数学卷·2018届江苏省丹阳高级中学高三上学期期中考试（2017

数学卷·2018届江苏省丹阳高级中学高三上学期期中考试（2017

‎ 2018届高三期中学业质量监测试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。‎ 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。‎ 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。‎ 数 学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ 开 始 ‎←‎ 输出 结 束 ‎←‎ ‎←‎ ‎←‎ N Y ‎（第5题）‎ ‎1． 已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2． 复数（是虚数单位）的实部为 ▲ ．‎ ‎3. 函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎4. 某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，‎ A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．‎ 为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法 从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽 取 ▲ 名血型为AB的学生．‎ ‎5. 右图是一个算法流程图，则输出的的值为 ▲ ．‎ ‎6. 抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为 ▲ ．‎ ‎7. 已知，，则的取值集合为 ▲ ．‎ ‎8. 在平行四边形中，，，，则的值为 ▲ ．‎ 9. 设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列 ‎ 的通项公式 ▲ ．‎ 10. 在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为 ▲ ．‎ 11. 已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点 ‎，记x y O A B C D ‎1‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎（第12题）‎ 为函数的导数，则的值为 ▲ ．‎ ‎12. 已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象 ‎ 拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），‎ ‎ B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点．‎ ‎ 则满足题意的函数的一个解析式为 ▲ ．‎ ‎13. 不等式的解集为 ▲ ．‎ ‎14． 在锐角三角形ABC中，的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ M ‎（第15题）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．‎ ‎ 求证：（1）平面；‎ ‎ （2）平面平面．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，‎ 且．‎ ‎ （1）求A的大小；‎ ‎ （2）若，求的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆 和轴正半轴分别交于点，．‎ ‎（1）若，求直线的斜率；‎ ‎ （2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点A P Q x y O l M N ‎（第17题）‎ ，求证：为定值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ ‎ 将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．‎ ‎（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面 半径；‎ ‎ （2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．‎ ‎（第18题）‎ 甲 乙 ‎19．（本小题满分16分）‎ 对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：对任意正整数，‎ 总成立，那么称是“数列”．‎ ‎ （1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；‎ ‎ （2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：是等比数列．‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ ‎ 设命题：对任意的，恒成立，其中．‎ ‎（1）若，求证：命题为真命题．‎ ‎（2）若命题为真命题，求的所有值．‎ ‎2018届高三期中学业质量监测试题 数 学（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．‎ ‎ 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） ‎ ‎ 在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．‎ A B C E D ‎（第21—A题）‎ O ‎ 求证：△ABD∽△AEB．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，‎ ‎，求变换对应的矩阵．‎ 高三数学试题（附加） 第1页（共2页）‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ ‎ 已知正数满足，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ‎ 写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．‎ 某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他 决定逐个（不重复）进行尝试．‎ ‎ （1）求手机被锁定的概率；‎ ‎ （2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较 大元素相加，和记为，较小元素之和记为．‎ ‎ （1）当时，求的值；‎ ‎ （2）求证：对任意的，为定值．‎ 参考答案 ‎1、【答案】‎ ‎2、【答案】2‎ ‎3、【答案】‎ ‎4、【答案】6‎ ‎5、【答案】3‎ ‎6、【答案】‎ ‎7、【答案】‎ ‎8、【答案】5‎ ‎9、【答案】‎ ‎10、【答案】4‎ ‎11、 【答案】‎ ‎12、【答案】‎ ‎ （）‎ ‎13、【答案】‎ ‎14、【答案】25‎ ‎15、证明：（1）在三棱柱中，， …… 2分 ‎ 又平面，平面，‎ ‎ 所以平面． …… 5分 ‎ （2）在直三棱柱中，平面，‎ ‎ 又平面，所以． …… 7分 ‎ 因为，所以．‎ ‎ 又因为点为棱的中点，所以． …… 9分 ‎ 又，平面，‎ ‎ 所以平面． …… 12分 ‎ 又平面，‎ ‎ 所以平面平面． …… 14分 ‎16、解：（1）因为，所以，即． …… 2分 ‎ 由正弦定理得，，‎ ‎ 所以． …… 4分 ‎ 在△ABC中，，，所以． ‎ ‎ 若，则，矛盾．‎ ‎ 若，则． ‎ ‎ 在△ABC中，，所以． …… 7分 ‎ （2）由（1）知，，所以．‎ ‎ 因为，所以．‎ ‎ 解得（负值已舍）． …… 9分 ‎ 因为，所以或．‎ ‎ 在△ABC中，又，故，所以．‎ ‎ 因为，所以． …… 11分 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． …… 14分 ‎ 17、 解：（1）依题意，椭圆的左顶点，‎ ‎ 设直线的斜率为，A P Q x y O l M N ‎（第17题）‎ 点的横坐标为，‎ ‎ 则直线的方程为．① …… 2分 ‎ 又椭圆：， ②‎ ‎ 由①②得，，‎ ‎ 则，从而． …… 5分 ‎ 因为，所以．‎ ‎ 所以，解得（负值已舍）． …… 8分 ‎ ‎ （2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③‎ ‎ 由②③得，． …… 10分 ‎ 从而 …… 12分 ‎ ‎ ‎ ，即证． …… 14分 ‎18、解：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，‎ ‎ 则 …… 4分 ‎ 解得 …… 6分 zyx 乙 x yx zyx yx ‎ （2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，‎ ‎ 则 ‎ 解得 …… 8分 ‎ 则长方体的体积：‎ ‎ ， …… 10分 ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 所以．令得，或（舍去）．‎ ‎ 列表： …… 12分 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，当时，． …… 14分 ‎ 答：（1）圆锥的母线长及底面半径分别为分米，分米．‎ ‎ （2）长方体体积的最大值为立方分米． …… 16分 ‎19、解：（1）是“数列”，理由如下：‎ ‎ 因为是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为． …… 2分 ‎ 当时，有 …… 4分 ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 所以是“数列”． …… 6分 ‎ ‎ （2）因为既是“数列”，又是“数列”，‎ ‎ 所以，， ①‎ ‎ ，． ② …… 8分 ‎ 由①得，，， ③ …… 10分 ‎ ，． ④ …… 12分 ‎ ③④②得，，．‎ ‎ 因为数列各项均为正数，所以，． …… 14分 ‎ 所以数列从第3项起成等比数列，不妨设公比为． ‎ ‎ ①中，令得，，所以．‎ ‎ ①中，令得，，所以．‎ ‎ 所以数列是公比为的等比数列． …… 16分 ‎20、 解：（1）当时，命题：对任意的，恒成立．‎ ‎ ①记，．‎ ‎ 则，所以为上的单调增函数．‎ ‎ 所以，即任意的，． …… 3分 ‎ ②记，．‎ ‎ 则，故为上的单调增函数．‎ ‎ 所以，即任意的，． ‎ ‎ 所以，命题为真命题． …… 6分 ‎ （2）若命题为真命题，则当时，，所以． …… 8分 ‎ 此时，对任意的，恒成立．（＊）‎ ‎ 若，记，．‎ ‎ 则在上有唯一解，记为．‎ ‎ 当时，，所以为上的单调减函数．‎ ‎ 故，，即，与（＊）矛盾，舍．……12分 ‎ ‎ 若，记，．‎ ‎ 则在上有唯一解，记为．‎ ‎ 当时，，所以为上的单调减函数．‎ ‎ 故，，即，与（＊）矛盾，舍．‎ ‎ 从而，所以，的值均唯一，分别为1，0． …… 16分 ‎ ‎21、【A】证明：因为，‎ ‎ 所以． ‎ ‎ 又⊙O中，， ‎ ‎ 所以． …… 6分 ‎ 又， ‎ ‎ 所以△ABD∽△AEB． …… 10分 ‎【B】解：设矩阵，则，且． …… 2分 ‎ 所以且 …… 6分 ‎ 解得所以矩阵． …… 10分 ‎【C】以极点为坐标原点，极轴为轴，建立平面直角坐标系，‎ ‎ 则将直线化为普通方程：，‎ ‎ 即． …… 3分 ‎ 将圆化为普通方程：，‎ ‎ 即． …… 6分 ‎ 因为直线与圆相切，所以，‎ ‎ 解得． ……10分 ‎【D】解：由柯西不等式得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， …… 6分 ‎ 当且仅当，即时取“”．‎ ‎ 所以的最小值为． …… 10分 ‎22、解：（1）设事件A：“手机被锁定”，‎ ‎ 则．‎ ‎ 答：手机被锁定的概率为． …… 3分 ‎ （2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4．‎ ‎ 则，，‎ ‎ ，， ‎ ‎ 所以的分布表为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ …… 8分 ‎ 所以（次）． …… 10分 ‎23、解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为：，‎ ‎，‎ ‎ ，所以，． …… 2分 ‎ （2）当时，依题意，‎ ‎ ， ‎ ‎ …… 6分 ‎ ． ‎ ‎ 则 ‎ 所以． …… 8分 ‎ 又，所以．‎ ‎ 从而． …… 10分。‎