中考数学专题探索规律型问题图形类

中考数学专题探索规律型问题图形类

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题57：探索规律型问题(图形类）‎ 一、选择题 ‎1. （2012重庆市4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为【 】‎ ‎　　A．50　　B．64　　C．68　　D．72‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，‎ 第①个图形一共有2＝2×1个五角星，‎ 第②个图形一共有8＝2×（1+3）＝2×22个五角星，‎ 第③个图形一共有18＝2×（1+3+5）＝2×32个五角星，‎ ‎…，‎ 则第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72。故选D。‎ ‎2. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】‎ ‎ A．6 B．12 C．32 D．64‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ‎ ‎∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。‎ ‎∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。‎ 又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。‎ ‎∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。‎ ‎∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。‎ ‎∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。‎ ‎∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。‎ ‎∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。‎ 以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。‎ ‎3. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】‎ ‎　　A．2010　　B．2012　　C．2014　　D．2016‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：‎ ‎ ∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，‎ ‎∴2016既是三角形数又是正方形数。故选D。‎ ‎4. （2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【 】‎ A． B．C．D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。‎ ‎【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，‎ 第二个灯的里程数为50，‎ 第三个灯的里程数为90米 ‎…‎ 第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，‎ 由，解得，∴n=14。‎ 当n=14时，40n﹣30=530米处是灯，‎ 则510米、520米、540米处均是树。‎ ‎∴从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选B。‎ ‎5. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。‎ ‎【分析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。‎ 故AP1=，AP2=，AP3=…APn=。‎ ‎∴当n=14时，AP6=。故选A。‎ ‎6. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，‎ 可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3‎ ‎＝3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012＝【 】‎ A．2011＋671 B．2012＋671 C．2013＋671 D．2014＋671 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）‎ 的长度依次增加2， ，1，且三次一循环，按此规律即可求解：‎ ‎ ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=。‎ 根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）‎ 的长度依次增加2， ，1，且三次一循环。‎ ‎ ∵2012÷3==670…2，‎ ‎∴AP2012=670（3+ ）+2+ =2012+671 。故选B。‎ ‎7. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。‎ ‎ 根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。‎ ‎ ∴AG=AH=。‎ ‎ 又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。‎ ‎ ∴GH=AG=AH=。EF= GH－GE－FH=。‎ ‎ ∴第2个等边三角形的边长为。‎ ‎ 同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。‎ ‎ 又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，‎ ‎ ∴第6个正六边形的边长是。故选A。‎ ‎8. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．‎ 把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C ‎－D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】‎ ‎ A．(1，－1) 　　B．(－1，1) C．(－1，－2) 　D．(1，－2)‎ ‎9. （2012湖北荆门3分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】‎ A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：‎ 第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，‎ 第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，‎ ‎…，‎ 依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，‎ 所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。‎ ‎10. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1‎ 交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA。‎ ‎ ∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°。∴∠ADO=∠BAA1。‎ ‎∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1。∴。‎ ‎∵AB=AD=，∴BA1=。‎ ‎∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，面积是。‎ 同理第3个正方形的边长是，面积是： 。‎ 第4个正方形的边长是，面积是 ‎…‎ 第2012个正方形的边长是 ，面积是。故选D。‎ ‎11. （2012湖北荆州3分）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②‎ ‎；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】‎ A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：‎ 第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，‎ 第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，‎ ‎…，‎ 依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，‎ 所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。‎ ‎12. （2012湖南常德3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为【 】‎ ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。‎ ‎【分析】寻找规律，从两方面考虑：‎ ‎ （1）每个图形中每一条短线段的长：图2中每一条短线段的长为，图3‎ 中每一条短线段的长为，图4中每一条短线段的长为。‎ ‎ （2）每个图形中短线段的根数：图2中有4根，图3中有16根，图4中有64根。‎ ‎ ∴图4中的折线的总长度为。故选D。‎ ‎【推广到一般，图n中的折线的总长度为】‎ ‎13. （2012湖南永州3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律：因棋子移动了k次后走过的总角数是1+2+3+…+k=k（k+1），‎ ‎ 当k=1时，棋子移动的总角数是1，棋子移动到第1号角；‎ ‎ 当k=2时，棋子移动的总角数是3，棋子移动到第3号角；‎ 当k=3时，棋子移动的总角数是6，棋子移动到第6号角；‎ 当k=4时，棋子移动的总角数是10，棋子移动到第10－7=3号角；‎ 当k=5时，棋子移动的总角数是15，棋子移动到第15－2×7=1号角；‎ 当k=6时，棋子移动的总角数是21，棋子移动到第21－3×7=0号角；‎ 当k=7时，棋子移动的总角数是28，棋子移动到第28－4×7=0号角。‎ 发现第2，4，5角没有停棋。‎ 当k=7n＋t（n≥0，1≤t≤7，都为整数）时，棋子移动的总角数是 ‎，‎ ‎∵中和是连续数，∴是7的倍数。‎ ‎∴是7的倍数。‎ ‎∴棋子移动的位置与k=t移动的位置相同。‎ 故第2，4，5格没有停棋，即这枚棋子永远不能到达的角的个数是3。故选D。‎ ‎14. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】‎ ‎　　A．54　　B．110　　C．19　　D．109‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律：‎ ‎ 第①个图形中有1个平行四边形；‎ 第②个图形中有1+4=5个平行四边形；‎ 第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；‎ 第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；‎ ‎…‎ 第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；‎ 则第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形。故选D。‎ ‎15. （2012山东日照4分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。‎ ‎【分析】寻找规律：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，‎ ‎∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。‎ 又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。‎ 又∵AB=1，∴C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。‎ 同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，……正方形AnBnCnDn的边长为。故选B。‎ ‎16. （2012山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【 】‎ ‎　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为5：‎ 故选C。‎ ‎17. （2012山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【 】‎ ‎(A)2 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎【答案】 B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。‎ ‎【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为7，相接触的两个面上的数字的积为6，结合左视图知，几何体下面5个小立方体的左边的数字是1，右边的数字是6；结合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是3，反面的数字是4；根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是2（如图）。‎ ‎ 根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右上方的小立方体下面的数字是3；根据任意两对面上所写的两个数字之和为7，几何体右上方的小立方体上面的数字是4。‎ ‎ ∴俯视图上“※”所代表的数是4。故选B。‎ ‎18. （2012山东济南3分）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是【 】‎ A．（2，0）　B．（－1，1）　C．（－2，1）　D．（－1，－1）‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，相遇问题及按比例分配的运用。‎ ‎【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每 一次相遇的地点，找出规律作答：‎ ‎∵ 矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，‎ ‎∴物体甲与物体乙的路程比为1：2。由题意知：‎ ‎①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；‎ ‎②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；‎ ‎③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；‎ ‎…‎ 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，‎ ‎∵2012÷3=670…2，‎ 故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇。‎ 此时相遇点的坐标为：（－1，－1）。故选D。‎ ‎19. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4…，则点A30的坐标是【 】‎ ‎　　A．（30，30）　　B．（﹣8，8）　　C．（﹣4，4）　　D．（4，﹣4）‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。‎ ‎【分析】∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而30÷4=7余2，‎ ‎∴A30在直线y=﹣x上，且在第二象限。‎ 即射线OA30与x轴的夹角是45°，如图OA=8，∠AOB=45°，‎ ‎∵在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，‎ ‎∴OA30=8。‎ ‎∵A30的横坐标是﹣8sin45°=﹣4，纵坐标是4，即A30的坐标是（﹣4，4）。‎ 故选C。‎ 二、填空题 ‎1. （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．‎ ‎【答案】4n﹣2。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形2+4=6个，第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，···那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个。‎ ‎2. （2012广东广州3分）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，‎ 以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；‎ 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；‎ 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；‎ 以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，‎ ‎…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 ▲ 　倍，第n个半圆的面积为 ‎　 ▲ 　（结果保留π）‎ ‎【答案】4；。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法。‎ ‎【分析】由已知，第3个半圆面积为：，第4个半圆的面积为：，‎ ‎ ∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍。‎ ‎ 由已知，第1个半圆的半径为，第2个半圆的半径为，第3个半圆的半径为，‎ ‎······第n个半圆的半径为。‎ ‎ ∴第n个半圆的面积是。‎ ‎3. （2012广东梅州3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　 ▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　 ▲ 点．‎ ‎【答案】7；E。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；‎ ‎②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，‎ ‎ ∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。‎ ‎4（2012广东湛江4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=　 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。‎ ‎【分析】分析规律：‎ ‎ ∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。‎ 同理 ‎∴。‎ ‎5. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 ▲ （用含n的代数式表示）‎ ‎【答案】或。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎6. （2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .‎ ‎【答案】365。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。寻找规律，‎ ‎【分析】画树状图：记第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是an，则 ‎ ∴an－an－1=4（n－1）（n=2，3，4，···），‎ ‎ ∴（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋···＋（an－an－1）=4＋8＋···＋4（n－1），‎ ‎ 即an－a1=4[1＋2＋3＋···＋（n－1）]=‎ ‎ ∴an=＋a1=。‎ ‎ 当n=14时，a14 =。‎ ‎7. （2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是 ▲ ‎ ‎【答案】（16，）。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标：‎ ‎ 如图，作BC的中垂线交BC于点D，则 ‎ ∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），‎ ‎ ∴BD=1，。∴A（—2，）。‎ ‎ 根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，），当n为偶数时为（2n－2， ）。‎ ‎ ∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，）。‎ ‎8. （2012江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点　 ▲ 　．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。‎ ‎【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。‎ ‎ ∴正六边形滚动一周等于6。如图所示。‎ 当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、F的纵坐标为2。‎ 位置1时，点A的横坐标也为2。‎ 又∵（45－2）÷6=7…1，‎ ‎∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。‎ ‎∴会过点（45，2）的是点B。‎ ‎9. （2012广东河源4分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开 始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了 ▲ cm；‎ ‎②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 ▲ 点．‎ ‎【答案】7；E。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；‎ ‎②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，‎ ‎ ∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。‎ ‎10. （2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点 B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，△A1C1B的面积 记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的 面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝A3M，△A3C3B 的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。‎ ‎【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C1F⊥BM于点F，‎ ‎∵点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，‎ ‎∴OB×DM=1。∴。‎ ‎∵A1C1=A1M，即C1为A1M中点，‎ ‎∴C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵A2C2＝A2M，∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的。‎ ‎∴。‎ 同理可得：S3=，S4=，…‎ ‎∴。‎ ‎11. （2012湖北鄂州3分）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，……，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ▲ 。点C2012的坐标是 ▲ 。‎ ‎【答案】2；（22011，－22011）。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形的旋转变化，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】在△OBC中，∵OB=1，BC=，∴tan∠COB=。∴∠COB=60°，OC=2。‎ ‎∵OB1=mOB，OB1=OC，∴mOB=OC，即m=2。‎ ‎∵每一次的旋转角是60°，∴旋转6次一个周期（如图）。‎ ‎∵2012÷6=335…2，‎ ‎∴点C2012的坐标跟C2的坐标在一条射线OC6n+2上。‎ ‎∵第1次旋转后，OC1=2；第2次旋转后，OC1=22；第3次旋转后，OC3=23；···第2012次旋转后，OC2012=22012。‎ ‎∵∠C2012OB2012=60°，∴OB2012=22011。B2012C2012==22011。‎ ‎∴点C2012的坐标为（22011，－22011）。‎ ‎12. （2012湖北随州4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为 ▲ .‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化），直线的确定，解一元二次方程。‎ ‎【分析】根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把15代入所得关系式进行解答即可：‎ ‎∵平面内不同的两点确定1条直线，，‎ 平面内不同的三点最多确定3条直线，即，‎ 平面内不同的四点最多确定6条直线，即，‎ ‎∴平面内不同的n点最多确定（n≥2）条直线。‎ ‎∴平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，，解得n=－5（舍去）或n=6。‎ ‎13. （2012湖南岳阳3分）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=　 ▲ 　（用含n的代数式表示）．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形和数字的变化类）。‎ ‎【分析】寻找圆中下方数的规律：‎ ‎ 第一个圆中，8=2×4=（3×1－1）（3×1＋1）；‎ ‎ 第二个圆中，35=5×7=（3×2－1）（3×2＋1）；‎ 第三个圆中，80=8×10=（3×3－1）（3×3＋1）；‎ ‎······‎ 第n个圆中，。‎ ‎14. （2012湖南娄底4分）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“”，共　 ▲ 　个．‎ ‎【答案】503。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】由图知4个图形一循环，因为2012被4整除，从而确定是共有第503♣。‎ ‎15. （2012四川达州3分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如 图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ . ‎ ‎【答案】210。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202—192，因此，图中阴影部分的面积为：‎ ‎（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）‎ ‎=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）‎ ‎=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20=210。‎ ‎16. （2012四川内江6分）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】如图，延长MnPn-1交M1P1于N， ‎ ‎∵当x=1时，y=1，∴M1的坐标为（1，1）；‎ ‎∵当x=n时，y=，∴Mn的坐标为（n，）。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎17. （2012四川乐山3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：‎ ‎（1）∠A1= ▲ 　；（2）∠An= ▲ 　．‎ ‎【答案】；。‎ ‎【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，‎ ‎∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD。‎ 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，‎ ‎∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1。∴∠A1=∠A。‎ ‎∵∠A=，∴∠A1=。‎ ‎（2）同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，∴∠An=。‎ ‎18. （2012四川泸州3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…‎ ‎△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ▲ 。(用含n的式子表示)‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，‎ ‎∴S1＝×B1C1×B1M1＝×1×＝，，‎ ‎，，‎ ‎……，。‎ ‎∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴，即 ‎。‎ ‎∴。‎ ‎19. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD。‎ ‎∵∠A=60°，∴△ACD是等边三角形。‎ 同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形。‎ ‎∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，‎ ‎∴第一个等边三角形的边长CD=DB=AB=AC=a，‎ 第二个等边三角形的边长EF=DB=a，‎ ‎…‎ 第n个等边三角形的边长为a。‎ ‎∴第n个三角形的面积=。　‎ ‎20. （2012辽宁阜新3分）如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），三角形中位线定理，负整指数幂，同底数幂的乘法和幂的乘方。‎ ‎【分析】寻找规律：由已知△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32×；‎ ‎ 同理，第3个三角形的周长为32××=32×；‎ ‎ 第4个三角形的周长为32××=32×；‎ ‎ …‎ ‎ ∴第n个三角形的周长为=32×。‎ ‎21. （2012辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面 积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到 的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 ▲ _。‎ ‎（n≥2，且n是正整数）‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），菱形和矩形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】观察图形发现，第2个图形中的阴影部分的面积为，‎ 第3个阴影部分的面积为 ，‎ ‎…‎ 第n个图形中的阴影部分的面积为。‎ ‎22. （2012辽宁锦州3分）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,…,AnBnBn+1Cn，按如图 所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°，‎ OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2，S3，…，Sn,则Sn= ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形和等腰直角三角形的性质，幂的运算。‎ ‎【分析】根据正方形的性质，知 ‎ 正方形A1B1B2C1的边长为1；正方形A2B2B3C2的边长为2；正方形A3B3B4C3的边长为4；正方形A4B4B5C4的边长为8；……正方形AnBnBn+1Cn的边长为。‎ ‎ 根据等腰直角三角形的性质，得Sn=。‎ ‎23. （2012辽宁铁岭3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、‎ C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形 AnBnCnDn的面积为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化），菱形的性质，平行四边形、梯形的判定和性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，∴A1H=B1H，C1F=D1F。‎ 又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1=C1D1。∴A1H=C1F。‎ 又A1H∥C1F，∴四边形A1HC1F为平行四边形。∴。‎ 又，∴。‎ 又GD1=B1E，GD1∥B1E，∴GB1ED1为平行四边形。∴GB1∥ED1。‎ 又G为A1D1的中点，∴A2为A1D2的中点。‎ 同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点。‎ ‎∴HB2=A1A2，D2F=C1C2。‎ 又∵A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 又∵，‎ ‎∴。‎ 同理。‎ 以此类推得四边形AnBnCnDn的面积为。‎ ‎24. （2012贵州贵阳4分）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰三角形的性质，三角形的外角性质。‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数：‎ ‎∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A=。‎ ‎∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=。‎ 同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，······‎ ‎∴∠An=。‎ ‎25. （2012贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 ▲ 个小正方形。‎ ‎【答案】100。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律：‎ ‎ 第1个图案中共有1=12个小正方形；第2个图案中共有4=22个小正方形；‎ 第3个图案中共有9=32个小正方形；第4个图案中共有16=42个小正方形；‎ ‎……‎ ‎∴第10个图案中共有102=100个小正方形。‎ ‎26. （2012贵州黔东南4分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有　 ▲ 　个相同的小正方形．‎ ‎【答案】n（n+1）。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律：‎ 第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2， ‎ 第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，‎ 第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，‎ 第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5，‎ ‎…，‎ 按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形。‎ ‎27. （2012山东莱芜4分）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标 记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在射线 ▲ 上．‎ ‎【答案】AB。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律，从图示知，各点按16次一循环：‎ ‎ A1、A3、A10、A12、…在射线AB上；A2、A4、A9、A11、…在射线DC上；‎ ‎ A5、A7、A14、A16、…在射线BD上；A6、A8、A13、A15、…在射线CA上。‎ ‎ ∵2012÷16=125……12，∴点A2012与A12位置相同，即在射线AB上。‎ ‎28. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n－1)= ▲ .(用n表示，n是正整数)‎ ‎【答案】n2。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】由图可知：‎ ‎ 当k=1时，面积为12=1；当k=2时，面积为1＋3=22=4；当k=3时，面积为1＋3＋5=32=9；‎ 当k=4时，面积为1＋3＋5＋7=42=16；······‎ 当k=n时，面积为1＋3＋5＋···＋（2n－1）=n2。‎ ‎29. （2012山东德州4分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】（2，1006）。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，等腰直角三角形的性质。‎ ‎【分析】∵2012是4的倍数，∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，‎ ‎∴A2012在x轴上方，横坐标为2。‎ ‎∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，‎ ‎∴A2012的纵坐标为2012×=1006。∴A2012的坐标为为（2，1006）。‎ ‎30. （2012山东东营4分） 在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，···和B1，B2，B3，···分别在直线和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2，那么点的纵坐标是 　▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一次函数综合题，分类归纳（图形的变化类），直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的性质。‎ ‎【分析】利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律：‎ ‎∵A1（1，1），A2在直线y=kx+b上，‎ ‎∴ ，解得。‎ ‎∴直线解析式为。‎ 如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为A、D。‎ 当x=0时，y= ，当y=0时，，解得x=－4。‎ ‎∴点A、D的坐标分别为A（－4，0 ），D（0，）。∴。‎ 作A1C1⊥x轴与点C1，A2C2⊥x轴与点C2，A3C3⊥x轴与点C3，‎ ‎∵A1（1，1），A2，‎ ‎∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×=2+3=5，。‎ ‎∵△B2A3B3是等腰直角三角形，∴A3C3=B2C3。∴。‎ 同理可求，第四个等腰直角三角形。‎ 依次类推，点An的纵坐标是。‎ ‎31. （2012山东泰安3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ▲ ．‎ ‎【答案】45。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。‎ ‎【分析】观察图形可知，到每一横坐标结束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可：‎ 横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，‎ 横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，‎ 横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，‎ 横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，‎ ‎…‎ 横坐标为n的点结束，共有n2个。‎ ‎∵452=2025，∴第2025个点是（45，0）。‎ ‎∴第2012个点是（45，13），即第2012个点的横坐标为45。‎ ‎32. （2012山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为300。线段A1A2=1，A1A2⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A2A3⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A3A4⊥A2A3，垂足为A3；···按此规律，点A2012的坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标和图形。含30度角直角三角形的性质。‎ ‎【分析】寻找规律：如图，过点A1，A2作x轴的垂线于点B，D，过点A1作y轴的垂线于点C，A1C和A2D相交于点E。‎ ‎ 由已知可知，△OA1B和△A2EA1都是含300角的直角三角形。‎ ‎ ∴OB=EA2=，EA1= BA1=DE=。‎ ‎ ∴A2的横坐标为，纵坐标为。‎ ‎ 由已知可知，点A4的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的2倍；点A6的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的3倍；点A8的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的4倍；…‎ ‎ ∴点A2012的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的1006倍，‎ ‎ 即横坐标为，纵坐标为。‎ ‎ ∴点A2012的坐标为。‎ ‎33. （2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部 分小正方形的个数是 ▲ ．‎ ‎【答案】n2＋n＋2。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一排的部分和最右一排的部分：‎ 除最右一排的小正方形个数 最右一排的小正方形个数 合计小正方形个数 第1个图 ‎1=12‎ ‎3‎ ‎4=12＋3‎ 第2个图 ‎4=22‎ ‎4=3＋1‎ ‎8=22＋3＋1‎ 第3个图 ‎9=32‎ ‎5=3＋2‎ ‎14=32＋3＋2‎ ‎···‎ ‎···‎ ‎···‎ ‎···‎ 第n个图 n2‎ ‎3＋n－1= n＋2‎ n2＋n＋2‎ ‎34. （2012广西南宁3分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ▲ ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ▲ ．‎ ‎35. （2012云南省3分）观察下列图形的排列规律（其中、、分别表示三角形、正方形、五角星），若第一个图形是三角形，则第18个图形是 ▲ .（填图形名称）‎ ‎ ‎ ‎【答案】五角星。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】图形的排列规律是6的循环，而余数为，所以第18个图形也就是第六个图形，即五 角星。‎ ‎36. （2012青海省2分）观察下列一组图形：‎ 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．‎ ‎【答案】3n+1。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类）。190187‎ ‎【分析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，‎ 第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，‎ 第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，‎ 第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，‎ ‎…‎ 依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1。　‎ ‎37. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为 ▲ ‎ ‎【答案】（－21006，－21006）。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，幂的乘方运算法则和二次根式的化简。‎ ‎【分析】分OBi的长度和点Bi的位置分别寻找规律：‎ ‎ 由正方形边长为1，根据勾股定理可得 OB=，OB1=2=，OB2=2=，‎ OB3=·=，……OB2012=。‎ ‎ 如图，点Bi的位置为i=8一个周期。‎ ‎ ∵2012÷8=251……4，‎ ‎ ∴点B2012的坐标与点B4的坐标位置相同，都在第三象限。‎ ‎ 由正方形的性质可知△OB2011B2012是等腰直角三角形。‎ ‎ ∴B2011B2012=O B2011=。‎ ‎ ∴点B2012的坐标为（－21006，－21006）。‎ ‎38. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x 轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 ▲ (n为正整数)。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分类归纳（图形变化类），一次函数综合题，等腰直角三角形的性质。‎ ‎【分析】寻找规律： 由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，…，Bn是直线y=x上的点，‎ ‎∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且 A2B2=OA2=OB1=OA1；‎ A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；‎ A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；‎ ‎……‎ ‎。‎ 又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1。∴，即点Bn的纵坐标为。‎ 三、解答题 ‎1. （2012安徽省8分）在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，‎ ‎（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：‎ m n m＋n f ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________（不需要证明）；‎ ‎（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，‎ ‎【答案】解：（1）如表：‎ m n m＋n f ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ f=m＋n－1‎ ‎（2）当m、n不互质时，上述结论不成立，如图2×4：‎ ‎2×4‎ ‎【考点】作图（应用与设计作图），分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】（1）通过题中所给网格图形，先计算出2×5，3×5，对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m、n的关系式。‎ ‎（2）根据题意，画出当m、n不互质时，结论不成立的反例即可。‎ ‎2. （2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：‎ ‎（1）第5个图形有多少黑色棋子？‎ ‎（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）寻找规律：‎ ‎ 第一个图需棋子6=3×2，‎ ‎ 第二个图需棋子9=3×3，‎ 第三个图需棋子12=3×4，‎ 第四个图需棋子15=3×5，‎ ‎∴第五个图需棋子3×6=18。‎ 答：第5个图形有18颗黑色棋子。‎ ‎（2）由（1）可得，第n个图需棋子3（n+1）枚 设第n个图形有2013颗黑色棋子，‎ 则3（n+1）=2013 ，解得n=670。‎ 答：第670个图形有2013颗黑色棋子。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），一元一次方程的应用。‎ ‎【分析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案。‎ ‎（2）根据（1）所找出的规律，列出方程，即可求出答案。‎ ‎3. （2012浙江衢州10分）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：‎ ‎（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．‎ ‎（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：‎ 第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；‎ 第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；‎ 第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．‎ 请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．‎ ‎（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．‎ ‎【答案】解：（1）证明： ∵矩形ABCD是标准纸，∴。‎ 由对开的含义知：AF=BC，∴。‎ ‎∴矩形纸片ABEF也是标准纸。‎ ‎（2）是标准纸，理由如下：‎ 设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM。‎ ‎∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°。‎ ‎∴△ADG是等腰直角三角形。‎ ‎∴在Rt△ADG中，AD=，‎ ‎∴，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸。‎ ‎（3）对开次数：‎ 第一次，周长为：，‎ 第二次，周长为：，‎ 第三次，周长为：，‎ 第四次，周长为：，‎ 第五次，周长为：，‎ 第六次，周长为：，‎ ‎…‎ ‎∴第5次对开后所得标准纸的周长是：，‎ 第2012次对开后所得标准纸的周长为：。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，矩形的性质，图形的剪拼，分类归纳（图形的变化类）。‎ ‎【分析】（1）根据，得出矩形纸片ABEF也是标准纸。‎ ‎ （2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出，即可得出答案。‎ ‎（3）分别求出每一次对折后的周长，从而得出变化规律求出即可：观察变化规律，得 ‎ 第n次对开后所得标准纸的周长=。‎ ‎4. （2012江苏淮安12分）‎ 阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角。‎ 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况。情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合。‎ 探究发现 ‎（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）‎ ‎（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系。‎ 根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C不妨设 ‎∠B>∠C）之间的等量关系为 ‎ 应用提升 ‎（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为150，600，1050，发现600和1050的两个角都是此三角形的好角，‎ 请你完成，如果一个三角形的最小角是40，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角 ‎【答案】解：（1）是。 （2）∠B=3∠C。‎ 如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平 分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角。‎ 证明如下：‎ ‎∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，‎ ‎∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C。‎ ‎∵根据四边形的外角定理知，‎ ‎∠BAC+∠B+∠AA1B1－∠A1 B1C=∠BAC+2∠B－2C=180°，‎ 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴∠B=3∠C。‎ 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C。‎ ‎（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，‎ ‎∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角。‎ ‎∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是88°、88°。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），新定义，翻折变换（折叠问题），折叠的性质，三角形的内角和外角定理。‎ ‎【分析】（1）理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，‎ ‎∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1。‎ 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C。∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C。故答案是。‎ ‎（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B－2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C。‎ 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；‎ 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；‎ 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；‎ 利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C。‎ ‎（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，然后三角形内角和定理可求得另外两个角的度数可以是88°、88°。‎ ‎5. （2012山东青岛10分）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？‎ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：‎ 探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互 不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．‎ 探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个 互不重叠的小三角形？‎ 在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种 情况：‎ 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△PAC的内部，如图②；‎ 另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在PA 上，如图③．‎ 显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．‎ 探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC分割成 个 互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．‎ 探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成 个 互不重叠的小三角形．‎ 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成 ‎ 个互不重叠的小三角形．‎ 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成 ‎ 个互不重叠的小三角形．‎ 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互 不重叠的小三角形？(要求列式计算)‎ ‎【答案】解：探究三： 7。分割示意图如下（答案不唯一）：‎ 探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1－1），‎ 三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），‎ 三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），‎ ‎…，‎ 所以，三角形内部有m个点时，共分割成3＋2（m－1）=2m+1部分。‎ 探究拓展：2m＋2。‎ 问题解决： 2m＋n－2。‎ 实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得 ‎2m＋n－2=2×2012＋8－2=4024＋8－2=4030。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），作图（应用与设计作图）。‎ ‎【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可。‎ 探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可。‎ 探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解。‎ 问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解。‎ 实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解。‎ ‎6. （2012山东日照10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.‎ ‎（Ⅰ)探究新知：‎ 如图① ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..‎ ‎（1）求证内切圆的半径r1=1; ‎ ‎（2）求tan∠OAG的值；‎ ‎（Ⅱ）结论应用 ‎（1）如图②若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；‎ ‎（2）如图③若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF。‎ ‎ ∵点E、F、G是⊙O的切点 ‎ ‎ ∴四边形CEOF是正方形， CE=CF=r1。‎ 又∵AC=3，BC=4，AB=5，‎ ‎∴AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5。‎ ‎∴（3－r1）＋（4－r1）=5，解得r1=1。 ‎ ‎（2）连接OG，OA在Rt△AOG中，∵OG=r1=1， AG= 3－r1=2，‎ ‎∴tan∠OAG=。‎ ‎（Ⅱ）（1）连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E。‎ 则 AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。‎ 由（Ⅰ）tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，‎ 同理可得：tan∠O2BE=。 ‎ ‎ ∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2。‎ ‎∵AD＋DE＋BE=5，∴。‎ ‎（2）如图③，连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnF⊥AB交于点F。‎ ‎ 则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC。‎ tan∠O1AD=，tan∠OnBF=,‎ ‎ ∴AD=2rn，DE=2rn，…,FB=3rn。‎ 又∵AD+DE+…+FB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，即(2n+3) rn=5，‎ ‎∴。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），切线的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。 ‎ ‎【分析】（Ⅰ）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3－r1，BG=BF=4－r1，AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。‎ ‎（2）根据锐角三角函数定义直接求得。‎ ‎（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）的结论得tan∠O1AD=，同理可推得tan∠O2BE=，从而由AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2和AD＋DE＋BE=5可求得r2的值。‎ ‎（2）由（Ⅱ）（1）有tan∠O1AD=，tan∠OnBF=,从而由AD=2rn，DE=2rn，…,FB=3rn和AD+DE+…+FB=5，2rn+2rn+…+3rn=5可求得rn的值。‎ ‎7. （2012山东济宁6分）问题情境：‎ 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？‎ 建立模型：‎ 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．‎ 解决问题：‎ 根据以上步骤，请你解答“问题情境”．‎ ‎【答案】解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：（1，4）、（2，7）、（3，10）、（4，13）依次连接以上各点，所有各点在一条直线上，‎ ‎ 设直线解析式为y=kx+b，把（1，4）、（2，7）两点坐标代入得 ‎，解得。∴y=3x+1。‎ 验证：当x=3时，y=10；当x=4时，y=13，∴（3，10）、（4，13）也在这条直线上。‎ 当x=2012时，y=3×2012+1=6037。‎ 答：第2012个图有6037枚棋子。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数的应用。‎ ‎【分析】画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进而把x=2012代入可得相应的棋子数目。‎