【数学】2018届一轮复习人教A版随机事件的概率学案

【数学】2018届一轮复习人教A版随机事件的概率学案

‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别．‎ ‎2．了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ 知识点一　频率与概率 ‎ ‎1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．我们把这个常数叫做随机事件A的______．记作________．‎ ‎2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而______是一个确定的值，通常人们用______来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用______来作为随机事件概率的估计值．‎ 答案 ‎1．稳定性　概率　P(A)‎ ‎2．概率　概率　频率 ‎1．给出下列三个命题：‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；‎ ‎②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；‎ ‎③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．‎ 其中错误的命题有________个．‎ 解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．‎ 答案：3‎ ‎2．(2017·长沙模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5,15.5)　2　[15.5,19.5)　4　[19.5,23.5)　9‎ ‎[23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12‎ ‎[35.5,39.5)　7　[39.5　43.5)　3‎ 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5)的概率约是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由条件可知，落在[27.5,43.5)的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约为＝.‎ 答案：C 知识点二　事件的关系与运算 ‎ 定义 符号表示 包含关系 如果事件A____，则事件B____，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ ‎____________‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 ‎____‎ 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生_______________，称此事件为事件A与事件B的______(或和事件)‎ ‎____________‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生_________________发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ ‎____________‎ 互斥事件 若A∩B为______事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为______事件，A∪B为________，那么称事件A与事件B互为对立事件 答案 发生　一定发生　B⊇A(或A⊆B)　A＝B　当且仅当事件A发生或事件B发生　并事件　A∪B(或A＋B)　当且仅当事件A发生且事件B　A∩B(或AB)　不可能　不可能　必然事件 ‎3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么(　　)‎ A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立．‎ 答案：B ‎4．(人教A必修③P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．‎ 答案：D 知识点三　概率的基本性质 ‎ ‎1．概率的取值范围：____________.‎ ‎2．必然事件的概率P(E)＝____.‎ ‎3．不可能事件的概率P(F)＝____.‎ ‎4．概率的加法公式．‎ 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__________.‎ ‎5．对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________.‎ 答案 ‎1．0≤P(A)≤1　2.1　3.0‎ ‎4．P(A)＋P(B)　5.1　1－P(B)‎ ‎5．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)．‎ 解析：∵P(A)＝，P(B)＝，‎ ‎∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.‎ 答案： ‎6．(2017·太原模拟)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．‎ 解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.‎ 答案：0.9　0.2‎ 热点一　随机事件间的关系 ‎ ‎【例1】　判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 ‎(1)恰有1名男生和恰有2名男生；‎ ‎(2)至少有1名男生和至少有1名女生；‎ ‎(3)至少有1名男生和全是女生．‎ ‎【解】　(1)是互斥事件，不是对立事件．‎ ‎“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．‎ ‎(2)不是互斥事件，也不是对立事件．‎ ‎“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．‎ ‎(3)是互斥事件且是对立事件．‎ ‎“至少有1名男生”，即“选出的两人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件．‎ ‎∴两个事件互斥且对立.‎ ‎【总结反思】‎ 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.‎ ‎ ‎ 下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件．‎ ‎②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件．‎ ‎③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件．‎ ‎④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．‎ 其中真命题是(　　)‎ A．①②④ B．②④‎ C．③④ D．①②‎ 解析：对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错．对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确．对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错．对④，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．‎ 答案：B 热点二　随机事件的频率与概率 ‎ ‎【例2】　(2016·新课标全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ ‎【解】　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎　　调查的200名续保人的平均保费为‎0.85a×0.30＋a×0.25＋‎1.25a×0.15＋‎1.5a×0.15＋‎1.75a×0.10＋‎2a×0.05＝1.192 ‎5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 ‎5a.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．‎ ‎(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.‎ ‎ ‎ 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：‎ 抽取球数n ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ 优等品数m ‎45‎ ‎92‎ ‎194‎ ‎470‎ ‎954‎ ‎1 902‎ 优等品频率 ‎(1)计算表中乒乓球优等品的频率；‎ ‎(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)‎ 解：(1)依据公式f＝，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.‎ ‎(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.‎ 热点三　互斥事件与对立事件的概率 ‎ ‎【例3】　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ ‎【解】　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝ ‎.故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎【总结反思】‎ 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.‎ ‎ ‎ 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)‎ 解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.‎ P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．‎ ‎2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.‎ ‎3．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而不充分条件．‎ ‎4．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成集合的补集．‎ ‎5．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．‎