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文档介绍
备战高考数学专题讲座数学思想方法之建模探讨
【备战2013高考数学专题讲座】 第3讲:数学思想方法之建模思想探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,也是体会和理解数学各部分之间关系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活(具体情境)中抽象出数学问题,或一类数学问题转换为另一类问题,用数学符号建立方程、不等式、函数、数列、图象等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。建立数学模型的思路如下图: 其中,一类数学问题转换为另一类问题的建模是化归思想的体现,我们将在《数学思想方法之化归思想探讨》中阐述,本讲对从现实生活(具体情境)中抽象出数学问题的建模进行探讨。 建立数学模型的一般程序为 (1)读 阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这是基础。 (2)建 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型。 熟悉基本数学模型,正确进行建“模”是关键。 (3)解 求解数学模型,得到数学结论。 求解时要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过程。 (4)答 将数学结论还原给实际问题的结果。 结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面五方面进行数学思想方法之建模思想的探讨:(1)“方程模型”的建立;(2)“不等式模型”和“线性规划模型”的建立;(3)“函数模型”的建立;(4) “图形模型”的建立;(5) “定积分模型”的建立。 一、“方程模型”的建立:对实际问题中的等量关系问题常需通过建立“方程模型”解决。 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1:(2012年辽宁省理5分)已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的求面上,若PA, PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为 ▲ 。 【答案】。 【考点】组合体的线线,线面,面面位置关系,转化思想的应用。 【解析】∵在正三棱锥ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直, ∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径EP,球心为正方体对角线的中点O,且EP⊥平面ABC,EP与平面ABC上的高相交于点F。 ∴球O到截面ABC的距离OF为球的半径OP减去正三棱锥ABC在面ABC上的高FP。 ∵球的半径为,设正方体的棱长为,则由勾股定理得。 解得正方体的棱长=2,每个面的对角线长。 ∴截面ABC的高为, 。 ∴在Rt△BFP中,由勾股定理得,正三棱锥ABC在面ABC上的高。 ∴所以球心到截面ABC的距离为。 例2:(2012年江西省理5分)样本()的平均数为,样本()的平均数为,若样本(,)的平均数,其中,则的大小关系为【 】 A. B. C. D.不能确定 【答案】A。 【考点】作差法比较大小以及整体思想,统计中的平均数。 【解析】由统计学知识,可得, , ∴。∴。 ∴。 ∵,∴。∴,即。故选A。 例3:(2012年湖南省理12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次性购物量 1至4件 5 至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) 30 25 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;[&%中国教育出~版网*#] (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. (注:将频率视为概率)[中%#国教*育^出版网~] 【答案】解:(Ⅰ)由已知,得解得。 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 。 ∴的分布为 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的数学期望为 。 (Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 。 由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以, 。 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为。 【考点】分布列及数学期望的计算,概率。 【解析】(Ⅰ)根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知 从而解得,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望。 (Ⅱ)通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。 例4:(2012年全国大纲卷理5分)已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为【 】 A. B. C. D. 【答案】A。 【考点】等差数列的通项公式和前项和公式的运用,裂项求和的综合运用。 【解析】通过已知,列式求解,得到公差与首项,从而得的通项公式,进一步裂项求和: 设等差数列的公差为,则由可得 。 ∴。 ∴。故选A。 例5:(2012年福建省理5分) 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B。 【考点】等差数列的通项。 【解析】设等差数列{an}的公差为,根据已知条件得: 即 解得2d=4,所以d=2。故选B。 例6:(2012年北京市理5分)已知为等差数列,为其前n项和。若,,则= ▲ ; ▲ 【答案】1;。 【考点】等差数列 【解析】设等差数列的公差为,根据等差数列通项公式和已知,得 。 ∴。 例7:(2012年广东省理5分).已知递增的等差数列满足,,则 ▲ 。 【答案】。 【考点】等差数列。 【解析】设递增的等差数列的公差为(),由得, 解得,舍去负值,。 ∴。 例8:(2012年浙江省理4分)设公比为的等比数列的前项和为.若,,则 ▲ . 【答案】。 【考点】等比数列的性质,待定系数法。 【解析】用待定系数法将,两个式子全部转化成用,q表示的式子: , 两式作差得:,即:,解之得:或 (舍去)。 例9:(2012年湖北省理12分)已知等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8. (Ⅰ)求等差数列的通项公式; (II)若成等比数列,求数列的前n项的和。【版权归锦元数学工作室,不得转载】 【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,, 由题意得 解得或 ∴由等差数列通项公式可得,或。 ∴等差数列的通项公式为,或。 (Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列; 当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件。 ∴ 记数列的前项和为, 当时,;当时,; 当时, 。 当时,满足此式。 综上, 【考点】等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算。 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,根据等差数列前三项的和为-3,前三项的积为8列方程组求解即可。 (II)对(Ⅰ)的结果验证符合成等比数列的数列,应用等差数列前n项和公式分,,分别求解即可。 例10:(2012年陕西省理12分)设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列. (1)求数列的公比; (2)证明:对任意,成等差数列. 【答案】解:(1)设数列的公比为(), 由成等差数列,得,即。 由得,解得。 ∵的公比不为1,∴舍去。 ∴ 。 (2)证明:∵对任意,, , ∴ ∴对任意,成等差数列。 【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。 【解析】(1)设数列的公比为(),利用成等差数列结合通项公式,可得 ,由此即可求得数列的公比。 (2)对任意,可证得,从而得证。 另解:对任意, 所以,对任意,成等差数列。 例11:(2012年天津市理13分)已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,. (Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式; (Ⅱ)记,,证明. 【答案】解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 由=,得。 由条件,得方程组 ,解得。 ∴。 (Ⅱ)证明:由(1)得, ①; ∴ ②; 由②-①得, ∴。 【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。 【分析】(Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。 (Ⅱ)写出的表达式,借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例12:(2012年湖北省文5分)一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有 ▲ 人。 【答案】6。 【考点】分层抽样的性质。 【解析】设抽取的女运动员的人数为,则根据分层抽样的特性,有,解得。故抽取的女运动员为6人。 二、“不等式模型”和“线性规划模型”的建立:对实际问题中的“优选”“控制”等问题,常需通过建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决。 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1:(2012年四川省理5分)某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是【 】 A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 【答案】C。 【考点】线性规划的应用。 【解析】]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y,且 画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y= 这是随Z变化的一族平行直线, 解方程组得,即A(4,4) 。 ∴。故选C。 例2:(2012年江西省理5分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50计,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为【 】 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 【答案】B。 【考点】建模的思想方法,线性规划知识在实际问题中的应用。 【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为 . 线性约束条件为 ,即。 如图,作出不等式组表示的可行域,易求得点。 平移直线,可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且(万元)。故选B。 例3:(2012年山东省理5分)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C 。则抽到的人中,做问卷B的人数为【 】 A 7 B 9 C 10 D 15 【答案】C。 【考点】系统抽样方法。 【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人。 第k组的号码为, 令,且,解得。 ∵满足的整数k有10个,∴编号落入区间[451,750]的人的10人。故选C。 例4:(2012年辽宁省理5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为【 】 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【考点】函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算。 【解析】设线段AC的长为cm,则线段CB的长为()cm。那么矩形的面积为cm2。 由,解得。又,所以该矩形面积小于32cm2的概率为。故选C。 例5:(2012年陕西省文5分)小王从甲地到乙地的时速分别为和(),其全程的平均时速为,则【 】 A. B. = C. << D. = 【答案】A。 【考点】基本不等式及其应用。 【解析】设从甲地到乙地的路程为,则。 又∵,∴。 ∴。故选A。 例6:(2012年安徽省文5分)若直线与圆有公共点,则实数 取值范围是【 】 【答案】。 【考点】圆与直线的位置关系,点到直线的距离公式,解绝对值不等式。 【解析】设圆的圆心到直线的距离为, 则根据圆与直线的位置关系,得。 ∴由点到直线的距离公式,得,解得。故选。 三、“函数模型”的建立:对工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值来解决。 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1:(2012年北京市理5分)某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为【 】 A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C。 【考点】直线斜率的几何意义。 【解析】据图像识别看出变化趋势,利用变化速度可以用导数来解,但图像不连续,所以只能是广义上的。实际上,前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商:,在图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。 因此,要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大,即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时,倾斜角最大。从而m值为9。故选C。 例2:(2012年湖南省理13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (Ⅰ)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【答案】解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 由题设有 其中均为1到200之间的正整数。 (Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为。 易知,为减函数,为增函数。 ∵于是 (1)当时, 此时 , 由函数的单调性知, 当时取得最小值,解得。 由于, 故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为。 (2)当时, 由于为正整数,故, 此时。 易知为增函数,则 。 由函数的单调性知, 当时取得最小值,解得。 由于 此时完成订单任务的最短时间大于。 (3)当时, 由于为正整数,故, 此时。 由函数的单调性知, 当时取得最小值,解得。 类似(2)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为,大于。 综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为44,88,68。 【考点】分段函数、函数单调性、最值,分类思想的应用。 【解析】(Ⅰ)根据题意建立函数模型。 (Ⅱ)利用单调性与最值,分、和三种情况讨论即可得出结论。 例3:(2012年陕西省理5分)下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ▲ 米. 【答案】。 【考点】抛物线的应用。 【解析】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为, ∴∵当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米, ∴抛物线过点(2,-2,). 代入得,,即。 ∴抛物线方程为。 ∴当时,,∴水位下降1米后,水面宽米。 例4:(2012年上海市理14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为7. (1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分) 【答案】解:(1)时,P的横坐标,代入抛物线方程得P的纵坐标。 ∵A(0,12), ∴ 。 ∴救援船速度的大小为海里/时。 由tan∠OAP=,得, ∴救援船速度的方向为北偏东弧度。 (2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为。 由,整理得。 ∵,当且仅当=1时等号成立, ∴,即。 ∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。 【考点】曲线与坐标,基本不等式的应用。 【解析】(1)求出A点和P点坐标即可求出。 (2)求出时速关于时间的函数关系式求出极值。 例5:(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. 【答案】解:(1)在中,令,得。 由实际意义和题设条件知。 ∴,当且仅当时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。 (2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立, 即关于的方程有正根。 由得。 此时,(不考虑另一根)。 ∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 例6:(2012年全国课标卷理12分)某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式。 (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频 数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由。 【答案】解:(1)当时,; 当时,。 ∴。 (2)(i)可取,,,。 的分布列为: 。 。 (ii)购进17枝时,当天的利润为 ∵,∴应购进17枝。 【考点】列函数关系式,概率,离散型随机变量及其分布列。 【解析】(1)根据题意,分和分别列式。 (2)取,,,求得概率,得到的分布列,根据数学期望及方差公式求解;求出购进17枝时,当天的利润与购进16枝时,当天的利润比较即可。 四、 “图形模型”的建立:对测量问题,可设计成“图形模型”,利用几何知识解决。 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1:(2012年四川省理5分)如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为【 】 A、 B、 C、 D、 【答案】A。 【考点】球面距离及相关计算,向量和反三角函数的运用。 【解析】要求、两点间的球面距离,由于,故只要求得即可。从而可求出即可求(比较繁)或用向量求解: 如图,以O为原点,分别以在平面上的射影、所在直线为轴。 过点作(即面)的垂线,分别过点作轴的垂线。 ∵,∴。 ∵面与平面的角为,即, ∴。∴。 ∴。 ∴。∴。∴。故选A。 五、“定积分模型”的建立:对面积问题,可设计成“定积分模型”,利用定积分知识解决。 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1:(2012年湖北省理5分)已知二次函数的图像如图所示 ,则它与轴所围图形的面积为【 】 A. B. C. D. 【答案】B。 【考点】待定系数法求函数解析式,定积分在求面积中的应用。 【解析】先根据函数的图象用待定系数法求出函数的解析式,然后利用定积分表示所求面积,最后根据定积分运算法则求出所求: 根据函数的图象可知二次函数图象过点(-1,0),(1,0),(0,1),用待定系数法可求得二次函数解析式为。 设二次函数的图像与轴所围图形的面积为, 则。故选B。 例2:(2012年山东省理4分)设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a= ▲ 。 【答案】。 【考点】定积分的应用。 【解析】,解得。 例3:(2012年福建省理5分)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为【 】 A. B. C. D. 【答案】C。 【考点】定积分的计算,几何概型的计算。 【解析】∵, ∴利用几何概型公式得:。故选C。 例4:(2012年湖南省理5分)函数的导函数的部分图像如图所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与轴的两个交点,B为图像的最低点. (1)若,点P的坐标为,则 ▲ ; (2)若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为 ▲ . 【答案】(1)3;(2)。 【考点】三角函数的图像与性质,定积分,几何概率。 【解析】(1),当,点P的坐标为时,, ∴。 (2)由图知,。 ∵,∴曲线段与轴所围成的区域面积为 。 由几何概率知该点在△ABC内的概率为。查看更多