江苏省如皋市2019-2020学年高二上学期教学质量调研（一）数学试题

江苏省如皋市2019-2020学年高二上学期教学质量调研（一）数学试题

‎2019～2020学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）‎ 数学试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线的标准方程得到焦点在轴上以及，再直接求出其准线方程．‎ ‎【详解】解：因为抛物线的标准方程为：，焦点在轴上； 所以：，即， 所以：， 所以准线方程． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．‎ ‎2.若双曲线E：的左、右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且则（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：双曲线E：可得 ‎， 由双曲线的定义可得， 由，可得， 解得（−2舍去）． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．‎ ‎3.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知点的坐标代入双曲线方程，求得，则双曲线的渐近线方程可求．‎ ‎【详解】解：∵双曲线经过点， ∴，解得， 又，‎ ‎∴该双曲线的渐近线方程是． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．‎ ‎4.已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．‎ ‎【详解】解：椭圆的离心率为， 可得：椭圆的焦点坐标在轴上时：，‎ 解得； 椭圆的焦点坐标在轴上时：，‎ 解得． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．‎ ‎5.若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】，则，，‎ 双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，‎ 双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，‎ 焦距为，离心率为，‎ 因此，两双曲线的焦距相等，‎ 故选：D.‎ ‎6.已知椭圆()与双曲线()的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，解方程可得，再由离心率公式，化简计算可得所求值．‎ ‎【详解】解：椭圆()与双曲线()的焦点重合， 可得，即，① 若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得，② 由①②可得， 则． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，‎ 点到焦点的距离等于到准线的距离，‎ 所以，‎ 代入抛物线方程解得，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..‎ ‎8.已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，代入可求．‎ ‎【详解】解：由题意直线恒过定点 ‎ 要使直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 则只需要点在椭圆上或椭圆内， 则且 ∴． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在轴上的条件的考虑，误认为只有．‎ ‎9.已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）‎ A. B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长．‎ ‎【详解】解：双曲线，则，所以右焦点， 根据题意易得过的直线斜率存在，设为， 联立，‎ 化简得， 所以， 因为中点横坐标为4，所以，‎ 解得，所以， 则， 则． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．‎ ‎10.在平面直角坐标系中，已知是抛物线的焦点，过点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线交于点和，记的中点为，的中点为，则的最小值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出的方程，分别与抛物线联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，的坐标，进而可以求出，利用基本不等式求其最小值．‎ ‎【详解】解：由是抛物线的焦点，得，‎ 设， ‎ 联立，消去得，‎ ‎,‎ 设， ‎ 联立，消去得，‎ ‎,‎ ‎ ．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．‎ ‎11.设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.‎ ‎【详解】圆的圆心为M(0,6)，半径为，‎ 设，则， 即，‎ ‎∴当 时，，故的最大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.‎ ‎12.过点的直线与椭圆交于两点，若则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为：，与椭圆方程联立．由，可得，将其与韦达定理联立，即可解出直线的斜率．‎ ‎【详解】解：设直线的方程为：． 联立，化为：，， ． ，即 ， 即． 联立，解得． ， ∴直线的向斜率 ‎． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一点，，则的面积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，在中，，，，利用余弦定理可求得的值，从而可求得面积．‎ ‎【详解】解：∵椭圆， ． 又∵为椭圆上一点，，为左右焦点， ∴，， ， ， ． 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，过双曲线的右焦点作垂直于 轴的直线，与双曲线的渐近线交于两点，且三角形为等腰直角三角形，若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形为等腰直角三角形，可得，可得，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，进而可得到所求双曲线的方程．‎ ‎【详解】解：设双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为， 由三角形为等腰直角三角形， 可得，‎ 则，即， 则双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为， 则，可得， 所以双曲线的方程为． 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎15.如图，已知和均为等边三角形，它们的边长分别，抛物线恰好经过点，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知写出坐标，代入抛物线方程，即可求出结果．‎ ‎【详解】解：由已知，‎ 得，‎ 因为抛物线恰好经过点，‎ ‎，两式相除可得，‎ 设，则，‎ 解得：，即．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线与椭圆交于两点，当 到直线的距离为1时，则面积的最大值为_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求得长度，利用二次函数求长度最值，最后写出的面积．‎ ‎【详解】解：当直线斜率不存在时，直线的方程为：，‎ 不妨取来计算，‎ 将代入椭圆方程得：，‎ ‎；‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为：，‎ 当到直线的距离，‎ 整理得，‎ 联立，消去得，‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当，即时，取最大值4，‎ 综上，的最大值为2，‎ 面积的最大值为．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共82分）‎ ‎17.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程为，且经过点，直线交双曲线于两点，连结.‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程；‎ ‎（2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可．‎ ‎【详解】解：（1）由双曲线的渐近线方程为，‎ 设双曲线的方程为：，‎ 将点代入双曲线方程得，‎ 所以双曲线的方程为：‎ ‎（2）联立得 设，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以为渐进线的双曲线系方程可设为，为参数且不为0．‎ ‎18.已知抛物线，直线与抛物线交于两点，是抛物线准线上的点，连结.‎ ‎（1）若，求长；‎ ‎（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出，利用弦长公式即可求出结果；‎ ‎（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出的中点为的坐标，利用，斜率乘积为-1，列方程求解即可．‎ ‎【详解】解（1）设 联立，得 则，‎ 则.‎ ‎（2）设，的中点为 联立，得 则，则 则.‎ 又是以为腰的等腰三角形 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．‎ ‎19.已知分别是椭圆的左、右焦点，过且不与轴垂直的动直线与椭圆交于两点，点是椭圆右准线上一点，连结，当点为右准线与轴交点时，有.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）当点的坐标为时，求直线与直线的斜率之和.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，建立关于的关系式，变形即可求出离心率；‎ ‎（2）先根据点的坐标求出椭圆方程，设出直线与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算，整理可得结果．‎ ‎【详解】解（1）由已知当为右准线与轴交点时，有 ‎∴∴∴‎ 又，∴.‎ ‎（2）∵，∴‎ 又，∴，∴‎ ‎∴椭圆.‎ 设直线：，‎ 联立，得 则，‎ ‎∴‎ 将代入得 ‎.‎ ‎∴直线与直线的斜率之和为2.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．‎ ‎20.如图，马路南边有一小池塘，池塘岸长40米，池塘的最远端到的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路，且均与小池塘岸线相切，记.‎ ‎（1）求小路的总长，用表示；‎ ‎（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，的值.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，所需铺草坪面积最小 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出的坐标，表示出，变形即可得结果；‎ ‎（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．‎ ‎【详解】解：（1）以为原点，所在直线为轴，过点作垂直于轴的直线为轴，建立直角坐标系，所以，‎ ‎ ‎ 因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为，‎ 因为是曲线上一点，‎ 所以，即抛物线方程为.‎ 设所在的直线方程：，‎ 联立，即，‎ 因为与抛物线相切，‎ 所以①.‎ 记直线与抛物线切于点，‎ 所以点的横坐标为，即.‎ 易得点，点，由对称性可知，点.‎ 所以小路总长为，‎ 由①及可知 ‎；‎ ‎（2）记草坪面积为，梯形面积为，小池塘面积为，‎ 所以，因为小池塘面积为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小 ‎，‎ 由①知，当且仅当“”取得“＝”‎ 所以当时，梯形面积最小，即草坪面积最小．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的应用，建立适当坐标系，将长度，面积问题的计算都转化为坐标运算，是中档题．‎ ‎21.已知椭圆的焦距为2，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点（异于），连结，且斜率是斜率的3倍.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）证明：直线恒过定点.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目条件列出关于的方程，解出即可；‎ ‎（2）设出直线，和椭圆联立，利用韦达定理，求出的坐标，利用点斜式写出直线的方程，观察直线，得出直线恒过定点．‎ ‎【详解】解：（1）因为所以，即椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，直线，‎ ‎，即，‎ 所以，‎ 所以，代入直线，得，‎ 所以点，‎ 设直线，‎ ‎，即 所以，‎ 所以，代入直线，得 所以点，‎ 当斜率不存在时，，‎ 解得，此时，直线过点；‎ 当斜率存在时，‎ 所以，‎ 直线，‎ 所以直线恒过定点．‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和点斜式方程，求出直线过定点，对学生计算能力要求较高，难度比较大．‎ ‎22.已知椭圆经过点，是的一个焦点，过点的动直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在定点（异于点），对任意的动直线（斜率存在）都有，若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在这样的定点，坐标为，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目条件列出关于的方程，解出即可；‎ ‎（2）设出点，联立直线和椭圆，将用韦达定理和斜率公式变形整理，利用恒成立的意义，即可求出点的坐标．‎ 详解】解（1）由题意得，‎ 所以，‎ 即椭圆的方程为：.‎ ‎（2）假设存在这样的点，设点，点，‎ 设直线，‎ 联立，消去得，‎ 所以.‎ 因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理得：.‎ 因为任意的直线（斜率存在）都成立，‎ 所以，解得，‎ 所以存在这样的定点，坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对条件等式变形，对学生计算能力要求较高，难度比较大．‎ ‎ ‎