2020届高三数学（文）“大题精练”3

2020届高三数学（文）“大题精练”3

‎2020届高三数学（文）“大题精练”3‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 记首项为1的数列的前项和为，且 ．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：EF⊥CD；‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．‎ ‎（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组； ‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 记抛物线的焦点为，点在抛物线上，，斜率为的直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若，直线的斜率都存在，且；探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)讨论极值点的个数； ‎ ‎(2)若是的一个极值点，且，证明： ．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出及的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，，与交于两点，与交于两点，求的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知函数 ．‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式 ； ‎ ‎（Ⅱ）若函数的最大值为，设，且，求的最小值．‎ ‎2020届高三数学（文）“大题精练”3（答案解析）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 记首项为1的数列的前项和为，且 ．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）依题意，，，‎ 两式相减可得，，故，‎ 而，故，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）可 所以，‎ 故，‎ 记数列的前项和为，则．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：EF⊥CD；‎ ‎【解析】(1）证明：(1)取的中点，连结，，则，‎ 又，，四边形为平行四边形，则∥，‎ 又，EF∥平面PAD．‎ ‎(2)又由矩形知，，由（1）问证明知∥．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．‎ ‎（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组； ‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：‎ 前组频率总和为，第组频率为，且，则由图可知，中位数在区间．‎ ‎（Ⅱ）由题意，设从中选取的车辆为，从中选取的车辆为，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为，其中符合条件的有6种，，所以所求事件的概率为．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 记抛物线的焦点为，点在抛物线上，，斜率为的直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若，直线的斜率都存在，且；探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图：‎ 则，即的最小值为．‎ ‎（2）设直线的方程为，，将直线与抛物线的方程联立得，， ①‎ 又，‎ 即，‎ ‎，‎ 将①代入得，，即，得或，‎ 当时，直线为，此时直线恒过； ‎ 当时，直线为，此时直线恒过（舍去）．‎ 综上所述，直线l过定点．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(1)讨论极值点的个数； ‎ ‎(2)若是的一个极值点，且，证明： ．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎①当时，，当时，；当时，，‎ 在上单调递减；在上单调递增，‎ 为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个；‎ ‎②当时，令，解得：，，‎ ‎⑴当时，，和时，；时，，‎ 在，上单调递增；在上单调递减，‎ 为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个；‎ ‎⑵当时，，此时恒成立且不恒为，‎ 在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个；‎ ‎⑶当时，，和时，；时，，‎ 在，上单调递增；在上单调递减，‎ 为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个．‎ 综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点．‎ ‎（2）由（1）知，若是的一个极值点，则，‎ 又，即，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，则，，，‎ 则，‎ 当时，，，当时，；当时，‎ ‎，‎ 在上单调递增；在上单调递减，，即，．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出及的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，，与交于两点，与交于两点，求的最大值．‎ ‎【解析】（1）把，代入得，‎ 所以的极坐标方程是，‎ 的普通方程是，其极坐标方程是．‎ ‎（2）：，：，分别代入，得，．‎ 所以．‎ 因为，所以，则当时，，此时 取得最大值为，所以的最大值为．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 已知函数 ．‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式 ； ‎ ‎（Ⅱ）若函数的最大值为，设，且，求的最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，‎ 当时，，可得，即；‎ 当时，，可得，即；‎ 当时，，可得，即．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且，‎ 即，当且仅当时“=”成立，‎ 可得，即，因此的最小值为2．‎