中考数学专题7几何辅助线图作法探讨

中考数学专题7几何辅助线图作法探讨

‎【2013年中考攻略】专题7：几何辅助线（图）作法探讨 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：‎ 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。‎ 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。‎ 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。‎ 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。‎ 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。‎ 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。‎ 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。‎ 平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。‎ 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。‎ 斜边上面作高线，比例中项一大片。‎ 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。‎ 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。‎ 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。‎ 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。‎ 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。‎ 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。‎ 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。‎ ‎ 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。‎ 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。‎ 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。‎ 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。‎ 在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。‎ 笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。‎ 一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。‎ 典型例题：‎ 例1. （2012湖北襄阳3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为【 】‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】平行线的性质。‎ ‎【分析】如图，过点B作BD∥l，‎ ‎∵直线l∥m，∴BD∥l∥m。‎ ‎∵∠1=25°，∴∠4=∠1=25°。‎ ‎∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°。‎ ‎∴∠2=∠3=20°。故选A。‎ 例2.（2012四川内江3分）如图，【 】‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】平行的性质，三角形外角性质。‎ ‎【分析】如图，反向延长，形成∠4。‎ ‎ ∵，∴∠3=1800－∠4。‎ ‎ 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。‎ ‎ ∴。故选B。‎ 例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　 ▲ ．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】作EG⊥OA于F，‎ ‎∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，‎ ‎∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。‎ ‎∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。‎ 例4.（2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【 】‎ ‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，如右图所示：‎ 连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，‎ ‎∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC。∴EF=GH，EF∥GH。‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形。‎ 由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。 ‎ 故选A。 ‎ 例5.（2012江苏宿迁3分）已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）‎ ‎【答案】矩形。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。‎ ‎【分析】如图，连接AC，BD。‎ ‎ ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，‎ ‎∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。‎ 又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。‎ ‎∴四边形EFGH是矩形。‎ 且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。‎ ‎∴四边形EFGH不可能是菱形。‎ 例6.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。‎ ‎【分析】连接BE，‎ ‎∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，‎ ‎∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。‎ ‎∴△AME的面积=△AMB的面积。‎ ‎∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。‎ ‎∴当n≥2时，。‎ 例7.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。‎ ‎ ∵E是AB的中点，∴AE=BE。‎ ‎ 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。‎ ‎ （2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：‎ ‎ ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，‎ ‎∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。‎ ‎ 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。‎ ‎∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。‎ ‎ （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。‎ 例8.（2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．‎ ‎（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；‎ ‎（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．‎ ‎【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，‎ ‎∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。‎ ‎∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。‎ 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。‎ ‎（2）连接ON，‎ ‎∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，‎ ‎△AED的外接圆与BC相切于点N，‎ ‎∴ON⊥BC。‎ ‎∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。‎ ‎∴点N是线段BC的中点。‎ ‎（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。‎ 在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。‎ 在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴。∴FG=。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。‎ ‎（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。‎ ‎ （3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求 出FO，从而可得出FG的长度。‎ 练习题：‎ ‎2.（2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 ▲ 　．‎ ‎3.（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 ‎（1）求证：四边形EFGH为正方形；‎ ‎（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。‎ ‎4. （2011湖南怀化3分）如图，已知直线∥，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于 【 】‎ A、100° B、60° C、40° D、20° ‎ ‎5. （2011湖北恩施3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是【 】‎ ‎ A、43° B、47° C、30° D、60°‎ ‎6. （2011广东茂名3分）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是【 】‎ ‎ A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里 ‎7. （2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ▲ ．‎ ‎8. （2011贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=‎10米，BC=米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为 ▲ 。‎ ‎9. （2011广西玉林、防城港10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．‎ ‎（1）求证：EB=GD；‎ ‎（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AB=2，AG=，求EB的长．‎ ‎10. （2011湖南衡阳10分）如图，在矩形ABCD中，AD=‎4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．‎ ‎（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；‎ ‎（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．‎ 二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。‎ 典型例题：‎ 例1. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。‎ ‎【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：‎ 连接BO，‎ ‎∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。‎ ‎∴BO＝CO。‎ ‎∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，‎ ‎∴∠OAB＝∠OAC＝25°。‎ ‎∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。‎ ‎∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。‎ ‎∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。‎ ‎∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。‎ 例2.（2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．‎ ‎（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；‎ ‎（2）若BF=EF，求证：AE=AD．‎ ‎【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。‎ ‎∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。‎ ‎∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。‎ ‎（2）连接BE。‎ ‎∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。‎ ‎∴EB=EF，∠EBF=60°。‎ ‎∵DC=EF，∴EB=DC。‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。‎ ‎∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。‎ ‎【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；‎ ‎（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。‎ 例3.（2011上海12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．‎ ‎（1）求证：四边形ABFC是平行四边形； ‎ ‎（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形． ‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接BD。‎ ‎∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ‎∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。‎ ‎∴AC=BF，∠ACB=∠CBF。∴AC∥BF。‎ ‎∴四边形ABFC是平行四边形； （2）∵DE2＝BE·CE，∴。‎ ‎∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DEC。∴∠CDE=∠DBE，‎ ‎∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90°。‎ ‎∴四边形ABFC是矩形。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。‎ ‎【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。‎ ‎（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。‎ 练习题：‎ 1. ‎（2011山东潍坊3分）已知长方形ABCD，AB=‎3cm，AD=‎4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂 直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ▲ ．‎ ‎2. （2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ▲ ．‎ ‎3. （2011湖北十堰8分）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。‎ ‎（1）求证：DE是半圆的切线；‎ ‎（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。‎ ‎4. （2011四川巴中10分） 如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．‎ ‎ (1)求证：△ABC≌△DNC；‎ ‎ (2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。‎ ‎5. （2011广东河源9分） 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合． ‎ ‎ (1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由; ‎ ‎ (2)当AB=4时，求此梯形的面积．‎ 三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。‎ 典型例题：‎ 例2.（2012广西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直 线形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是 ▲ ．‎ ‎【答案】或a。‎ ‎【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。‎ 作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，‎ ‎∴CD=a，AD=a。‎ ‎∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。。∴BC=BD+CD=a。‎ ‎∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=DC=a，EF=AD=a。‎ ‎∴BF=a。‎ 在Rt△BEF中，由勾股定理，得。‎ ‎②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。‎ 作△ABC的高AD。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，‎ ‎∴CD=a，AD=a。‎ ‎∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。∴BC= BD=a。‎ ‎∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=AD=a。‎ 综上所述，AC边上的中线长是或a。‎ 例3. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重 合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】‎ A．2 B．‎4 C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：‎ ‎ 过点N作NG⊥BC于G，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。‎ ‎∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。‎ 由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。‎ ‎∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。‎ ‎∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。‎ ‎∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。‎ 设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。‎ 在Rt△CGN中，，‎ 在Rt△MNG中，，‎ ‎∴。故选D。‎ 例4.（2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．‎ ‎【答案】解：过点D作DH⊥AC，‎ ‎∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。‎ 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=。‎ ‎∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，‎ ‎∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。‎ ‎∴ 。‎ ‎【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，‎ ‎【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。‎ 例5.（2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O 的圆心，AB＝‎12m，⊙O的半径为‎1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到‎0.01m，参考 数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．‎ ‎【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。‎ ‎ 在Rt△AOB中，，即，‎ ‎ ∴。‎ ‎∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。‎ 在Rt△AOE中，，即，‎ ‎∴‎ ‎9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。‎ 答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为‎10.83 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。‎ 例6.（2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行‎200米 到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎【答案】解：作PD⊥AB于点D，‎ 由已知得PA=‎200米，∠APD=30°，∠B=37°，‎ 在Rt△PAD中，‎ 由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100（米）。‎ 在Rt△PBD中，‎ 由sin37°=，得PB=（米）。‎ 答：小亮与妈妈的距离约为‎288米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。‎ ‎【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。‎ 例7. （2012吉林省8分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直 线折叠，点O恰好落在 上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．‎ ‎【答案】解：连接OD。‎ ‎ 根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，‎ ‎∴OB=OD=BD。∴△OBD是等边三角形。∴∠DBO=60°。‎ ‎∴∠CBO=∠DBO=30°。‎ ‎∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan∠CBO=6×。‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+==AC+OC+OB+=6+6+3π=12+3π。‎ 整个阴影部分的面积为：。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的扇形面积的计算。‎ ‎【分析】连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又由在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积与 的长，从而求得整个阴影部分的周长和面积。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012四川绵阳3分）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高‎2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有‎13m的距离(B、F、C在一条直线上)．‎ ‎(1)求教学楼AB的高度；‎ ‎(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．‎ ‎(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)‎ ‎3.（2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为‎12m，他的眼镜距地面的高度为‎1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】‎ A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．‎4‎m ‎4.（2012江苏南京2分）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为‎2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm ‎（结果精确到0.‎1 cm，参考数据：，，）‎ ‎5.（2012福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于 点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)‎ ‎6.（2012陕西省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了‎100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到‎1米）．‎ ‎（参考数据：，‎ ‎）‎ ‎7.（2012江苏连云港10分）‎ 已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为‎16km，一艘货轮从B港口以‎40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，‎15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到‎0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)‎ ‎8.（2012四川乐山10分）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为‎1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．‎ ‎（1）求该轮船航行的速度；‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）‎ 四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。‎ 典型例题：‎ 例1. （2012浙江绍兴5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ▲ 。‎ 例2. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】‎ ‎　　A．4　　B．‎3　‎　C．2　　D．1‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】连接DE并延长交AB于H，‎ ‎∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。‎ ‎∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。‎ ‎∴DE=HE，DC=AH。‎ ‎∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。‎ ‎∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。‎ 例3.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。‎ 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。‎ ‎（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：‎ 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。‎ 由（1）知∠APB=∠BPH，‎ 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，‎ ‎∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。‎ 又∵AB=BC，∴BC=BQ。‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。‎ ‎∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。‎ ‎（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。‎ 又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。‎ 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。‎ ‎∴EM=AP=x．‎ ‎∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。‎ ‎∴。‎ 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴当x=2时，S有最小值6。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。‎ ‎（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。‎ ‎（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。‎ 例4. （2011广西南宁3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝15º，AB＝8，则AC·BC的值为【 】‎ A．14 B．‎16 C．4 D．16‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。‎ ‎【分析】延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB，垂足为点E。则知△ACD≌△ACB，从而由已知得∠CAD＝∠A＝15º，AD＝AB。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30º，∴DE＝AD·sin30º＝4。从而S△ADE＝·AB·DE＝16，又S△ADE＝·BD·AC＝·2BC·AC＝AC·BC，即AC·BC＝16。‎ 例5. （2011山东济南3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＞BC，分别以AB、BC、CA为一边向 ‎△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是【 】‎ A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3‎ C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】过点D作DQ⊥MN交CB的延长线于点P，交MN的延长线于点Q；‎ ‎ 过点E作ER⊥GF交CA的延长线于点S，交GF的延长线于点R。‎ ‎ 易证△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC；‎ ‎ 易证△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底为BN=BC，高为BP=AC，∴S2＝S△ABC；‎ 易证△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底为FA=CA，高为AS=BC，∴S2＝S△ABC。‎ ‎∴S1＝S2＝S3＝S△ABC。故选A。‎ 例6. （2011山东德州8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．‎ ‎（1）求证AD=AE；‎ ‎（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：在△ACD与△ABE中，‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，‎ ‎∴△ACD≌△ABE（AAS）。∴AD=AE。‎ ‎ （2）在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，‎ ‎∴△ADO≌△AEO（HL）。∴∠DAO=∠EAO。‎ 即OA是∠BAC的平分线。‎ 又∵AB=AC，∴OA⊥BC。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质 ‎【分析】（1）根据全等三角形AAS的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。‎ ‎（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012湖南岳阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=　 ▲ 　．‎ ‎2. （2011湖北恩施3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 【 】‎ A、11 B、‎5.5 C、7 D、3.5‎ ‎3. （2011湖北随州4分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=　 ▲ 　．‎ ‎4.（2011广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，‎ 若AD＝‎6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于_ ▲ cm2．‎ ‎5. （2011江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC折叠, 使点B落在EF上的点B' 处(如图②); 展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH折叠, 使点C落在DH上的点C' 处(如图④); 沿GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕GC' 、GH(如图⑥)。‎ （1） 求图②中∠BCB' 的大小;‎ （2） 图⑥中的△GCC' 是正三角形吗?请说明理由. ‎ 五、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，达到求证（解）的目的。‎ 典型例题：‎ 例1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为‎8米，坡面上的影长为‎4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为‎2米，则树的高度为【 】‎ A.米 B‎.12米 C.米 D．‎‎10米 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。‎ 作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，‎ ‎∴CE=2，EF=4cos30°=2，‎ 在Rt△CED中，CE=2，‎ ‎∵同一时刻，一根长为‎1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为‎2米，∴DE=4。‎ ‎∴BD=BF+EF+ED=12+2。‎ ‎∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，‎ ‎∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故选A。‎ 例2.（2012湖北十堰3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；．‎ ‎【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。‎ ‎∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。‎ ‎∴△AOE∽△COF。∴。‎ ‎∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。‎ 在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得：CE=。‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=。‎ ‎∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=。‎ 例3.（2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。‎ 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。‎ ‎∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．‎ ‎∴点P的坐标为（ ，6）。‎ ‎（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，‎ ‎∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。‎ ‎∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。‎ ‎∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。‎ ‎∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。‎ 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴。‎ 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．‎ ‎∴。∴（0＜t＜11）。‎ ‎（Ⅲ）点P的坐标为（，6）或（，6）。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。‎ ‎ （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，‎ ‎△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。‎ ‎（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值： ‎ 过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。‎ ‎∴∠PC′E+∠EPC′=90°。‎ ‎∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。‎ ‎∴△PC′E∽△C′QA。∴。‎ ‎∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵，即，∴，即。‎ 将代入，并化简，得。解得：。‎ ‎∴点P的坐标为（，6）或（，6）。‎ 例4.（2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，‎ ‎∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，‎ ‎∴设BE=DE=x，则AD=AF=4x。‎ ‎∵DG⊥AC，EF⊥AC，‎ ‎∴DG∥EF，∴，即，解得。‎ ‎∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。‎ 又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，‎ ‎∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，]解得。‎ 在Rt△ABH中，由勾股定理，得。‎ ‎∴。‎ 又∵△ADF∽△ABC，∴，∴‎ ‎∴。‎ 例5. （2011山东淄博4分）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，‎ HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。‎ ‎【分析】∵CM＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，‎ 又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD。‎ ‎∴tan∠NPH＝。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012江西南昌8分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：‎ AB=CD=‎136cm，OA=OC=‎51cm，OE=OF=‎34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=‎32cm．‎ ‎（1）求证：AC∥BD；‎ ‎（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；‎ ‎（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到‎122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．‎ ‎（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）‎ ‎2. （2011山东淄博4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，‎ 垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF= ▲ ．‎ ‎3. （2011广东深圳3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【 】‎ A. :1 B. :‎1 C.5:3 D.不确定 ‎ ‎4. （2011广西北海3分）如图，△ABC的面积为63，D是BC上的一点，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC 交AB于点E，延长DE到F，使FE∶ED＝2∶1，则△CDF的面积为 ▲ ．‎ ‎5. （2011湖北黄石3分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉 重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 ▲ . ‎ ‎6. （2011山西省3分）如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是 ▲ 。‎ ‎7. （2011陕西省8分）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：‎ ‎①先测出沙坑坑沿的圆周长‎34.54米；‎ ‎②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=‎1.2米，BC=‎1.6米．‎ 根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到‎0.1米）‎ ‎8. （2011北京5分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．‎ ‎（1）求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．‎ 六、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对角线、中位线的性质，达到求证（解）的目的。‎ 典型例题：‎ 例1. （2012贵州遵义3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，‎ ‎∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，‎ 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。‎ ‎∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。‎ ‎∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。‎ ‎∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=CF=。∴NG=。‎ ‎∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣。∴BF=2BN=5‎ ‎∴。故选B。‎ 例2. （2012四川德阳3分） 如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动 点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果 ‎，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平行四边形的判定和性质。‎ ‎【分析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE。‎ ‎∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形。∴PEAB。，‎ ‎∵四边形BDEF是平行四边形，∴EFBD。‎ ‎∴EF∥AB。∴P，E，F共线。‎ 设BD=a，‎ ‎∵，∴PE=AB=‎4a。∴PF=PE﹣EF=‎3a。‎ ‎∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC。‎ ‎∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形。∴BH=PF=‎3a。‎ ‎∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=‎3a：‎4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故选D。‎ 例3.（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：‎ ‎ ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ‎ ‎ ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.‎ ‎【答案】②④。‎ ‎【考点】矩形的性质，相似 ‎【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，‎ ‎∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，‎ ‎∴此时两三角形的高的和为AB，‎ ‎∴S1+S3=S矩形ABCD；‎ 同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。‎ ‎∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。‎ 若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。‎ 如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，‎ ‎∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。‎ ‎∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，‎ ‎∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。‎ ‎∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，‎ 即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。‎ ‎∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。‎ 故结论④正确。‎ 综上所述，结论②和④正确。‎ 例4.（2012广西贵港8分）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交 AC于点G。‎ ‎（1）求证：AF＝DF；‎ ‎（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。‎ ‎【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE， ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD。‎ ‎∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。‎ ‎（2）如图2，在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN， ‎ ‎∵∠ABC＝60°，∴△ANB是等边三角形。‎ ‎∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°。‎ ‎∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。‎ ‎∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°。‎ ‎∴∠BAC＝90°。‎ 由勾股定理得：AC＝＝。‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。‎ ‎∴△AGB∽△CGE。∴＝＝。∴＝，解得AG＝。‎ 在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝。‎ ‎∵＝，‎ ‎∴GE＝，BE＝＋＝2。‎ ‎∵四边形ABDE是平行四边形，∴BF＝BE＝。∴FG＝－＝。‎ ‎【考点】平行四边形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案。‎ ‎（2）在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN＝1＝AN，根据 三角形的内角和定理求出∠BAC＝90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根据□BDEA求出BF，即可求出答案。‎ 例5.（2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。‎ 求证：AE=AF。‎ ‎【答案】证明：连接CE。‎ ‎∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。‎ ‎ 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。‎ ‎∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。‎ 又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。‎ ‎∴AE=AF。‎ ‎【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。‎ 例6.（2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角 线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.‎ ‎（1）求证：△AND≌△CBM.‎ ‎（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？‎ ‎（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。‎ ‎ ∴∠DAC=∠BCA。‎ ‎ 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。‎ ‎ ∴△AND≌△CBM（ASA）。‎ ‎（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。‎ ‎ 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，‎ ‎ ∴FN=EM。‎ ‎ 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，‎ ‎ ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。‎ 四边形MFNE不是菱形，理由如下：‎ 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，‎ ‎∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。‎ ‎∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。‎ ‎（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。‎ ‎ 设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得 ‎3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。‎ 过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。‎ 在△NHM中，NH=3，HM=1，‎ 由勾股定理，得NM=。‎ ‎∵PQ∥MN，DC∥AB，‎ ‎∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。‎ 又∵PQ=CQ，∴CQ=。‎ 在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。‎ ‎∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。‎ ‎【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。‎ ‎ （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。‎ ‎ （3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=‎ ‎。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。‎ 例7. （2011山东泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．‎ ‎（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；‎ ‎（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD。‎ 又∵AD∥DC，∴四边形AECD为平行四边形。‎ ‎∴AE∥DC。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 ∴△AOE∽△COF。‎ ‎（2）证明：连接DE，‎ ‎∵AD平行且等于BE，∴四边形ABED是平行四边形， ‎ 又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形。‎ ‎∴GE=GA=GB=GD=BD=AE。‎ ‎∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中线。‎ ‎∴EF=BD=GD，GE=CD=DF。‎ 又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴四边形EFDG是菱形。‎ ‎【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定。‎ ‎【分析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF。‎ ‎（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形和三角形中位线的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．‎ ‎2.（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】‎ A．25 B．‎50 C． D．‎ ‎3.（2012江苏南通3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝‎7cm，BC＝‎3cm，AD＝‎4cm，则CD＝ ▲ cm． ‎ ‎4.（2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC 的长为 ▲ .‎ ‎5. （2011山东枣庄10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．‎ ‎（1）证明：EF=CF；‎ ‎（2）当时，求EF的长．‎ ‎6. （四川自贡10分） 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n．‎ ‎ (1)求证：△ACB≌△BDA；‎ ‎ (2)求四边形DEFC的周长．‎ 七、构造圆的特殊图形：通过构造圆的特殊图形，应用圆周角定理、垂径定理、切线与过切点的半（直）径的关系、两圆相切公切线的性质、两圆相交公共弦的性质等，达到求证（解）的目的。‎ 典型例题：‎ 例1. （2012海南省3分）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则的值是【 】‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图，连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1。设网格的边长为a。‎ ‎ 则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。‎ 根据勾股定理，得AB=BP1=。‎ 根据正切函数定义，得。‎ 根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴。故选A。‎ 例3.（2012山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．[来︿源 ‎【答案】180。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。‎ ‎【分析】如图，连接CE，DE，‎ ‎ ∵过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，‎ ‎ ∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。‎ ‎ ∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。‎ ‎ 又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。∴∠θ=180。‎ 例4.（2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。‎ ‎ 作⊙O。‎ ‎ ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，‎ ‎ ∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。 ‎ 例5.（2012天津市3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】连接AE，BE，DF，CF。‎ ‎∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，‎ ‎∴AB=AE=BE，∴△AEB是等边三角形。‎ ‎∴边AB上的高线为：。‎ 同理：CD边上的高线为：。‎ 延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线。‎ ‎∵AE=BE，∴点E在AB的垂直平分线上。‎ 同理：点F在DC的垂直平分线上。‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC。∴MN⊥AB，MN⊥DC。‎ 由正方形的对称性质，知EM=FN。‎ ‎∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。‎ 例6.（2012广西玉林、防城港3分）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ▲ .‎ ‎【答案】30°。‎ ‎【考点】矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理。‎ ‎【分析】连接OB，‎ ‎∵CN=CO，∴OB=ON=2OC。‎ ‎∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°。‎ ‎∴。∴∠BOC=60°。‎ ‎∴∠NMB=∠BOC=30°。‎ 例7.（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．‎ ‎（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；‎ ‎ ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；‎ ‎ ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；‎ ‎（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．‎ ‎①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．‎ ‎【答案】解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。‎ ‎②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。‎ ‎∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。‎ ‎∴的长度。‎ ‎③如图3所示，连接OA，OB，‎ ‎∵OA=OB=AB=2，‎ ‎∴△AOB为等边三角形。‎ 过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA•sin60°=。‎ ‎∴圆心O到弦AB的距离为。‎ ‎（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，‎ 过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。‎ ‎∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。‎ 根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF。‎ 又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为：‎ d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：‎ 设O′，O″为和所在圆的圆心，‎ ‎∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，‎ ‎∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。‎ ‎∵折叠后的与所在圆外切，‎ ‎∴连心线O′O″必过切点P。‎ ‎∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，‎ ‎∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，‎ ‎∴四边形OMPN是平行四边形。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度。‎ ‎②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可。‎ ‎③如图3，连接OA．OB，过点O作OE⊥AB于点E，可得△AOB为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求圆心O到弦AB的距离。‎ ‎（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。‎ ‎②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ ‎2.（2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为‎4cm和‎5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎6cm D．‎‎8cm ‎3.（2012贵州黔东南4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为【 】‎ A．35° B．45° C．55° D．75°‎ ‎4.（2012山东枣庄3分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC 的值为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎5（2012湖南岳阳6分）如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．‎ ‎（1）求证：AC2=AB•AF；‎ ‎（2）若⊙O的半径长为‎2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．‎ ‎6.（2012青海省7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C ‎（1）求证：CB∥MD；‎ ‎（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．‎ ‎7.（2012广西贵港3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，‎ 若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【　　】‎ A．80° B．110° C．120° D．140°‎ ‎8.（2012黑龙江大庆6分）‎ ‎ 如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°.‎ ‎ （1）求∠ACB的大小；‎ ‎ （2）求点A到直线BC的距离．‎ ‎9.（2012山东泰安3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为【 】‎ ‎　　A．π　　B．2π　　C．3π　　D．5π ‎10.（2012广西南宁3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为【 】‎ A．8　　　　B．‎6 ‎　　　　C．5 　　　　D．4 ‎ ‎11.（2012陕西省8分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．‎ ‎（1）求证：OM=AN；‎ ‎（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长． ‎ ‎12.（2012浙江丽水、金华8分）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABH；‎ ‎(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．‎ 八、基本辅助线：基本辅助线包括连接两点的线段、平行线、垂直线、角平分线等，如连接直角三角形直角顶点与斜边的中点构成斜边上的中线；过三角形一边的中点作另一边的平行线构成三角形的中位线；过三角形一顶点作对边的垂直线构成直角三角形；连接圆上一点和直径的两端点构成直角三角形；等等。‎ 典型例题：例2.（2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC ‎（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．‎ ‎（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？‎ ‎【答案】证明：（1）连接AD，‎ 在△BAD和△CDA中，‎ ‎∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共边），‎ ‎∴△BAD≌△CDA（SSS）。‎ ‎∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。‎ ‎（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；‎ ‎（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。‎ 例3.（2012黑龙江牡丹江3分）如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形 ▲ (写出一对即可)．‎ ‎【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。‎ ‎【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，则 ‎ ∵AB=AC，AD=AE（已知），‎ ‎∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。‎ ‎∴BH－DH=CH-EH，即BD=CE。‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SSS）。‎ 还可得△ABE≌△ACD（SSS）。‎ 例4.（2012贵州贵阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】‎ A．3 B．‎2 C． D．1‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】连接AF，‎ ‎∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF。‎ ‎∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。‎ ‎∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°。‎ ‎∵DE=1，∴AE=2DE=2。‎ ‎∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2。故选B。‎ 例5.（2012四川宜宾3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【 】‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图，连接BD，过点F作FG∥AB交BD于点G，连接EG，CG。‎ ‎ ∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F 分别为AB．AD的中点，‎ ‎ ∴根据三角形中位线定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。‎ ‎ ∴图中的六个三角形面积相等。‎ ‎ ∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为。故选C。‎ 例6.（2012天津市3分）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，‎ ‎ ∴∠BOC=×360°=60°。‎ ‎∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠OBC=60°。‎ ‎∵正六边形ABCDEF的周长为24，∴BC=24÷6=4。‎ ‎∴OB=BC=4，∴BM=OB·sin∠OBC =4·。‎ ‎∴。‎ 例7.（2012福建厦门10分）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分 别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．‎ ‎（1）如图，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；‎ ‎（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3－4，求BC的长．‎ ‎【答案】解：（1）连接PO , ‎ ‎∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，‎ ‎∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。‎ ‎∴∠EPO＝∠FPO。‎ 在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，‎ ‎∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。‎ ‎（2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。‎ 又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。‎ ‎∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。 ‎ ‎∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。‎ ‎∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。‎ ‎∴ BD＝BC。‎ ‎∵ BF＝BD，∴BC＋3－4＝BC，解得，BC＝4。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。‎ ‎（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。‎ 例8.（2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【 】‎ A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，‎ ‎∴根据垂径定理，得AE=BE。故选项A错误。‎ 如图，连接AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，‎ ‎∴BC=AC。‎ 根据垂径定理，只有在AB是直径时才有AC=AD，而AB不是直径，∴AD≠AC。∴。‎ ‎∴。故选项B错误。‎ 如图，连接AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠D=∠AOC。‎ ‎∵∠AEC是△AOE的外角，∴∠AEC＞∠AOC。∴∠D＜∠AEC。故选项C错误。‎ ‎∵根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE，‎ ‎∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。‎ 故选D。‎ 例9.（2012辽宁阜新3分）如图，在△ABC中，BC=‎3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 ‎ ▲ cm的圆形纸片所覆盖．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】作圆O的直径CD，连接BD，‎ ‎∵圆周角∠A、∠D所对弧都是，∴∠D=∠A=60°。‎ ‎∵CD是直径，∴∠DBC=90°。∴sin∠D=。‎ 又∵BC=‎3cm，∴sin60°=，解得：CD=。‎ ‎∴圆O的半径是（cm）。‎ ‎∴△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖。‎ 例10.（2012宁夏区6分）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.‎ 求∠D的度数.‎ ‎【答案】解：连接BD 。‎ ‎∵AB⊙O是直径，∴BD ⊥AD。‎ 又∵CF⊥AD，∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。‎ 又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC。‎ ‎∵AB⊥CD，∴∠C=30°。∴∠ADC＝60°。‎ ‎【考点】圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接BD，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得 ‎∠BDC= ∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。‎ 例11.（2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为‎17cm，弦AB∥CD，AB＝‎30cm，CD＝‎16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．‎ ‎【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。‎ ‎∵AB=30，CD=16，∴AE=AB=15，CF=CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。‎ ‎∴在Rt△AOE中，。‎ 在Rt△OCF中，。‎ ‎∴EF=OF－OE=15－8=7。‎ 答：AB和CD的距离为‎7cm。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。‎ 例12.（2012山西省2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【 】‎ ‎　 A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】如图所示，连接OC。‎ ‎∵∠BOC与∠CDB是弧所对的圆心角与圆周角，‎ ‎∴∠BOC=2∠CDB。‎ 又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，‎ 又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°。则∠E=90°﹣40°=50°。故选B。‎ 例13.（2012福建泉州3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【 】‎ A .EF>AE+BF B. EF

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