高考复习——机械能典型例题复习

高考复习——机械能典型例题复习

六、机械能 一、知识网络 基本概念 定义 物理意义 表示 功 力与力方向上位移的乘积 力对空间（位移）的积效果 W=F·s cosα 功率 功与做功对应时间的比值 做功的快慢 P==F·v·‎ 动能 由于运动具有的能 反映物体处于某运动的快慢时所具有能的多少 Ek=mv2‎ 重力势能 地球上物体具有的与高度有关的能 反映物体处于某相对高度时具有能的多少 EB=mgh 弹性势能 由于发生弹性形变具有的能 反映弹性形变物体储藏的势能及对外做功的能力大小 EB= kx2‎ 机械能 动能和势能（重力势能和弹性势能）统称机械能 反映机械运动中对外做功能力的大小 E机＝Ｅk＋Ｅp 基本规律 内容 适用条件 表示 动能定理 外力对物体所做总功等于物体的能的变化量 不管恒力、变力做功；不管直线、曲线运动都适用 W总=Ek2-Ek1‎ ‎=mv22-‎ mv21‎ 机械能守恒定律 只有重力做功，物体机械能守恒 只有重力做功才适用 E初=E末 能的转化和守恒定律 能量既不能凭空产生，也不能无影无踪的消失，不同形式的能量在相互转化中守恒 整个自然界，整个宇宙普遍适用 E=C（常数）或 ‎△E=0‎ 概念 ‎1、功：‎ ‎⑴功的概念：一个物体在力的作用下，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。这里特别强调：力和在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素。‎ ‎⑵功的公式：力对物体所做的功（W）、等于力的大小（F）、位移的大小（s）、力的方向和位移方向间的夹角的余弦三者的乘积。‎ ‎⑶功是标量：功是由力的大小和位移的大小确定的，它没有方向，是个标量，‎ ‎⑷功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号J。1J就1N的力使物体在力的方向上发生1m位移所做的功。‎ ‎ （请注意千万不要把力矩的单位与功的单位相混淆）‎ ‎⑸功的正负：当时F做正功，当时F不做功，当时F做负功。‎ ‎⑹什么叫克服阻力做功：‎ a. 力对物体做负功时，通常也可说成是物体克服阻力做功。如刹车时摩擦力对汽车做负功，意味着汽车克服摩擦力做功；重力对竖直上抛物体做负功，意味着物体克服重力做功，计算物体克服某个力所做的功时，其值要取绝对值。‎ b. 另一种是外力克服阻力做功。如我们把一个质量为m的物体匀速举高时。我们必须用一个与物体所受到力G=mg大小相等、方向相反的外力，克服重力做功，物体被举高为h时，外力克服重力所做的功为W=mgh。‎ ‎⑺一对作用力和反作用力做功的特点：‎ ‎①一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。‎ ‎②一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。‎ ‎⑻关于摩擦力或介质阻力做功的特点：摩擦力做功的大小是摩擦力与所作用的物体 在力的方向上通过的路程，而非位移。‎ ‎⑼在两个接触面上因相对滑动而产生的热量：Q=f滑s相对，其中f滑为滑动摩擦力，s相对为接触物的相对位移。‎ ‎2、功率：‎ ‎⑴功率的概念：功率是表示物体（施力物）做功快慢的物理量，表示了单位时间内，施力物做功的多少。是用功与完成这些功所用时间的比值表示。‎ ‎⑵功率的公式：‎ ‎ 该式表示了在某一段时间t内物体做功的平均功率。当力的方向和位移的方向一致时，上式中的W=Fs，则：‎ 重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。‎ ‎⑶功率的单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特。‎ ‎1瓦特=1焦耳/秒，符号：1W=1J/s 除了“瓦”这个单位以外，技术上常用“千瓦”（KW）做功率的单位。‎ ‎⑷公式P=Fv 中三个物理量的相依关系：‎ 当力F与物体运动方向相同时，P=Fv，在功率一定的情况下，力越大，速度就越小，如汽车从平地开始上坡时，在保持发动机功率不变的条件下，需换档降低速度以增大牵引力。在力大小不变时，功率越大，速度越大，如在竖直方向上匀速吊起重物，起重机输出功率越大，起吊速度就越大。保持速度不变时，功率越大，力越大，如汽车从平路转入上坡时，要保持速度不变，就需要加大油门增大牵引功率以增大牵引力。‎ ‎⑸注意区别P=、P=Fvcosα、P=Fv三个公式的适用范围：‎ 对P=，P是时间t内的平均功率；对P=Fvcosα，若v是瞬时速度，P是瞬时功率，若v是平 均速度，P是平均功率；对P=Fv，F与v必须同方向，功率P与速度对应，即瞬时速度对应瞬时 功率，平均速度对应平均功率。‎ ‎⑹额定功率：任何一个动力机器，它的功率都是有一定的限制的，这就是该机器的额定功率，额定功率都要在铭牌上标明，机器工作时受额定功率的限制。而机器功率的发挥是可以人为控制的。如汽车可通过控制给油的多少（油门），确定功率的大小。但功率不管如何改变，功率的最大值是额定功率。‎ ‎⑺关于机车的两种起动方式：⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma v a f F ‎①以额定功率起动：由公式P=Fv和F-f=ma知a= ，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。‎ ‎②以加速度a匀加速起动：由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fžs计算，不能用W=Pžt计算（因为P为变功率）。例题：解析：‎ ‎ 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。‎ θ L m F 例题：如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有 A. B. C. D.‎ 解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D ‎⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B ‎⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D ‎ 在第三种情况下，由=，可以得到，可见在摆角为时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。‎ 例题：质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？ ‎ 解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=fžvm，而速度为v时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2‎ ‎3、功和能：‎ ‎⑴能的最基本性质：能就是指能量，如果物体能够做功，就说这个物体。如水流的机械能，带动水轮机发电，这是机械能转化为电能；电动机能电后，把电能转变成机械能；大力发电是把热能转化成电能，电热取暖则又是把电能转化成热能；这些现象都告诉了我们各种不同形式的能是可以互相转化的，而且在转化过程中，能的总量是守恒的。这就是能的最基本性质。‎ ‎⑵功和能的关系：功是能量转化的量度 ‎①做功的过程就是能的转化过程，能的转化是通过做功来实现的。‎ ‎②做多少功就有多少能量发生转化(用功的数值来量度能量转化的多少)‎ ‎4、动能：‎ ‎⑴动能：物体由于运动而具有的能量。‎ 一个物体由静止开始运动，必须受有外力的作用，那么这个外力做了多少功，就表示了有多少其它形式能量转化为物体的动能了。我们利用这个办法可求出物体的动能。‎ ‎⑵动能公式的推导：在光滑的水平面上有一个质量为m的静止物体，在水平恒力作用下开始运动，经过一段位移S，达到速度为。在此过程中：‎ 外力做功W=Fs 物体的动能EK 功是能量转化的量度 ‎ EK= W=Fs ‎．‎ ‎⑶动能公式： 即物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积的一半。‎ ‎⑷动能是标量，在国际单位制中，动能的单位是焦耳（J）。‎ ‎⑸关于物体动能的变化：‎ ‎①速度是一个描述物体运动状态的物理量，动能也是一个描述物体运动状态的物理量。速度变化时，动能不一定变化。如物体做圆周运动时，虽然速度在变化，但动能是恒量。可是动能变化时，速度一定发生变化。如物体做自由落体运动，物体动能变化，其运动速度也在变化。‎ ‎②物体在一直线上运动时，其速度有正、负之分（表示方向），但物体的动能却永远是正值。可是动能的变化量可以有正负。‎ 动能的变化量表示了运动物体的终了状态的动能减去其初始状态的动能。‎ 如汽车加速运动，，则动能变化量为正值。‎ 若汽车做减速运动，即，则其动能变化量为负值。‎ ‎③物体动能的变化是与外力做功有关的，这个“功”，指的是合外力做的功，或合功。如果以动力做功为主，则物体动能变化量为正。若以阻力做功为主，则物体动能变化量为负。‎ ‎5、势能：‎ ‎⑴势能的概念：相互作用的物体间，由其相对位置所决定的能量。‎ ‎⑵势能和种类：有重力势能和弹性势能等。‎ 重力势能：地球与地球附近的物体之间由于重力的作用而是有的势能。‎ 弹性势能：物体发生弹性形变时，由于其各部分间存在弹力的相互作用的是有的势能。‎ ‎⑶重力势能：公式Ep=mgh ‎①表示物体的重力势能等于物体的质量、重力加速度和它所处的高度三者的乘积。‎ ‎②根据功是能量转化的量度，也可以看做是外力把物体举高了h，外力做功W=mgh全转化成物体的重力势能，即Ep=mgh。‎ ‎③重力势能是标量。在国际单位制中，它的单位跟功的单位相同：焦耳（J）。‎ ‎④公式中h的含义要特别注意：‎ 重力势能公式Ep=mgh中的h表示高度，用来表示物体所在的位置，是个状态量，是由规定的高度零点（如地面）开始量度的，向上为正；而自由落体公式 中的h表示自由下落物体的位移，是个过程量，是由起始位置开始量度的，向下为正，二者不能混为一谈。‎ ‎⑤重力做功的特点： 重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动路径无关。‎ ‎⑥重力做功和重力势能的变化：重力做正功,势能减少；重力做负功，势能增加。重力做多少功，就改变多少重力势能。其数学表示式为W=－△＝－，式中、分别表示初态和终态的重力势能。‎ a重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．即重力做多少功，重力势能就改变多少．‎ ‎ b重力做功只跟初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关，即W=mg△h。‎ ‎ ⑷弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能叫弹性势能。弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。‎ ‎⑸势能是相互作用的物体由相对位置而决定的一种能量。离开物体间的相互作用也就无所谓势能。因此势能只能属于系统，说某个物体具有多少势能，显然是一种简略的说法。‎ 例题：如图所示，劲度系数为K1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物体1、 2拴接，劲度系数为K2‎ ‎ 的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了 ，物块1的重力势能增加了 。‎ 解析：该题难度较大，在方法的选用上应注意借助整体法和隔离法辅助求解．在求解m1上升高度时，要找准m1相对水平面的高度变化，不要漏加m2上升高度；考虑k1的变化时不要忽略弹簧k2的变化．很容易考虑不全面，顾此失彼．可做如下分析：下面弹簧受到压力大小为(m+m)g，压缩量x=, 要使其离开桌面，m应上升高度x,则增加的重力势能为E＝mgx= , 对弹簧k1拉起的过程中，k1是由压缩状态转为拉伸状态，压缩的长度x=,当k离开桌面时，k伸长了x= ， 则上面物体能上升的高度为x+x+x＝(m+m)g(+),所以m增加的重力势能为E= m(m+m)(+)g.‎ 规律 ‎1、动能定理 ‎⑴动能定理的表述 合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔEK 动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。‎ 和动量定理一样，动能定理也建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。‎ ‎⑵注意：①不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该定理都成立； ‎②对变力做功，应用动能定理要更方便、更迅捷。 ‎③动能为标量，但ΔEk=Ek2-Ek1仍有正负，分别表动能的增减。‎ ‎⑶应用动能定理解题的步骤 ‎①确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。‎ ‎②对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。‎ ‎③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。‎ ‎④写出物体的初、末动能。‎ ‎⑤按照动能定理列式求解。‎ 例题：如图所示，斜面倾角为α，长为L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ。‎ α C B A 解析：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgLsinα，摩擦力做的功为，支持力不做功。初、末动能均为零。‎ mgLsinα=0，‎ ‎ 从本例题可以看出，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。‎ v v /‎ f G G f 例题：将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。‎ 解析：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理： ‎ ‎ 和，可得H=v02/2g，‎ 再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：，解得 ‎ 从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。‎ L h s 例题： 质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。‎ 解析：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：‎ 子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v1，mv0= mv+Mv1……①‎ 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2， ‎ 有：……②‎ 木块离开台面后的平抛阶段，……③‎ 由①、②、③可得μ=0.50‎ ‎ 从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。‎ 从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。‎ A B C D G G N N 例题：如图所示，小球以大小为v0的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为vB；若以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为vA。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道。比较vA 、vB的大小，结论是 ‎ A.vA>vB B.vA=vB ‎ C.vAm时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M

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