2016年高考数学（文科）真题分类汇编C单元 三角函数
数 学
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
17．C2[2016·上海卷] 设a∈R，b∈[0，2π)．若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
17．B [解析] 由sin(3x－)＝sin(3x－＋2π)＝sin(3x＋)，得(a，b)＝(3，).
由sin(3x－)＝sin[π－(3x－)]＝sin(－3x＋)，得(a，b)＝(－3，).因为b∈[0，2π)，所以只有这两组满足条件．
6．C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
6．D [解析] cos 2θ＝＝＝＝.
11．C2[2016·四川卷] sin 750°＝________．
11. [解析] sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.
14．C2，C5[2016·全国卷Ⅰ] 已知θ是第四象限角，且sinθ＋＝，则tanθ－＝________．
14．－ [解析] 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝>0，所以θ＋为第一象限角，所以cos(θ＋)＝）＝，所以tan（θ－）＝tan（θ＋－）＝－cot（θ＋）＝－＝－.
方法二：由sin（θ＋）＝，得sin θ＋cos θ＝，两边分别平方得2sin θcos θ＝－，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－
，所以tan（θ－）＝＝＝＝－.
15．C2、C5、C8[2016·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
15．解：(1)在△ABC中，由＝，可得asin B＝bsin A，又由asin 2B＝bsin A，得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，所以cos B＝，得B＝.
(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sin A＋cos A＝.
C3 三角函数的图象与性质
4．B6，B7，C3[2016·北京卷] 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
4．D [解析] 选项A中函数y＝＝－在区间(－1，1)上是增函数；选项B中函数y＝cos x在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C中函数y＝ln(x＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D中函数y＝2－x＝()x在区间(－1，1)上是减函数．
4．C3[2016·四川卷] 为了得到函数y＝sin(x＋)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
4．A [解析] 根据“左加右减”的原则，要得到y＝sin的图像，只需把y＝sin x的图像向左平移个单位长度．
17．C3、C7[2016·山东卷] 设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g（）的值．
17．解：(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2sin2x－(1－2sin xcos x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1＝2sin（2x－）＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)或（kπ－，kπ＋）(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝2sin（2x－）＋－1，
把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin（x－）＋－1的图像，
再把得到的图像向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图像，
即g(x)＝2sin x＋－1，
所以g（）＝2sin＋－1＝.
9．C3[2016·江苏卷] 定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图像与y＝cos x的图像的交点个数是________．
9．7 [解析] 方法一：令sin 2x＝cos x，即2sin xcos x＝cos x，解得cos x＝0或sin x＝，
即x＝kπ＋或x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π(k∈Z)，又x∈[0，3π]，故x＝，，或x＝，，，，共7个解，故两个函数的图像有7个交点．
方法二：在同一个坐标系内画出这两个函数的图像，由图像可得交点有7个．
16．C3，C5，C6[2016·北京卷] 已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
16．解：(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin(2ωx＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋).
函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
C4 函数的图象与性质
3．C4[2016·全国卷Ⅱ] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图11所示，则( )
图11
A．y＝2sin（2x－） B．y＝2sin（2x－）
C．y＝2sin（x＋） D．y＝2sin（x＋）
3．A [解析] 由图知，A＝2，最小正周期T＝π，所以ω＝＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．又因为图像过点（，2），所以2sin（2×＋φ）＝2，即＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，得φ＝－，所以y＝2sin（2x－）.
6．C4[2016·全国卷Ⅰ] 将函数y＝2sin(2x＋)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为( )
A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(2x－) D．y＝2sin(2x－)
6．D [解析] 函数y＝2sin(2x＋)的周期为＝π，将函数 y＝2sin(2x＋)的图像向右平移个周期，即平移个单位，所得图像对应的函数为y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－).
14．C4[2016·全国卷Ⅲ] 函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝2sin x的图像至少向右平移________个单位长度得到．
14. [解析] 函数y＝sin x－cos x＝2sin（x－）的图像可由函数y＝2sin x的图像至少向右平移个单位长度得到．
11．C4[2016·浙江卷] 已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
11. 1 [解析] 2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin（2x＋）＋1，故A＝，b＝1.
5．C4[2016·上海卷] 若函数f(x)＝4sin x＋acos x的最大值为5，则常数a＝________．
5．±3 [解析] 根据题意得f(x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，故函数f(x)的最大值为，则＝5，解得a＝±3.
12．C4，F3[2016·上海卷] 如图11，已知点O(0，0)，A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则·的取值范围是________．
图11
12．[－1，] [解析] 由题意，设P(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则＝(cos α，sin α)．又＝(1，1)，所以·＝cos α＋sin α＝sin(α＋)∈[－1，]．
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
14．C2，C5[2016·全国卷Ⅰ] 已知θ是第四象限角，且sinθ＋＝，则tanθ－＝________．
14．－ [解析] 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝>0，所以θ＋为第一象限角，所以cos(θ＋)＝）＝，所以tan（θ－）＝tan（θ＋－）＝－cot（θ＋）＝－＝－.
方法二：由sin（θ＋）＝，得sin θ＋cos θ＝，两边分别平方得2sin θcos θ＝－
，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－，所以tan（θ－）＝＝＝＝－.
15．C2、C5、C8[2016·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
15．解：(1)在△ABC中，由＝，可得asin B＝bsin A，又由asin 2B＝bsin A，得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，所以cos B＝，得B＝.
(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sin A＋cos A＝.
15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cosA－的值．
15．解：(1)因为cos B＝，0
0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
16．解：(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin(2ωx＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋).
函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
C6 二倍角公式
12．B12，C6，E3[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．[－1，1] B．[－1，]
C．[－， ] D．[－1，－]
12．C [解析] 方法一：对函数f(x)求导得f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋，因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0，即－cos2x＋acos x＋≥0恒成立．设t＝cos x∈[－1，1]，则g(t)＝4t2－3at－5≤0在[－1，1]上恒成立，所以有
解得－≤a≤.
方法二：取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不满足f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D，故选C.
6．C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
6．D [解析] cos 2θ＝＝＝＝.
11．C6[2016·全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝cos 2x＋6cos－x的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
11．B [解析] 由已知得f(x)＝－2sin x－2＋，而sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
8．C6，C7[2016·上海卷] 方程3sin x＝1＋cos 2x在区间[0，2π]上的解为________．
8.或 [解析] 化简3sin x＝1＋cos 2x得3sin x＝2－2sin2x，所以2sin2x＋3sin x－2＝0，解得sin x＝或sin x＝－2(舍去)，所以原方程在区间[0，2π]上的解为或.
16．C3，C5，C6[2016·北京卷] 已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
16．解：(1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝sin(2ωx＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋).
函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
C7 三角函数的求值、化简与证明
8．C6，C7[2016·上海卷] 方程3sin x＝1＋cos 2x在区间[0，2π]上的解为________．
8.或 [解析] 化简3sin x＝1＋cos 2x得3sin x＝2－2sin2x，所以2sin2x＋3sin x－2＝0，解得sin x＝或sin x＝－2(舍去)，所以原方程在区间[0，2π]上的解为或.
17．C3、C7[2016·山东卷] 设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g（）的值．
17．解：(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2sin2x－(1－2sin xcos x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1＝2sin（2x－）＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)或（kπ－，kπ＋）(k∈Z
)．
(2)由(1)知f(x)＝2sin（2x－）＋－1，
把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin（x－）＋－1的图像，
再把得到的图像向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图像，
即g(x)＝2sin x＋－1，
所以g（）＝2sin＋－1＝.
C8 解三角形
8．C8[2016·山东卷] △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A. B.
C. D.
8．C [解析] ∵b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，∴2b2sin A＝b2＋c2－a2＝2bccos A＝2b2cos A，∴tan A＝1，即A＝.
4．C8[2016·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B.
C．2 D．3
4．D [解析] 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.
9．C8[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝( )
A. B.
C. D.
9．D [解析] 作AD⊥BC交BC于点D，设BC＝3，则有AD＝BD＝1，AB＝，由余弦定理得AC＝.由正弦定理得＝，解得sin A＝＝.
14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
14．8 [解析] 方法一：∵sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·tan Btan C＝
eq f(2（tan Btan C）2,tan Btan C－1)，
由三角形为锐角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋2≥8，
当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号．
方法二：同方法一可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
所以tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，
当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号．
10．C8[2016·上海卷] 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．
10. [解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为＝－，所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝，所以R＝.
15．C8[2016·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
15. [解析] 因为cos A＝，cos C＝，且A，C为三角形的内角，所以sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.又因为＝，所以b＝＝.
13．C8[2016·北京卷] 在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．
13．1 [解析] 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得，3c2＝b2＋c2－2bccos，整理得()2＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)．
15．C2、C5、C8[2016·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
15．解：(1)在△ABC中，由＝，可得asin B＝bsin A，又由asin 2B＝bsin A，得2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，所以cos B＝，得B＝.
(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sin A＋cos A＝.
16．E5[2016·天津卷] 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
16．C8[2016·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos B＝，求cos C的值．
16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B.
(2)由cos B＝得sin B＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝－，
故cos A＝－，sin A＝，
cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin A sin B＝.
15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cosA－的值．
15．解：(1)因为cos B＝，00，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋2≥8，
当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号．
方法二：同方法一可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
所以tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，
当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号．
C9 单元综合
8．C9[2016·天津卷] 已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω>0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A．(0，]
B．(0，]∪[，1)
C．(0， ]
D．(0，]∪[，]
8．D [解析] f(x)＝sin2＋sin ωx－＝＋sin ωx－＝sin ωx－cos ωx
＝sin(ωx－).
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以>2π－π，即>π，所以0<ω<1.当x∈(π，2π)时，ωx－∈.若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
1. [2016·合肥一检] sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝( )
A. － B. － C. D.
1. D [解析] sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18
°·cos 78°＝cos＝cos 60°＝.
1. [2016·湖北八校一联]要得到函数f(x)＝cos的图像，只需将函数g(x)＝sin的图像( )
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
1. C [解析] 易知f(x)＝cos＝sin， 故把g(x)＝sin的图像向左平移个单位长度，就可得到f(x)＝sin＝cos的图像．
1. [2016·广州高三适应性考试] f(x)＝sin＋cos 2x的振幅和最小正周期分别是( )
A. ， B. ，π
C. ， D. ，π
1. B [解析] f(x)＝sin＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos，故振幅A＝，最小正周期T＝＝π.
