高考数学考点25 不等关系与一元二次不等式
1
1．不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
2．一元二次不等式
（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
一、不等关系
1．不等式的概念
（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系．
（2）用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的
式子，叫做不等式．
2．两个实数大小的比较
（1）作差法：设 a，b R，则 ，a
0，b>0，则 a>b⇔ ，ab⇔ ；
② ；
③ab，b>c⇒ ；(单向性)
③可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
④a>b，c>d⇒ ；(单向性)
⑤可乘性： ；(单向性) a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ ；(单向性)
⑦乘方法则： ；(单向性)
⑧开方法则：a>b>0⇒ (n N，n≥2)．(单向性)
注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.
（2）可乘性中，要特别注意“乘数 c”的符号.
4．必记结论
（1）a>b，ab>0⇒ .
（2）a<0b>0,0b>0，m>0，则 ； (b−m>0)；
； (b−m>0)．
二、一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式称为一元二次不等式，有下列三种
形式：
（1）一般式： ；
（2）顶点式： ；
（3）两根式： .
a c
a c b d
, 0a b c ac bc
ac bd
( )0 , 1n na b a b n n N
n na b
1 1
a b
1 1
a b
a b
c d
1 1 1
b x a
b b m
a a m
b b m
a a m
a a m
b b m
a a m
b b m
2 ( 0)y ax bx c a
2
2 4( ) ( 0)2 4
b ac by a x aa a
1 2( )( )( 0)y a x x x x a
3
2．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实根 有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
3．一元二次不等式的解法
由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：
（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即
或 ；
（ 2 ） 计 算 ： 求 出 相 应 的 一 元 二 次 方 程 （ ） 的 根 ， 有 三 种 情 况 ：
；
（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；
（4）求解：利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．
可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.
2 4b ac 0 0 0
2 ( 0)y ax bx c a
2 0( 0)ax bx c a 1 2 1 2, ( )x x x x 1 2 2
bx x a
2 0( 0)ax bx c a
1 2( , ) ( , )x x { | }2
bx x a R
2 0( 0)ax bx c a
1 2( , )x x
2 0( 0)ax bx c a
2 0( 0)ax bx c a
2 0( 0)ax bx c a
0, 0
4
4．一元二次不等式恒成立问题
（1） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（2） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（3） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（4） 恒成立的充要条件是： 且 ．
（5） 恒成立的充要条件是： 且 或 且 ．
（6） 恒成立的充要条件是： 且 或 且 ．
考向一 比较大小
比较大小的常用方法：
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个
因式的积的形式.
2 0( 0)ax bx c a 0a 2 4 0( )b ac x R
2 0( 0)ax bx c a 0a 2 4 0( )b ac x R
2 0( 0)ax bx c a 0a 2 4 0( )b ac x R
2 0( 0)ax bx c a 0a 2 4 0( )b ac x R
2 0ax bx c 0a b 0c 0a 2 4 0( )b ac x R
2 0ax bx c 0a b 0c 0a 2 4 0( )b ac x R
5
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与 1 的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若 a>b,b>c,则 a>c，其中 b 是 a 与 c 的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
（4）利用单调性比较大小.
（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步
转化为自变量的大小问题来解决.
典例 1 若 ， ， ，试比较 ， ， 的大小.
典例 2 已知 01,所以 < =0.
综上，得 < < .
故选 A.
【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的
手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.
ba logba 1log
a
b
1log
a
b ba logba 1log
a
b logba ba
logba 1log
a
b ba ba 1log
a
b logba
00 1ba a log log 1b ba b
1
a 1log
a
b 1log 1
a
1log
a
b ba logba
6
1．设 a>b>0,求证: .
考向二 求范围的问题
求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.
在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个
数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求 n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条
件就可能出现错误. ￥网
求范围的一般思路是：
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
典例 3 设实数 x，y 满足 ， ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为 ， ,
所以 .
典例 4 若二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且 ， ，求 f(－2)的取值范围.
【解析】方法一：∵二次函数 y＝f(x)的图象过原点，∴可设 .
2 2
2 2
a b a b
a b a b
21 2xy
2
2 3x
y
4
7
x
y
2,27
32
4
27 2
x
yx
y xy
32 228 27 1 4x xyy
，
4
7
8 27[ , ] [2,27]4 1
x
y
)1 2(1 f 3 1 4f
2 ( 0( ))f x ax bx a
7
易知 ，∴ .
【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.
2．已知正数 满足 ，则 的最小值为
A．1 B．
C． D．
考向三 一元二次不等式的解法
1．解不含参数的一元二次不等式的方法：
（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元
二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等
式的解集易得.
（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.
2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如
1
1
f a b
f a b
1 1 12
1 1 12
a f f
b f f
2 0
3 5 0
x y
x y
14 2
y
xz
3 2
4
1
16
1
32
8
下三个方面进行考虑：
（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一
次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根( >0),一根( =0),无根( <0)；
（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论： . 学#
典例 5 解下列不等式：
（1） .
（2） .
典例 6 已知函数 .
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）若 ，解关于 的不等式 .
【解析】（1）当 时， ,
可得 ，
,
的解集为 .
1 2 1 2 1 2, ,x x x x x x
2 2 3 0x x
24 4 1 0x x
9
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
3．不等式 的解集为
A． B．
C． D．
4．已知 是偶函数， 是奇函数，且 = ．
（1）求 和 的解析式；
（2）设 (其中 )，解不等式 ．
考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用
1{ | 2}x xa
10
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间
的相互联系,并在一定条件下相互转换.
（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的
形式与二次项系数的联系.
（2）若一元二次不等式的解集为 或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与 x 轴
的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围. 学#
典例 7 已知函数 .
（1）当 时,解关于 a 的不等式 ；
（2）若关于 x 的不等式 的解集是(-1,4)，求实数 a,c 的值.
典例 8 已知关于 的不等式 .
（1）若不等式的解集为 ，求 的值；
（2）若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围.
R
2 2 3 0kx x k
11
5．若不等式 的解集是 ,则 的值是
A． B．
C．14 D．10
考向五 一元二次不等式的应用
对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.
1．分式不等式的解法
若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或<0，或 0，或 0)称为分式不等式．解分式不
等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即
;
;
1 1,2 3
( )f x ( )g x x ( ) 0( )
f x
g x
( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f xf x f x g xg x g xg x
或
( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )
f x f xf x f x g xg x g xg x
或
12
;
.
对于形如 a(或0 的解集为 R，则 k 的取值范围为___________.
20．已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
21．已知 , ≤3x+y≤ ,求 9x+y 的取值范围.
22．解下列不等式：
（1） ；
（2） .
2
2
1 1 2
1
k x k x
x x
0a b 0c d 0e e
a c
e
b d
1 122 2x y 1
2 1
2
19
23．已知不等式 的解集为 .
（1）求实数 的值;
（2）若不等式 的解集为 ,不等式 的解集为 ,且 ,求实数 的
取值范围.
24．已知不等式 的解集是 .
（1）求 ， 的值；
（2）解不等式 ( 为常数) .
25．（1）解关于 的不等式 a ；
（2）已知不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
0c x
ax b
20
26．已知函数 .
(1)若 ,且函数 有零点,求实数 的取值范围；
(2)当 时,解关于 的不等式 ；
(3)若正数 满足 ,且对于任意的 , 恒成立，求实数 的值.
1．（2017 新课标全国Ⅰ理科）设 x、y、z 为正数，且 ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
2．（2017 天津理科）已知奇函数 在 R 上是增函数， ．若 ， ，
，则 a，b，c 的大小关系为
A． B．
C． D．
3．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知集合 ，则
2 3 5x y z
( )f x ( ) ( )g x xf x 2( log 5.1)a g 0.8(2 )b g
(3)c g
a b c c b a
b a c b c a
2 2 0A x x x A Rð
21
A． B．
C． D．
4．（2018 新课标全国Ⅲ理科）设 ， ，则
A． B．
C． D．
5．（2016 江苏）函数 y= 的定义域是 .
1．【解析】方法一:∵左边-右边= >0,
∴原不等式得证.
方法二:∵a>b>0,∴ >0, >0,
∴ , 学.
∴原不等式得证.
2．【答案】C
1 2x x 1 2x x
| 1 | 2x x x x | 1 | 2x x x x
0.2log 0.3a 2log 0.3b
0a b ab 0ab a b
0a b ab 0ab a b
23 2x x- -
变式拓展
2 2 2
2 2 2 2
[ ] 2a b a b a b ab a b
a b a b a b a b
2 2
2 2
a b
a b
a b
a b
2
2 2 2 2
( ) 21 1a b ab
a b a b
左边
右边
22
3．【答案】B
【解析】由题意易得： ，即 ，∴ ，
∴不等式 的解集为 .故选 B.
4．【解析】（1）由题意得 = ，
即 = ，
联立得 = ， = ．
（2）由题意得 ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
对应方程的两个根为 = ， = ，
故当 时，易知 ，
不等式的解为 ；
f x g x 2 2x x
f x g x 2 2x x
f x 2 2x g x x
2 3 1 3 0mx m x
0m 3 0x 3x
0m 1 3 0mx x
1x 1
m 2x 3
0m 1 3m
13 x m
23
5．【答案】A
【解析】因为不等式 的解集是 ，所以一元二次方程 的解
是 ,所以 ,解得 ,
则
6．【答案】B
【解析】 等价于 ，即解集为 ．故
选 B.
7．【解析】（1）原不等式等价于 ，即 ，则 ，
由穿针引线法可知原不等式的解集为 .
（2） 即 ，
1 1,2 3
1 1,2 3 1 1 1 1 2,2 3 2 3
b
a a
1 02
x
x
1 2 0 1 2 0, 2 1
2 0 2 0
x x x x x
x x
2,1
2
2
3 2 02 3
x x
x x
( 2)( 1) 0( 3)( 1)
x x
x x
1 1 2 3 0
3 1 0
x x x x
x x
1,1 2,3
3 21 2 1 1 0x x x 3 22 1 1 1 0x x x
24
利用穿针引线法可知不等式 的解集为 .
8．【答案】C
【解析】因为不等式 对任意 恒成立,所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，故选 C．
9．【答案】A
【解析】对任意的 ，有 恒成立，
所以 或 ，得 ，故选 A．
1．【答案】D
【解析】当 时, ,因为 ,所以 ,排除 A,B;
当 时, ,所以 ,排除 C．选 D．
2．【答案】B
【解析】∵0< <1, >1, <0,∴b>a>c,选 B． #网
5．【答案】
3 21 2 1 1 0x x x 1, 1 1, 1,2
考点冲关
0a b 1 10 a b 0c 1 1,c c
a b ac bc
0 a b 0 a b a c b c
4.20.6 0.67 0.6log 7
25
【解析】由题可得， .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 .故选 C.
当 时，要使不等式恒成立，需 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
9．【答案】C
【解析】①中,因为 ,所以 ,因此①能推出 成立;
②中,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,因此②正确;
③中,因为 ,所以 ,所以③不正确;
④中,因为 ,所以 ,所以④正确;
故选 C．
11 1
1 1
1 bb b
a a b b a b
m a a a
n b b b b
11 1, 1
b
a b
a
b b
11 1
b
a b
a
b b
02 a
2 0
0
a
22 a
a ]2,2(
0b a 1 10b a 1 1
a b
0 a b 0ab a b
ab ab 1 1
b a
0a b 1 10a b
0a b a b
ab ab
26
10．【答案】D
【解析】因为关于 的不等式 的解集不是空集，所以 ，解得
或 ，所以实数 的取值范围是 .故选 D.
12．【答案】C
【解析】由题意可知： 恒成立，
当 时，不等式不一定成立；
当 时，应有 ，且 ，解得 .
综上可得，m 的取值范围是 m≥1.选 C.
13．【答案】
【解析】由于 为不相等的正数， ，则
，所以 .
14．【答案】
【解析】由题意得,不等式可化为 ,所以不等式的解集为 .
15．【答案】
【解析】由题意可得 ,当 时, ;
当 时, .
综上可知, .
2 4 3 0a a
( ] [, 6 , )2
x y
,a b 2 22 ,4 2
a b ab a bx y 2 2 2
4
a ab by x
2
04
a b
x y
27
19．【答案】[1,9)
【解析】∵关于 x 的不等式 >0 的解集为 R，而 x2+x+1= + >0，∴
(k﹣1)x2+(k﹣1)x+2>0 的解集为 R.
当 k=1 时，2>0 恒成立，因此 k=1 满足条件.
当 k≠0 时，可得 ，解得 1
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