【数学】江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试(A)试题 (解析版)

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【数学】江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试(A)试题 (解析版)

www.ks5u.com 江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学(A)试题 一、 选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.已知集合A=,则A∩B的元素个数是( )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】联立,解得 即和的图象有3个交点,,,‎ ‎∴集合有3个元素,故选B.‎ ‎2.若两直线的倾斜角分别为 与,则下列四个命题中正确的是( )‎ A. 若<,则两直线的斜率:k1 < k2 B. 若=,则两直线的斜率:k1= k2‎ C. 若两直线的斜率:k1 < k2 ,则< D. 若两直线的斜率:k1= k2 ,则=‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,两直线的倾斜角分别为 与,斜率分别是,‎ 所以,且,‎ 根据正切在之间的定义域和单调性的关系,‎ 可得,对于A中,当,此时,所以不正确;‎ 对于B中,当,此时斜率不存在,所以不正确;‎ 对于C中,当,此时,所以不正确;‎ 对于D中,当,此时,所以是正确的,故选D.‎ ‎3.平面向量与的夹角为,,,则等于 (  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于,所以,因此,因此,故选D.‎ ‎4.已知直线的倾斜角为,则的值是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,选C.‎ ‎5.设为等差数列, 其前n项和为.若,则( )‎ A. 54 B. 40 C. 96 D. 80‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵2a8=a11+6‎ 由等差数列的性质可得,2a8=a11+a5=a11+6‎ 从而可得,a5=6‎ 由等差数列的前n项和可得,‎ 故选A.‎ ‎6.已知直三棱柱的所有棱长都相等,为的中点,则与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,取的中点,连接,则,‎ 所以异面直线与所成角就是直线与所成角,‎ 设正三棱柱的各棱长为,则,‎ 设直线与所成角为,‎ 在中,由余弦定理可得,‎ 即异面直线与所成角的余弦值为,故选D.‎ ‎7.在中,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,‎ 即故选B.‎ ‎8.若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后构成等差数列,也可适当排序后构成等比数列,则的值等于( )‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,若是函数的两个不同的零点,‎ 可得,‎ 因,可得,‎ 又三个数列适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,‎ 可得或,解得或,‎ 所以,则,故选C.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数,,当时,‎ ‎,则不等式的解集是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 是定义在上的偶函数,,解得,的定义域为 又,当时,‎ 在单调递减,‎ 再由偶函数的对称性可知,解得 答案选C ‎10.已知函数,将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,再把所得的图象向右平移个单位长度,所得的图象关于原点对称,则的一个值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,可得函数的图象;再把所得的图象向右平移个单位长度,可得函数的图象.结合所得的图象关于原点对称,可得,即,,当时,则的一个值是.‎ 故选D.‎ ‎11.正数满足,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,‎ ‎ ‎ 当且仅当,即时,“=”成立,‎ 若不等式对任意实数恒成立,‎ 则,‎ 即对任意实数恒成立,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 实数的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎12.已知球是正三棱锥的外接球,底边,侧棱,点在线段上,且,过点作球的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,设的中心为,球的半径为,连接,‎ ‎ 则, 在中,,解得, , 在中,, 过点作圆的截面,当截面与垂直时,截面的面积最小, 此时截面圆的半径为,最小面积为. 当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为. 故选B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使在上递增,根据复合函数单调性,需二次函数对称轴在的左边,并且在时,二次函数的函数值为非负数,即,解得.即实数的取值范围是.‎ ‎14.记不等式组表示的平面区域为,则圆在区域内的弧长为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示 ‎ ‎ 所以两条直线形成的夹角为 ‎ 所以圆在区域内的弧长为 ‎15.已知等差数列的公差,且成等比数列,若为数列的前项和,则的最小值为____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵a1,a3,a13成等比数列,a1=1,∴a32=a1a13,∴(1+2d)2=1+12d,d≠0, 解得d=2.可得,‎ 则,‎ 当且仅当n=2,等号成立.‎ 故答案为4‎ ‎16.已知函数满足,且,当时,,若曲线与直线有5个交点,则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由题意,可得,‎ 可得,是周期为2的函数,‎ 又由,‎ 则函数的图象关于对称,‎ 由当时,,可画出函数的图象,‎ 作出直线的图象,如图所示,‎ 要使得与有5个交点,‎ 则当时, ,解得,当时,,解得,所以实数的取值范围是,‎ 故答案为.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共75分,17题满分10分,其余满分12分)‎ ‎17.(1)已知直线与.若,求的值.‎ ‎(2)已知圆过两点,且圆心在直线,求圆的方程.‎ 解:(1)因为,所以,解得.‎ ‎(2)设圆方程为,则圆的圆心为 ‎ 又由圆过两点,且圆心在直线上,‎ 则有,解可得,‎ 则圆的方程为.‎ ‎18.已知公差不为的等差数列的首项,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ 解:(1)设数列的公差为,则.‎ 由成等比数列,得 ‎ 即得 (舍去)或.‎ 所以数列通项公式为 ‎(2)因为 ‎ 所以 ‎19.如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面是等腰梯形,且 ,其中 .‎ ‎(1)证明:平面 平面 .‎ ‎(2)求点 到平面 的距离.‎ 解:(1)过点作交于点.‎ 因为底面 是等腰梯形,且 ,所以 ‎ 在 中, ,同理可得 ‎ 因为 与 相似,所以 ,‎ 所以 ,则 ‎ 因为 平面平面,所以 ‎ 因为 平面平面,且 ,所以 平面 ‎ 因为 平面 ,所以平面 平面 ‎ ‎(2)因为平面,所以 ,‎ 因为 ,所以 ‎ 在 中,因为 ,‎ 所以,‎ 所以 ,则的面积为 ‎ ‎ 设点到平面 的距离为,则三棱锥的体积 ‎ 因为 ,所以,解得 ‎ 故点到平面的距离为 ‎20.在平面四边形中,已知,,.‎ ‎(1)若,求的面积;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ 解:(1)在中,‎ ‎ 即 ,解得.‎ 所以.‎ ‎(2)因为,所以 ,,‎ ‎ .‎ 在中,, .‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎21.已知向量,,函数.‎ ‎(1)当时,求的值域;‎ ‎(2)若对任意,,求实数取值范围.‎ 解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,,,‎ 所以的值域为. ‎ ‎(2)令,,由(1)得,问题等价于,恒成立,当时,; ‎ ‎ 当时,,恒成立,‎ 因为,,当且仅当时,等号成立,‎ 所以的最小值为2,故,综上,实数的取值范围为.‎ ‎22.对于定义域为R的函数,部分与的对应关系如下表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)数列满足,且对任意,点都在函数的图像上,求;‎ ‎(3)若,其中,,,,求此函数的解析式,并求().‎ 解:(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎ ,周期为4 , 所以=.‎ ‎(3)由题意得 由 又 而 ‎ 从而有 ‎ ‎ ‎ ‎ 此函数的最小正周期为6, ‎ ‎ ‎ ‎1)当 时.‎ ‎. ‎ ‎2)当 时.‎ ‎.‎
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