等比数列前n项和高考解答题试题精选

等比数列前n项和高考解答题试题精选

等比数列前n项和高考解答题试题精选 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2017•北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎　‎ ‎3．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎4．（2017•山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式；‎ ‎（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．‎ ‎5．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．‎ ‎（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=21，求S3．‎ ‎6．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．‎ ‎7．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．‎ ‎8．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎9．（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．‎ ‎（Ⅰ）求b1，b11，b101；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．‎ ‎（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若S5=，求λ．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．‎ ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎15．（2016•北京）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•天津）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．‎ ‎　‎ ‎17．（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•新课标Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎23．（2015•山东）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎24．（2015•天津）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 ‎（1）求q的值和{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•福建）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎　‎ ‎27．（2015•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎28．（2014•福建）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎29．（2014•新课标Ⅰ）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎30．（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ 等比数列前n项和高考解答题试题精选 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2017•北京）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，‎ 所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，‎ 等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．‎ ‎∴q2=3，‎ ‎{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．‎ b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，‎ 则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，‎ 由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，‎ 则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，‎ ‎∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；‎ ‎（2）由（1）可知：Sn===﹣（2+（﹣2）n+1），‎ 则Sn+1=﹣（2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣（2+（﹣2）n+3），‎ 由Sn+1+Sn+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，‎ ‎=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，‎ ‎=2Sn，‎ 即Sn+1+Sn+2=2Sn，‎ ‎∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．‎ ‎　‎ ‎3．（2017•新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴（2n﹣1）an=2．∴an=．‎ 当n=1时，a1=2，上式也成立．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎4．（2017•山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式；‎ ‎（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）记正项等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a1+a2=6，a1a2=a3，‎ 所以（1+q）a1=6，q=q2a1，‎ 解得：a1=q=2，‎ 所以an=2n；‎ ‎（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，‎ 所以S2n+1=（2n+1）bn+1，‎ 又因为S2n+1=bnbn+1，‎ 所以bn=2n+1，=，‎ 所以Tn=3•+5•+…+（2n+1）•，‎ Tn=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，‎ 两式相减得：Tn=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，‎ 即Tn=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，‎ 即Tn=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•‎ ‎=5﹣．‎ ‎　‎ ‎5．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．‎ ‎（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=21，求S3．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，‎ 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，‎ 解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），‎ 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；‎ ‎（2）b1=1，T3=21，‎ 可得1+q+q2=21，‎ 解得q=4或﹣5，‎ 当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，‎ d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；‎ 当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，‎ d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．‎ ‎　‎ ‎6．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．‎ 由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．‎ 又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．‎ 由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．‎ 由S11=11b4，可得a1+5d=16②，‎ 联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．‎ 所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．‎ ‎（II）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn，‎ 由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，‎ 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，‎ ‎4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，‎ 上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1‎ ‎==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8‎ 得Tn=．‎ 所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为．‎ ‎　‎ ‎7．（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．‎ 由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．‎ 由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，‎ 由此可得an=3n﹣2．‎ 所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有，，‎ 上述两式相减，得=．‎ 得．‎ 所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3+a4=4，a5+a7=6．‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴an=；‎ ‎（Ⅱ）∵bn=[an]，‎ ‎∴b1=b2=b3=1，‎ b4=b5=2，‎ b6=b7=b8=3，‎ b9=b10=4．‎ 故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；‎ ‎∵an=bn+bn+1，‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a1=b1+b2，‎ ‎∴11=2b1+3，‎ ‎∴b1=4，‎ ‎∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；‎ ‎（Ⅱ）cn========6（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得 ‎﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]‎ ‎=12+6×﹣6（n+1）•2n+1‎ ‎=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，‎ ‎∴Tn=3n•2n+2．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．‎ ‎（Ⅰ）求b1，b11，b101；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．‎ 可得a4=4，则公差d=1．‎ an=n，‎ bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0，‎ b11=[lg11]=1，‎ b101=[lg101]=2．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．‎ b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．‎ 数列{bn}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．‎ 当n=1时，a1b2+b2=b1．‎ ‎∵b1=1，b2=，‎ ‎∴a1=2，‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列，‎ ‎∴an=3n﹣1，‎ ‎（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．‎ 即3bn+1=bn．‎ 即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．‎ ‎∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，‎ 解得a1=1，a2=3，‎ 当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，‎ 两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，‎ 即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，‎ 满足an+1=3an，‎ ‎∴=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，‎ 则通项公式an=3n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，‎ 设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，‎ 则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，‎ 当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，‎ 则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，‎ 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=，‎ 则Tn==．‎ ‎　‎ ‎13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．‎ ‎（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若S5=，求λ．‎ ‎【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．‎ ‎∴an≠0．‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，‎ 即（λ﹣1）an=λan﹣1，‎ ‎∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，‎ 即=，（n≥2），‎ ‎∴{an}是等比数列，公比q=，‎ 当n=1时，S1=1+λa1=a1，‎ 即a1=，‎ ‎∴an=•（）n﹣1．‎ ‎（2）若S5=，‎ 则若S5=1+λ[•（）4]=，‎ 即（）5=﹣1=﹣，‎ 则=﹣，得λ=﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．‎ ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，‎ 当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，‎ 而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，‎ 当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，‎ 又由a2=，解可得a3=，‎ 故a2=，a3=；‎ ‎（2）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，‎ 变形可得（an﹣2an+1）（an+1）=0，‎ 即有an=2an+1或an=﹣1，‎ 又由数列{an}各项都为正数，‎ 则有an=2an+1，‎ 故数列{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列，‎ 则an=1×（）n﹣1=n﹣1，‎ 故an=n﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•北京）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎{bn}是公比为q的等比数列，‎ 由b2=3，b3=9，可得q==3，‎ bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；‎ 即有a1=b1=1，a14=b4=27，‎ 则d==2，‎ 则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；‎ ‎（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，‎ 则数列{cn}的前n项和为 ‎（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+‎ ‎=n2+．‎ ‎　‎ ‎16．（2016•天津）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=‎ ‎，S6=63．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，‎ 解得q=2或q=﹣1．‎ 若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，‎ ‎∴S6==63，∴a1=1．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ ‎（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，‎ ‎∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．‎ ‎∴bn+1﹣bn=1．‎ ‎∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．‎ 设{（﹣1）nbn2}的前2n项和为Tn，则 Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）‎ ‎=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ‎==‎ ‎=2n2．‎ ‎　‎ ‎17．（2015•四川）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2），‎ 即an=2an﹣1（n≥2），‎ 从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．‎ 又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）‎ 所以a1+4a1=2（2a1+1），‎ 解得：a1=2．‎ 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 故an=2n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，‎ 所以Tn=+++…+==1﹣．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，‎ 当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，‎ 此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，‎ 所以an=．‎ ‎（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，‎ 当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，‎ 所以T1=b1=；‎ 当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），‎ 所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），‎ 两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，‎ 所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，‎ 综上可得Tn=﹣．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；‎ 当时，an=（2n+79），bn=9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，‎ ‎∴cn==，‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，‎ ‎∴Tn=6﹣．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．‎ 解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），‎ 解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）Sn==2n﹣1，‎ ‎∴bn===﹣，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•新课标Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，‎ 即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an=2，‎ ‎∵a12+2a1=4a1+3，‎ ‎∴a1=﹣1（舍）或a1=3，‎ 则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an=2n+1，‎ ‎∴bn===（﹣），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．‎ 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，‎ 当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，‎ ‎，整理得：，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 因此 ‎，‎ 两式作差得：，‎ ‎（n∈N*）．‎ ‎　‎ ‎23．（2015•山东）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=（an+1）•2，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd，‎ 令cn=，‎ 则cn==[﹣]，‎ ‎∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=[﹣+﹣+…+﹣]‎ ‎=[﹣]‎ ‎=‎ ‎=，‎ 又∵数列{}的前n项和为，‎ ‎∴，‎ ‎∴a1=1或﹣1（舍），d=2，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知bn=（an+1）•2=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=1•41+2•42+…+n•4n，‎ ‎∴4Tn=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，‎ 两式相减，得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n•4n+1=•4n+1﹣，‎ ‎∴Tn=．‎ ‎　‎ ‎24．（2015•天津）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 ‎（1）求q的值和{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）∵an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，‎ ‎∴a3=q，a5=q2，a4=2q，‎ 又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，‎ ‎∴2×3q=2+3q+q2，‎ 即q2﹣3q+2=0，‎ 解得q=2或q=1（舍），‎ ‎∴an=；‎ ‎（2）由（1）知bn===，n∈N*，‎ 记数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 则Tn=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，‎ ‎∴2Tn=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，‎ 两式相减，得Tn=3++++…+﹣n•‎ ‎=3+﹣n•‎ ‎=3+1﹣﹣n•‎ ‎=4﹣．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•福建）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，‎ 解得，‎ 所以an=3+（n﹣1）=n+2；‎ ‎（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，‎ 所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）‎ ‎=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）‎ ‎=+=2101．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•北京）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．‎ ‎∵a4﹣a3=2，所以d=2‎ ‎∵a1+a2=10，所以2a1+d=10‎ ‎∴a1=4，‎ ‎∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）‎ ‎（II）设等比数列{bn}的公比为q，‎ ‎∵b2=a3=8，b3=a7=16，‎ ‎∴‎ ‎∴q=2，b1=4‎ ‎∴=128，而128=2n+2‎ ‎∴n=63‎ ‎∴b6与数列{an}中的第63项相等 ‎　‎ ‎27．（2015•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，‎ 由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．‎ ‎∵q＞0，解得q=2，∴d=2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；‎ 数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有，‎ 设{cn}的前n项和为Sn，则 ‎，‎ ‎，‎ 两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎28．（2014•福建）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，‎ 由a2=3，a5=81，得 ‎，解得．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵，bn=log3an，‎ ‎∴．‎ 则数列{bn}的首项为b1=0，‎ 由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），‎ 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎29．（2014•新课标Ⅰ）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，‎ 故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，‎ 故an=2+（n﹣2）×=n+1，‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为Sn，‎ Sn=，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn==，‎ 解得Sn==2﹣．‎ ‎　‎ ‎30．（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）∵{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，‎ ‎∴3+3d=12，解得d=3，‎ ‎∴an=3+（n﹣1）×3=3n．‎ ‎∵等比数列{bn}满足b1=4，b4=20，‎ ‎∴4q3=20，解得q=，‎ ‎∴bn=4×（）n﹣1．‎ ‎（2）∵等比数列{bn}中，，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn==．‎ ‎　‎