【数学】2018届一轮复习人教A版(理)利用导数研究函数的单调性学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版(理)利用导数研究函数的单调性学案

‎2018年高考数学(理)一轮复习讲义:利用导数研究函数的单调性 考点 考纲要求 题型 分值 考题规律 利用导数研究函数的单调性 ‎1. 理解函数单调性与导数的关系,会用导数求函数的单调区间并研究单调性;‎ ‎2. 会根据函数的单调性研究导数取值情况、求参数值(或范围)。‎ 填空 解答 ‎5分 利用导数研究函数的单调性是高考必考考点。‎ 考查方式:‎ ‎(1)直接考查导数法求函数的单调区间或研究函数的单调性; ‎ ‎(2)以利用导数研究函数的单调性为载体,考查函数的极值、最值问题。‎ 可以是填空题,也可以是解答题。 ‎ ‎【考向预测】‎ 利用导数研究函数的单调性是高考必考考点,预计未来几年高考中仍会考查利用导数研究函数的单调性,既可以是填空题也可以是解答题。可以考查求单调区间、讨论单调性,也可以考查已知单调性求参数值或范围,一般为中档题。‎ ‎【解题关键】理解概念,数形结合。‎ ‎1. 函数的单调性与导数值的符号关系 设函数在某个区间内可导,如果,那么函数在区间内单调递增;如果,那么函数在区间内单调递减。‎ ‎2. 利用导数求可导函数单调区间的步骤:‎ ‎(1)求函数的定义域;‎ ‎(2)求导函数;‎ ‎(3)解或;‎ ‎(4)写出结论。 ‎ 注意:‎ 求可导函数的单调区间,实质上是解导数不等式。‎ 若求减区间,则解;若求增区间,则解。‎ 例题1 求证函数在上是单调减函数。‎ 思路分析:可以利用导数法证明函数的导函数值在区间上恒为负。‎ 答案:证明:∵,∴‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,即 ‎∴在上是单调减函数。‎ 技巧点拨:证明函数的单调性有两种方法:定义法和导数法。定义法证明的步骤是作差、变形、定号、下结论,导数法的步骤是求定义域、求导、定号、下结论。‎ 例题2 已知函数在(1,2)上是增函数,求的取值范围。‎ 思路分析:利用函数在(1,2)上是增函数,则它的导函数值在(1,2)上恒不小于零,列不等式求解。‎ 答案:解:在(1,2)上恒成立,即在(1,2)上恒成立,因为在(1,2)上单调递减,所以,所以。‎ 技巧点拨:利用可求函数的增区间,相应地,函数在某区间上单调递增,则在该区间上恒成立,注意验证端点值。‎ 例题3 已知为常数,且,函数,(是自然对数的底数。)‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求函数的单调区间。‎ 思路分析:(1)将代入到函数中即可求出实数的值;‎ ‎(2)将(1)中的值代入到函数中,得 ,要求的单调区间须先求出,解导数不等式。‎ 为参数,故须对进行分类讨论,再解出关于的导数不等式即可。‎ 答案:解:(1)将代入到函数中,‎ 得:,‎ 化简得:。‎ ‎(2)将代入到中,可得,‎ ‎∴。‎ 因为,故 ‎①当时,由得:,解得:。‎ 由得:,解得:。‎ ‎②当时,由得:,解得:。‎ 由得:,解得:。‎ 综上,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;‎ 当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为。‎ 技巧点拨:求含参数的函数的单调区间时,先对进行求导,列出关于的含参数的不等式,然后再对参数进行分类讨论,根据参数的不同范围分情况讨论函数的单调区间。‎ ‎【易错警示】‎ 利用导数求函数单调区间的误区 ‎1. 由可得函数的单调增区间,反过来,已知函数在区间上单调递增,则有在区间上恒成立。即是为增函数的充分不必要条件。‎ ‎2.‎ ‎ 如果函数的单调区间不止一个,需要分开书写,中间用逗号隔开,单调区间一般不能取并。‎ 示例 函数的单调减区间为__________。‎ 思路分析:函数的定义域为且,,‎ 由得:且,所以单调减区间为,。‎ 答案:,。‎ 注意:本题不可以将两个单调区间合并书写或用并集符号联结,因为当时函数值都是负的,而当时函数值都是正的,在合并的区间不符合单调递减的定义。‎ ‎(答题时间:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 对于R上可导的任意函数,若满足,则必有( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 已知函数,其定义域为(-2,2),则关于实数x的不等式+的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 函数f(x)在R上的导函数为,且‎2f(x)+x>x,下面的不等式在R内恒成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是( )‎ ‎5. 函数则( )‎ A. 在区间内均有零点 ‎ B. 在区间内均无零点 C. 在区间内有零点,在区间内无零点 D. 在区间内无零点,在区间内有零点 二、填空题 ‎6. 已知函数f(x)=x(ex-1)-x2,则函数f(x)的单调增区间为________。‎ ‎*7. 已知函数f(x)=ln x-,若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,则a的取值范围是______。‎ ‎**8. 如图所示,是定义在区间上的奇函数,令,并有关于函数的四个论断:‎ ‎①若,对于内的任意实数m,,恒成立;‎ ‎②函数是奇函数的充要条件是;‎ ‎③的导函数有两个零点;‎ ‎④若,则方程必有3个实数根。‎ 其中所有正确结论的序号是_________。‎ 三、解答题 ‎9. 已知函数f(x)=+ln x。‎ ‎(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;‎ ‎(2)讨论函数f(x)的单调性。‎ ‎10. 已知函数,且)。‎ ‎(1)若,且在上存在单调递增区间,求a的取值范围;‎ ‎(2)若存在实数满足,是否存在实数,使在处的切线斜率为0,若存在,求出一组实数;否则,说明理由。 ‎ ‎1. B 解析:借助导数知识,根据,判断函数的单调性,再利用单调性,比较函数值的大小即可。‎ ‎∵对于R上可导的任意函数,‎ ‎∴有或 即当时,为增函数,当时,为减函数,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选B。‎ ‎2. D 解析:, ‎ 易知函数是奇函数,且在整个区间(-2,2)内单调递增。‎ 因为在恒大于0,‎ 根据奇函数的性质可得出,在其对应区间上亦是单调递增的,由 ‎,得 ‎,‎ 即,‎ 解得:。‎ 故选D。‎ ‎3. A 解析:由已知,首先令,排除B,D。然后结合已知条件排除C,得到A。本题考查了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考查了分析问题和解决问题的能力。‎ ‎4. A 解析:因为函数的导函数在区间上是增函数,即在区间上各点处的斜率是递增的,由图易知选A。注意选项C中为常数。‎ ‎5. D 解析:由题意,得,令,得;令,得;令,得,故知函数在区间(0,3)上为减函数,在区间上为增函数,在点处有极小值。‎ 又,故选D。‎ ‎6. (-∞,-1],[0,+∞) 解析:因为f(x)=x(ex-1)-x2,‎ 所以(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1)。‎ 令(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0,‎ 解得x∈(-∞,-1)或x∈(0,+∞)。‎ 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1],[0,+∞)。‎ ‎7.(-∞,2] 解析:(x)=-==‎ 。‎ 因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,所以(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即x2+(2-‎2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,‎ 当x∈(0,+∞)时,由x2+(2-‎2a)x+1≥0,得 ‎2a‎-2≤x+。‎ 设g(x)=x+,x∈(0,+∞),‎ 则g(x)=x+≥2=2,‎ 当且仅当=x,即x=1时等号成立,‎ 所以‎2a-2≤2,即a≤2,‎ 所以a的取值范围是(-∞,2]。‎ ‎8. ①②③ 解析:①由图象知,函数在区间上为增函数,故当时,在上也为增函数,‎ 故对于内的任意实数,恒成立,故命题正确;‎ ‎②当时,函数是一个奇函数,反之,当是奇函数时,由于,则必有;‎ ‎③任意,由的极值点有两个,判断导函数有2个零点;‎ ‎④由于本题中没有具体限定b的取值范围,故无法判断有几个根。综上①②③正确。‎ 故答案为①②③。‎ ‎9. 解:(1)∵f(x)=+ln x,‎ ‎∴(x)=(a>0)。‎ ‎∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,‎ ‎∴(x)=≥0对x∈[1,+∞)恒成立,‎ 即ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,‎ 即a≥对x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1。‎ ‎(2)∵a≠0,(x)==,x>0,‎ 当a<0时,(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立,‎ ‎∴f(x)的增区间为(0,+∞),‎ 当a>0时,由(x)>0,得x>,由(x)<0,得0<x<,‎ ‎∴f(x)的增区间为,减区间为。‎ ‎10. 解:(1)当时,在上存在单调递增区间,即在上存在区间使。‎ ‎①时,是开口向上的抛物线。‎ 显然在上存在区间,使即适合。‎ ‎②时,是开口向下的抛物线。‎ 要使在上存在区间有,则=0在上有一解或两解。‎ 即,或或无解,‎ 又。‎ 综上,得。‎ ‎(2)不存在实数满足条件。‎ 事实上,由,得:。‎ ‎。‎ 又,‎ ‎。‎ ‎,且,,‎ 故不存在实数满足条件。‎ 点拨:本题考查了函数的单调性与其导数的关系,及导数的几何意义等基本知识;同时考查了学生分类讨论的思想方法与代数运算能力。‎
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