2018-2019学年天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）高二上学期期中联考数学试题 解析版

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绝密★启用前 天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）2018-2019学年高二上学期期中联考数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知数列则是它的 A． 第项 B． 第项 C． 第项 D． 第项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列的前几项可得其一个通项公式，由此可求是它的第项.‎ ‎【详解】‎ 已知数列则数列的一个通项公式为 则 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由数列的前几项写出数列的一个通项公式，属基础题.‎ ‎2．已知命题，命题，则命题是命题成立的 A． 充分必要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】‎ 由不能得到，但由可得到，则 命题是命题成立的必要不充分条件.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题．‎ ‎3．已知椭圆的两个焦点是，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义得 ，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=12，由此可求出|AB|的长．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义得 ， 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=12， 又因为在△AF1B中，有两边之和是8， 所以第三边的长度为：12-8=4 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系．要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质．‎ ‎4．已知是单调递增的等比数列，满足，则数列的前项和 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质和韦达定理可得 为方程 的实根，解方程可得q和a1，代入求和公式计算可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ∴由等比数列的性质可得 ， ∴a3，a5为方程x2-10x+16=0的实根， 解方程可得 ， ∵等比数列{an}单调递增， ∴∴ ， ∴ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．‎ ‎5．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为 A． B． 或4 C． D． 或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程可得，若若轴2 或，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积，若若P为椭圆短轴的一个端点则不可能有得到本题答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆方程为， ∴a2=5，b2=4，可得c2=a2-b2=1， 即 ， 若轴2 或 ，把 代入椭圆方程得，解得 ∴△PF1F2的面积 ‎ 若P为椭圆短轴的一个端点 则在中故不可能有 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆中是直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．‎ ‎6．已知，且，则的最小值为 A． 100 B． 10 C． 1 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于x＞1，y＞1，可得＞0，＞0．利用 即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵x＞1，y＞1， ∴＞0，＞0． ∵， 化为 ， ∴xy≥100，当且仅当x=y=10时取等号． ‎ ‎∴xy的最小值为100． 故选A.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的性质、对数的运算法则，属于基础题．‎ ‎7．已知双曲线 的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得可得，由此可求双曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 双曲线 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，腰长为的等腰三角形（为原点），， 可得，即 ‎ 解得 ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：． 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎8．设椭圆 的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率 的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由Q在椭圆外部，则 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质， ，由，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点在椭圆的外部，∴， ， 由椭圆的离心率 ， 又因为，且， 要恒成立，即，则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎9．设等差数列的前项和为 ，若，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的求和公式和性质可得S11=11a6，代入已知式子可得．∴a6=3，由此可求.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的求和公式和性质可得： ∴a6=3，则 .‎ 即答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．‎ ‎10．已知数列满足，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得 ，由此求出数列的通项公式，即可得到.‎ ‎【详解】‎ 由可得，即数列 是以 为首项，以为公比的等比数列，即 ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式的求法，属中档题.‎ ‎11．设直线与双曲线相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线方程与双曲线方程联立，得 ．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为双曲线的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（的两个根为±1，代入求出k的值．‎ ‎【详解】‎ 将直线与双曲线方程联立， ， 化简整理得（（*） 因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为双曲线的两个焦点， 故方程的两个根为±1．代入方程（*），得.‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的交点问题，方法是将直线与圆锥曲线方程联立来求解，此方法是数学圆锥曲线中的重要思想方法．‎ ‎12．已知，且，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由 而 ‎ 由此可求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 已知，由，可得 则当且仅当即等号成立.‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，属中档题.‎ ‎13．已知数列满足 ，，，则 _______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令 即可得出.‎ ‎【详解】‎ 已知数列满足 ，‎ 则当时，；‎ 时，；‎ 时，；故.‎ 即答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用数列的递推公式求数列的项，属基础题.‎ ‎14．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，‎ 椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得 ，然后结合隐含条件列式求得 ，再由即可求得．‎ ‎【详解】‎ 如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ， 同理可得 ‎ ‎ 即， ∵， ∴． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）； （2）当时，解集为R；当时，解集为且 ；当时，解集为 或；当时，解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论a=0与a＜0时，对应不等式的解集，分别求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，有，即,‎ ‎（2）当时，.‎ ‎①当，即时，.‎ ‎②当，即时，且 .‎ ‎③当，即时，方程两根，，且 ，‎ 所以或,‎ 综上，关于的不等式的解集为：‎ 当时，解集为 当时，解集为且 ‎ 当时，解集为 或 当时，解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查了用分类讨论法解含有字母系数的不等式的问题，解题时应适当地进行分类，求出各种情况的不等式的解集，再综合在一起，是易错题．‎ ‎16．已知数列满足 ，且． ‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知得，‎ 所以数列是等比数列，由此可得的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法可求数列的前项和．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知得，‎ 所以数列是等比数列，公比为2，首项为 所以 .‎ ‎（Ⅱ）数列的前项和即 记，，则,‎ ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ ‎（1）－（2）得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ 所以数列的前项和 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，属中档题.‎ ‎17．设各项均为正数的数列满足 ．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求的前n项和．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题设知.　当时，有，可求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用裂项相消法可得，即可求出的前n项和．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题设知.　‎ 当时，有 ,‎ 整理可得 因为数列各项均为正数，‎ ‎ ‎ 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 所以 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题数列通项公式的求法，以及利用裂项相消法求和，属中档题.‎ ‎18．已知椭圆 的长轴长为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，且点的横坐标取值范围是，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）椭圆的长轴长为4，则所以，‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以， ‎ 所以．‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为，‎ 设，的中点为，‎ 由消去，‎ 得，‎ 所以 即 ‎ ‎，‎ 故，‎ ‎,即 所以线段的垂直平分线方程为，‎ 故点的横坐标为，‎ 即 所以符合式 ‎ 由 ‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出椭圆的标准方程．‎ ‎19．已知椭圆 的右焦点为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设 ，且满足恒成立，求的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的右焦点F（1，0），离心率为1，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程； （2）直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出P的坐标，求出向量的坐标，利用，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知有,又由，得，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）由 ‎ 消去得，‎ 所以，‎ 即． ‎ 设，则，‎ ‎ ‎ 即．‎ 因为，‎ 所以 由恒成立可得， ‎ 即恒成立，故 ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20．已知数列的前项和为，，且，为等比数列，．‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，若对均满足，‎ 求整数的最大值．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题设知.当时，有 ‎ 整理得.利用累积法即可求出的通项公式；设等比数列的公比为.由，可得 ，所以 ，故 ‎ ‎（Ⅱ）因为 ，由此得到 ，证明单调递增 ,由此解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题设知.‎ 当时，有 ‎ 整理得.‎ 故 ‎ ‎,‎ 经检验时也成立，‎ 所以的通项公式为. ‎ 设等比数列的公比为.由，‎ 可得 ，所以 ，故 ‎ 所以的通项公式为. ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎ ‎ 因为 ‎ 所以，即单调递增 ,‎ 故, 即 ，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式的求法，考查数列的单调性的应用，属难题.‎