甘肃省白银市靖远县第四中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 含解析

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甘肃省白银市靖远县第四中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 含解析

靖远四中2019-2020学年12月考试高一数学 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集U=R,集合M={x∈R|y},N={y∈R|y}.则N∩∁UM=(  )‎ A. ∅ B. {x|0≤x<1} C. {x|0≤x≤1} D. {x|﹣1≤x<1}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出M中x的范围确定出M,求出N中y的范围确定出N,根据全集U=R求出M的补集,找出N与M补集的交集即可.‎ ‎【详解】由M中y,得到x﹣1≥0,即x≥1,‎ ‎∴M={x|x≥1},‎ ‎∵全集U=R,‎ ‎∴∁UM={x|x<1},‎ 由N中y0,‎ ‎∴N={y|y≥0},‎ 则N∩(∁UM)={x|0≤x<1}.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.‎ ‎2.函数的单调递减区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数“同增异减”的性质求解即可 ‎【详解】由,外层函数为增函数,故内层函数应在符合定义域的基础上求单减区间,优先满足,即或,当时,单调递减;‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查复合函数增减区间的求法,熟记“同增异减”是解题的关键,属于基础题 ‎3.函数的零点所在的一个区间是 ( )‎ A. (0,1) B. (1,2) C. (一1,0) D. (一2,一1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的单调性,根据函数零点的判断条件即可得到结论.‎ ‎【详解】函数g(x)单调递增,‎ ‎∵g(﹣1)=2﹣1﹣5<0,g(0)=1>0,‎ ‎∴g(﹣1)g(0)<0,‎ 即函数g(x)在(﹣1,0)内存在唯一的零点,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断,根据函数零点存在的条件是解决本题的关键.‎ ‎4.已知是定义在上的奇函数,对任意,都有,若,则等于(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,求得函数的周期,再利用函数的周期性和奇偶性,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,函数满足,所以函数是以4‎ 为周期的周期函数,‎ 则,‎ 又由函数上在上的奇函数,且,‎ 所以,即,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性,合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎5.定义在R上的函数在(6, +∞)上为减函数,且函数y=f(x+6)为偶函数,则( )‎ A. f(4)>f(5) B. f(4)>f(7) C. f(5)>f(7) D. f(5)>f(8)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:∵的图象可以看成是由的图象向右平移个单位得到,而为偶函数,其图象关于轴对称,∴的图象关于直线对称,又函数在上是减函数,所以,故选D.‎ 考点:奇偶性与单调性的综合;函数的图象与图象变化.‎ ‎6.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有(  )‎ A. 1条或2条 B. 2条或3条 C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分类讨论:‎ 当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;‎ 当β∥γ时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;‎ 当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解:该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分,故其体积为 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎8.如图,一个水平放置的平面图的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是( ) ‎ A. 1+ B. 2+ C. 1+ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体,再根据直角梯形面积公式得结果.‎ ‎【详解】几何体为一个直角梯形,上底长为1,下底长为1+,高为2,因此面积为选B.‎ ‎【点睛】本题考查直观图,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎9.已知圆锥的表面积为6,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设底面半径为,侧面展开图半径为;‎ 底面周长等于侧面半圆周长,即 选A ‎10.已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形,侧面均为全等的直角三角形,则此棱锥的体积为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知,三棱锥除正三角形的三条边,另外三条边互相垂直且相等,再计算即可得出答案。‎ ‎【详解】由题意知三棱锥为如图所示 因为 ‎ 所以体积 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题。‎ ‎11.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4, EF⊥BA,则EF与CD所成的角为(  )‎ ‎ ‎ A. 60° B. 45° C. 30° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC中点为G,连接FG,EG.推导出∠EFG是EF与CD所成的角,由此能求出结果.‎ ‎【详解】取BC中点为G,连接FG,EG.‎ 所以有AB∥EG,‎ 因为EF⊥BA,所以EF⊥EG,‎ 因为CD=2AB=4,所以可知EG=1,FG=2,‎ 所以△EFG是一个斜边为2,一条直边为1的直角三角形.‎ EF与CD所成的角也是EF与FG所成的角.‎ 也是斜边为2与直角边为1的夹角,‎ 即EF与CD所成的角为30°.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.‎ ‎12.给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题:‎ ‎①若与为异面直线,,则;‎ ‎②若,则;‎ ‎③若,则.‎ 其中正确的个数为( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由或相交,判断①;由或异面判断②,由线面平行的性质定理判断③.‎ ‎【详解】①若与为异面直线,,则或相交,故①错误;‎ ‎②中,若,则或异面,故②错误;‎ ‎③中,根据线面平行的性质定理,同理,所以,故③正确,‎ 即正确命题的个数为1,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系判断,属于中档题 . 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,除了利用定理、公理、推理判断外,还常采用画图(尤其是画长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等;另外,若原命题不太容易判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.若,则________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数式,再取倒数相加即得.‎ ‎【详解】∵‎2a=5b=10,‎ ‎∴a=log2 10,b=log5 10,‎ ‎∴lg2,lg 5‎ ‎∴lg2+lg5=lg(2×5)=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质.属基础题.‎ ‎14.函数在定义域(—1,1)上是减函数,且,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】(0,).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的定义域和单调性,可得 ,由此求得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】∵函数f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,且f(a﹣1)>f(1﹣‎3a),‎ ‎∴,求得0<a,‎ 故答案为:(0,).‎ 点睛】本题主要考查函数的定义域和单调性,注意定义域,属于基础题.‎ ‎15.是一个平面,是两条直线,是一个点.若m⊄α,,且,,则位置关系不可能是_________.‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得n在平面上,m与平面相交,A是和平面相交的点,从而m和n 异面或相交,一定不平行.‎ ‎【详解】∵α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,‎ m⊄α,n⊂α,‎ ‎∴n在平面上,m与平面相交 ‎∵A∈m.A∈‎ ‎∴A是和平面相交的点 ‎∴m和n 异面或相交,一定不平行.‎ 故答案为:平行.‎ ‎【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查转化化归思想、数形结合思想,是基础题.‎ ‎16.已知正四棱锥的顶点均在球上,且该正四棱锥的各个棱长均为,则球的表面积为_________.‎ ‎【答案】8π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,正四棱锥P﹣ABCD的顶点均在球O上,点P在底面ABCD的投影点为O′,则AO′AC,PA=2,得球心即为O′即可求解 ‎【详解】设点P在底面ABCD的投影点为O′,则AO′AC,PA=2,PO′⊥平面ABCD,故PO′,故底面ABCD应在球的大圆上,半径AO′,O′即为球心,则球的半径R,‎ 故球O的表面积S=4πR2=8π,‎ 故答案为:8π ‎【点睛】本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.‎ 三、简答题(共70分)‎ ‎17.己知集合,‎ ‎(1)若为非空集合,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,求实数取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)若,那么,求解;‎ ‎(2)若,分,或是两种情况讨论.当时,即,当时,即或,求解.‎ 试题解析:解:(1)作出数轴可知若则有 ‎,解得:‎ 可得实数的取值范围为 ‎(2)则有如下三种情况:‎ ‎1),即,解得:;‎ ‎2),时,则有解得:无解;‎ ‎3),时,则有解得:.‎ 综上可得时实数的取值范围为 考点:集合的关系运算 ‎【易错点睛】本题主要考查了两个集合的关系,属于基础题型,第一问容易出错在有等号函数没等号上面,这就要求我们做题时要细心,第二问当时,易忽略的情况,以及时,或是一种或的关系,而不是且的关系,做题时切记或是求并集,且求交集.‎ ‎18.设,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接由求得的值; (2)由对数的真数大于0求得的定义域,判定在上的增减性,求出在上的最值,即得值域.‎ ‎【详解】解:(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎(2)由得,‎ ‎∴函数的定义域为,‎ ‎, ‎ ‎∴当时,是增函数;当时,是减函数,‎ ‎∴函数在上的最大值是.‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题,利用对数函数的真数大于0可求得定义域,利用函数的单调性可求得值域.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的零点;‎ ‎(2)若有零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用零点的定义,解方程得函数的零点;(2)若有零点,则方程有解,从而把表示为关于的函数,通过求函数的值域得的范围.‎ 试题解析:(1)时,,令,‎ 即,‎ 解得或(舍)‎ 所以,所以函数的零点为.‎ ‎(2)若有零点,则方程有解.‎ 于是,‎ 因为,所以,即,‎ 考点:1、零点的定义;2、分式型函数求值域.‎ ‎【方法点睛】(1)求函数的零点的实质就是求方程的时对应的自变量的值,需要注意的是零点是一个数值,而不是一个点,是函数与轴交点的横坐标;(2)若有零点,则方程有解,从而分离出参数,然后求出函数在给定区间上的值域,只要取这个值域内的数就可以了.‎ ‎20.如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:MN∥平面PAD;‎ ‎(2)在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取PD的中点H,易证得AMNH为平行四边形,从而证得MN∥AH,即证得结论;‎ ‎(2)由平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,利用中位线定理可确定位置.‎ ‎【详解】(1)如图,取PD的中点H, ‎ 连接AH、NH.由N是PC的中点,H是PD的中点,知NH∥DC,NH=DC.‎ 由M是AB的中点,知AM∥DC,AM=DC ‎. ‎ ‎∴NH∥AM,NH=AM,所以AMNH为平行四边形.‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,‎ 知MN∥平面PAD.‎ ‎(2)若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,‎ ‎∵M是AB中点,∴Q是PB的中点.‎ 即当Q为PB的中点时,平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行及面面平行的证明,属于基础题.‎ ‎21.如图,在直三棱柱中,,.‎ ‎(I)求证:平面;‎ ‎(II)若为的中点,求与平面所成的角.‎ ‎【答案】(I)见解析(II)与平面所成的角为 ‎【解析】‎ 试题分析:(I)根据平面,证出,结合1得到平面,从而证出1.然后在正方形中证出,可得出平面;‎ ‎(II)设与相交于点,则点是线段的中点.连接,由题意知是正三角形.可证与的交点为重心,连接.‎ 由(I)知平面,于是是与平面所成的角.在直角中.计算 正弦值即可.‎ 试题解析:(I)由题意知四边形是正方形,故.‎ 由平面,得.‎ 又,所以平面,故.‎ 从而得平面.‎ ‎(II)设与相交于点,则点是线段中点.‎ 连接,由题意知是正三角形.‎ 由,是的中线知:与的交点为重心,连接.‎ 由(I)知平面,故是在平面上的射影,于是是与平面所成的角.‎ 在直角中,,,‎ 所以.‎ 故,即与平面所成的角为.‎ 考点:直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角 ‎22. 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.‎ 求证:(1)CD⊥PD;(2)EF⊥平面PCD.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:1)证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高,中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等; (2)证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化.‎ 试题解析:(1)∵PA⊥底面ABCD,平面ABCD ‎∴CD⊥PA.‎ 又矩形ABCD中,CD⊥AD,‎ ‎∵AD∩PA=A,平面PAD,平面PAD ‎∴CD⊥平面PAD,‎ 平面PAD∴CD⊥PD.‎ ‎(2)取PD的中点G,连结AG,FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形,‎ ‎∴AG∥EF.‎ ‎∵PA=AD,G是PD的中点,‎ ‎∴AG⊥PD,∴EF⊥PD,‎ ‎∵CD⊥平面PAD,AG⊂平面PAD.‎ ‎∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD=D,平面PCD,CD平面PCD ‎∴EF⊥平面PCD.‎ 考点:线线、线面与面面关系相互转化、线面垂直 ‎ ‎
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