(2) 热点二　常数代换或消元法求最值 ‎【例2】 (1)(2018·苏州期末)已知正实数a，b，c，满足＋＝1，＋＝1，则c的取值范围是________.‎ ‎(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.‎ 解析　(1)因为a＋b＝(a＋b)＝2＋＋∈[4，＋∞)，‎ 所以∈，从而＝1－∈，得c∈.‎ ‎(2)法一　由x＋3y＝5xy及x，y均为正数可得＋＝1，‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5.(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，‎ ‎∴3x＋4y的最小值是5.‎ 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，∵x>0，y>0，∴y>，‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ‎≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，‎ ‎∴(3x＋4y)min＝5.‎ 答案　(1)　(2)5‎ 探究提高　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.‎ ‎【训练2】 (1)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是________.‎ ‎(2)(2018·南京模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.‎ 解析　(1)由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，‎ 即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.‎ ‎(2)法一　(消元法)‎ 由已知得x＝.因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，‎ 所以x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，‎ 当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.‎ 法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，‎ 当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，‎ ‎∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.‎ 答案　(1)4　(2)6‎ 热点三　基本不等式的综合应用 ‎【例3】 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则＋的最小值为________.‎ ‎(2)(2016·苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则＋的最小值是________.‎ 解析　(1)由题意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0，‎ ‎∴＋＝＋＝＋＋＋ ‎＝＋＋≥＋2＝，‎ 当且仅当＝，即lg y＝2lg x，即y＝x2时取等号.‎ ‎(2)过点A作AO⊥平面BCD于点O，则O为△BCD的重心，‎ 所以OB＝××＝，所以AO＝＝2.‎ 又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2.‎ 所以＋＝(x＋y)＝≥2＋，当且仅当x＝3－，y＝－1时取等号.‎ 答案　(1)　(2)2＋ 探究提高　基本不等式在涉及求最值的问题中常常与数列、几何、函数性质等知识点综合命题，体现了基本不等式的工具作用，在涉及求含参的问题中常常与恒成立问题、存在性问题综合考查，但要注意等号的条件.‎ ‎【训练3】 (1)函数y＝1－2x－(x＜0)的值域为________.‎ ‎(2)若不等式x＋2≤a(x＋y)对任意的实数x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为________.‎ 解析　(1)∵x＜0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x＜0)的值域为[1＋2，＋∞).‎ ‎(2)由题意得a≥＝恒成立.令t＝(t>0)，则a≥，‎ 再令1＋2t＝u(u>1)，则t＝，故a≥＝.‎ 因为u＋≥2(当且仅当u＝时等号成立)，故u＋－2≥2－2，‎ 从而0<≤＝，故a≥，即amin＝.‎ 答案　(1)[1＋2，＋∞)　(2) ‎1.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.‎ ‎2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.‎ ‎3.基本不等式作为求最值的一个有力工具常与其他知识点综合命题，注意含参数问题在恒成立、存在性问题中的合理转化.‎ 一、填空题 ‎1.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知a＞0，b＞0，且＋＝，则ab 的最小值是________.‎ 解析　因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号.‎ 答案　2 ‎2.若00，8b>0，所以2a＋≥2×＝2×＝2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.‎ 答案　 ‎5.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________.‎ 解析　法一　∵x≥0，y≥0且x＋y＝1.∴2≤x＋y＝1，从而0≤xy≤，因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1.‎ 法二　可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为.‎ 答案　 ‎6.若对于任意x＞0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　＝，因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，‎ 则≤＝，即的最大值为，故a≥.‎ 答案　 ‎7.(2018·盐城中学月考)设a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________.‎ 解析　依题意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab，故ab≤，≤≤，当且仅当或时，等号成立.‎ 答案　 ‎8.(2018·苏北四市调研)已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为________.‎ 解析　法一(ab作为一个变元)　ab≤＝4，＋＝＝＝.设t＝9－ab≥5，则＝≤＝，当且仅当t2＝80时等号成立，所以，＋的最大值为.‎ 法二(均值换元)　因为a＋b＝4，所以，令a＝2＋t，b＝2－t，则f(t)＝＋＝＋＝，令u＝t2＋5≥5，则g(u)＝＝≤＝，当且仅当u＝4时等号成立.所以＋的最大值为.‎ 答案　 二、解答题 ‎9.(2017·南京、盐城调研)设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0).‎ ‎(1)若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，求a，b的值；‎ ‎(2)若f(1)＝2，a>0，b>0，求＋的最小值.‎ 解　(1)由题意得即解得 ‎(2)因为f(1)＝2，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，‎ 当且仅当b＝2a＝时取等号.所以，＋的最小值为9.‎ ‎10.(1)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求3x＋27y＋2的最小值；‎ ‎(2)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值.‎ 解　(1)由x＋3y－4＝0，得x＋3y＝4，‎ 所以3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2＋2＝2＋2＝2＋2＝20，‎ 当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，‎ 即x＝2，y＝时取等号，此时所求的最小值为20.‎ ‎(2)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy，‎ 所以2＋5≤x＋y＋5＝3xy，所以3xy－2－5≥0，‎ 所以(＋1)(3－5)≥0，所以≥，即xy≥，‎ 当且仅当x＝y＝时取等号，故xy的最小值是.‎ ‎11.已知函数f(x)＝(x≠a，a为非零常数).‎ ‎(1)解不等式f(x)a时，f(x)有最小值为6，求a的值.‎ 解　(1)f(x)0时，(x－a)<0，∴解集为；‎ 当a<0时，(x－a)>0，解集为.‎ ‎(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0).‎ ‎∴f(t)＝＝t＋＋2a≥2＋2a＝2＋2a.‎ 当且仅当t＝，即t＝时，等号成立，即f(x)有最小值2＋2a.‎ 依题意有2＋2a＝6，解得a＝1.‎