2020届河北省武邑中学高三12月月考数学（理）试题

2020届河北省武邑中学高三12月月考数学（理）试题

河北武邑中学 2019-2020 学年上学期高三 12 月月考 数学（理）试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．设集合 {1,2,4}A  , 2{ | 4 0}B x x x m    ，若 }1{BA ，则 B  A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 2．已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为（ ） A．0 B． C．-6 D．6 3．设 m , n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A．若 / /m  ， / /n  ，则 //m n B．若 / /  ， m  ， n  ，则 //m n C．若 m   ， n  ， n m ，则 n  D．若 m  ， //m n ， n  ，则  4．若直线 2y x  的倾斜角为 ，则sin 2 的值为（ ） A. 4 5  B. 4 5 C. 4 5  D. 3 5- 5．已知 m ， n 是空间中两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A．若  //,,  nm ，则 nm// B．若  //,m ，则 //m C. 若   ,n ，则 //n D．若   nm , ， l  ，且 lnlm  , ，则   6、已知sin 3cos3 6                ，则 tan 2  （ ） A. 4 3 B. 3 2  C. 4 3 D. 3 2 7.函数 1 2 log (sin 2 cos cos2 sin )4 4y x x     的单调递减区间是（ ） A. π 5π( π+ π+ )( )8 8k k k  Z， B. π 3π( π+ π+ )( )8 8k k k  Z， C. π 3π( π- π+ )( )8 8k k k  Z， D. 3π 5π( π+ π+ )( )8 8k k k  Z， 8．若 ]2,2[,   ，且 0sinsin   ．则下列结论正确的是 （ ） A．   B． 0  C．   D． 22   9．若函数   21 2 ln2f x x x a x   有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1a  B． 1 0a   C． 1a  D． 0 1a  10．定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 ( 3) ( )f x f x   ，对 1 2, [0,3]x x  且 1 2x x ，都有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，则有（ ） A. (49) (64) (81)f f f  B. (49) (81) (64)f f f  C. (64) (49) (81)f f f  D. (64) (81) (49)f f f  11．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的 《详解九章算法》（1261 年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三 角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记 作数列 na ，若数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 47S  （ ） A．265 B．521 C．1034 D．2059 12．已知奇函数 ( )f x 是定义在 R 上的连续可导函数，其导函数是 ( )f x ，当 0x  时， ( ) 2 ( )f x f x  恒 成立，则下列不等关系一定．．正确的是（ ） A. 2 (1) (2)e f f  B. 2 ( 1) (2)e f f   C. 2 ( 1) (2)e f f   D. 2( 2) ( 1)f e f    二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，若 1,13 5cos,5 4cos  aBA ， 则 b __________． 14．已知向量    3 ,2 , 6,a x b x   满足 a b a b       ，则 x  ． 15．在平面内，三角形的面积为 S ，周长为C ，则它的内切圆的半径 C Sr 2 ．在空间中，三棱锥的体积 为V ，表面积为 S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径 R =______________________． 16．已知四边形 ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为 AB 的中点，将 ADM 沿 DM 折起，得到四棱锥 DMBCA 1 ， 设 CA1 的中点为 N，在翻折过程中，得到如下三个命题： ① DMA// 1平面BN ，且 BN 的长度为定值 5 ； ②三棱锥 DMCN  的体积最大值为 3 22 ； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得 CADM 1 其中正确命题的序号为__________． 三、解答题：共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第 17～21 题为必考题， 第 22、23 题为选考题. （一）必考题：共 60 分 17.（12 分） 设函数 Rxxxxxf  ,4 3cos3)3sin()2 3sin()( 2 （Ⅰ）求  f x 的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数 )(xg )4( xf ，求函数 )(xg 在区间 ]3,6[  上的最值． 18.（12 分） 设等差数列{ }na 前 n 项和为 nS ，满足 4 24S S ， 9 17a  . （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设数列{ }nb 满足 1 2 1 2 11 2 n n n bb b a a a     … ，求数列{ }nb 的通项公式 … 19．（12 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为12 ， 60BAD   ， 与 交于 点．将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 B ACD ， 点 M 是棱 BC 的中点， 6 2DM  ． （1）求证：平面ODM ⊥平面 ABC ； （2）求二面角 M AD C  的余弦值． 20．（12 分） 如图，在平面四边形 ABCD 中， AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°. (1)若 BC＝2 2，求∠CBD 的大小； (2)设△BCD 的面积为 S，求 S 的取值范围． 21．（12 分） 已知函数 )()1()( 2 Raxaxexf x  (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围. (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 已知曲线 1C 的参数方程为 2 cos 3sin x y      ( 为参数)，以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 14     ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）射线OM ： ( )2       与曲线 1C 交于点 M ，射线ON ： 4    与曲线 2C 交于点 N ， 求 2 2 1 1 OM ON  的取值范围． 23．[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 ， ． （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若对任意的 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 参考答案 1. C 2. D 3. D 4. D 5. B 6. A 7. B 8. D 9. A 10. D 11. B 12. C 13． 13 20 14． 2 15. 3V S 16.  三、解答题： 17. 解：（Ⅰ）由已知，有 f(x)＝cos x·(1 2 sin x＋ 3 2 cos x)－ 3cos2x＋ 3 4 ＝1 2 sin x·cos x－ 3 2 cos2x＋ 3 4 ＝1 4 sin 2x－ 3 4 (1＋cos 2x)+ 3 4 ＝1 4 sin 2x－ 3 4 cos 2x ＝1 2 sin(2x－π 3 )． ……………………………………………4 分最小正周期为 T ， 对称中心为 )0,62  k（ Zk  …………………5 分 （Ⅱ） )62sin(2 1)(  xxg …… ……………………6 分 )(xg 在 区 间 ]6,6[  上 单 调 递 增 , 在 区 间 ]3,6[  上 单 调 递 减 .………7 分 2 1)6()( max  gxg ………………………8 分 4 1)6(  g < 4 1)3( g …………………………10 分 4 1)( min xg …………………………12 分 18. 解：（1）设等差数列{ }na 首项为 1a ，公差为 d ． 由已知得 1 1 9 1 4 6 8 4 8 17 a d a d a a d        ，解得 1 1 2 a d    ． 于是 1 2( 1) 2 1na n n     ． （2）当 1n  时， 1 1 1 11 2 2 b a    ． 当 2n  时， 1 1 1 1(1 ) (1 )2 2 2 n n n n n b a      ， 当 1n  时上式也成立． 于是 1 2 n n n b a  ． 故 1 2 1 2 2n nn n nb a   ． 19.解：（1）证明： ABCD 是菱形， AD DC  ,OD AC ………1 分 ADC 中， 12, 120AD DC ADC     ,  6OD  又 M 是 BC 中点， 1 6, 6 22OM AB MD    2 2 2 ,OD OM MD DO OM    ………3 分 ,OM AC  面 , ,ABC OM AC O OD   面 ABC ………5 分 又  OD  平面ODM  平面ODM ⊥平面 ABC ………6 分 （2）由题意， ,OD OC OB OC  , 又由（Ⅰ）知OB OD 建立如图所示空间直角坐标系， 由条件易知      6,0,0 , 0, 6 3,0 , 0,3 3,3D A M ……7 分 故 )0,36,6(),3,39,0(  ADAM 设平面 MAD 的法向量 ),,( zyxm  ，则      0 0 ADm AMm 即 9 3 3 0 6 6 3 0 y z x y      令 3y   ，则 3, 9x z  所以， )9,3,3( m ………9 分 由条件易证 OB 平面 ACD ，故取其法向量为 )1,0,0(n ………10 分 所以， 31 933 |||| ,cos  nm nmnm ………11 分 由图知二面角 M AD C  为锐二面角，故其余弦值为 3 93 31 ………12 分 20．解：（1）在 ABD△ 中，因为 4AB  ， 2AD  ， 60BAD   ， 则 2 2 2 12 cos 16 4 2 4 2 122BD AB AD AB AD BAD             ，所以 2 3BD  ．(3 分) 在 BCD△ 中，因为 120BCD   ， 2 2BC  ， 2 3BD  ，由 sin sin BC BD CDB BCD   ， 得 sin 2 2sin120 2sin 22 3 BC BCDCDB BD      ，则 45CDB   ．(5 分) 所以 60 15CBD CDB       ．(6 分) （2）设 CBD   ，则 60CDB     ． 在 BCD△ 中，因为   4sin 60 sin120 BC BD      ，则  4sin 60BC    ．(8 分) 所以  1 3 1sin 4 3sin 60 sin 4 3 cos sin sin 2 2 2S BD BC CBD                   23sin 2 2 3sin 3sin 2 3 1 cos2 3sin 2 3 cos2 3              2 3sin 2 30 3    ．(11 分) 因为 0 60    ，则 30 2 30 150     ，  1 sin 2 30 12     ，所以 0 3S  ． 故 S 的取值范围是 0, 3 ．(12 分) 21.解（1） )2)(1()1(2)1()(' aexxaexxf xx  ………1 分 （ⅰ） 0a 时，当 )1,( x 时， 0)(' xf ；当 ),1( x 时， 0)(' xf 所以 f(x)在 )1,(  单调递减，在 ),1(  单调递增； ……2 分 （ⅱ） 0a 时 若 ea 2 1 ，则 ))(1()(' xx eexxf  ，所以 f(x)在 ),(  单调递增；……3 分 若 ea 2 1 ，则 1)2ln(  a ，故当 ),1())2ln(,(  ax 时， 0)(' xf ， )1),2(ln(  ax ， 0)(' xf ；所以 f(x)在 ),1()),2ln(,(  a 单调递增，在 )1),2(ln(  a 单调递减； ………5 分 若 ea 2 1 ，则 1)2ln(  a ，故当 )),2(ln()1,(  ax  ， 0)(' xf ， ))2ln(,1( ax  ， 0)(' xf ；所以 f(x)在 )),2(ln(),1,(  a 单调递增，在 ))2ln(,1( a 单调递减； ………6 分 （2）（ⅰ）当 a>0,则由（1）知 f(x)在 )1,(  单调递减，在 ),1(  单调递增， 又 01)1(  ef ， 0)0(  af ，取 b 满足 1b ，且 2ln2 ab  ， 则 0)2 3()1()2(2)2( 22  bbabababf ，所以 f(x)有两个零点；………8 分 （ⅱ）当 a=0,则 xxexf )( ，所以 f(x)只有一个零点 ………9 分 （ⅲ）当 a<0,若 ea 2 1 ,则由（1）知，f(x)在 ),1(  单调递增。又当 1x 时， 0)( xf 故 f(x)不存在两个零点， ………10 分  ea 2 1 ，则由（1）知，f(x)在 ))2ln(,1( a 单调递减，在 )),2(ln(  a 单调递增 又当 1x ，f(x)<0,故 f(x)不存在两个零点。 ………11 分 综上，a 的取值范围为 ),0(  . ………12 分 22. 【答案】（1） 1C 的极坐标方程为 2 2 2cos 2 6    ， 2C 的直角方程为 2 0x y   ；（2） 1 3( )3 2 ， . 【详解】（1）由曲线 1C 的参数方程 2 3 x cos y sin      ( 为参数)得： 22 2 2cos sin 1 2 3 x y             ， 即曲线 1C 的普通方程为 2 2 12 3 x y  ，又 cos , sinx y     ， 曲线 1C 的极坐标方程为 2 2 2 23 cos 2 sin 6     ，即 2 2 2cos 2 6    曲线 2C 的极坐标方程可化为 sin cos 2     ，故曲线 2C 的直角方程为 2 0x y   （2）由已知，设点 M 和点 N 的极坐标分别为  1,  ， 2 , 4      ，其中 2     则 2 2 1 2 6 cos 2OM     ， 2 2 2 2 2 1 1 cossin 2 ON          于是 2 2 2 2 2 1 1 cos 2 7cos 2cos6 6OM ON       ，由 2     ，得 1 cos 0   故 2 2 1 1 OM ON  的取值范围是 1 3 3 2 ，     . 23.试题解析： （1）由 得 ， ，解得 ． 所以原不等式的解集为 （2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立 所以 ， 有 ， ，所以 从而 或