2019年高考数学总复习检测第15讲 导数的概念及运算
第15讲 导数的概念及运算
1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(C)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
x>0，f′(x)＝2x－2－＝>0，
所以x∈(2，＋∞)．
2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(B)
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)
kA，即f′(xA)1，即tan α>1，
又α∈(0，)，所以α∈(，)．
5．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 1 .
因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.
又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
6．(2015·新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝ 1 .
因为y′＝3ax2＋1，所以y′|x＝1＝3a＋1，
所以＝3a＋1，所以a＝1.
7．(2016·四川卷改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，求△PAB的面积的取值范围．
由图象易知P1，P2位于f(x)的两段上，不妨设P1在f(x)＝－ln x，x∈(0,1)的图象上，P2在f(x)＝ln x(x>1)的图象上，
设P1(x1，－ln x1)，x1∈(0,1)，P2(x2，ln x2)，x2∈(1，＋∞)，
则l1：y＋ln x1＝－(x－x1)，l2：y－ln x2＝(x－x2)．
由l1⊥l2知，－·＝－1，所以x1x2＝1.
又l1，l2分别与y轴交于点A，B，
所以A(0,1－ln x1)，B(0，－1＋ln x2)．
由
得P点的横坐标x＝.
所以S△ABP＝×|1－ln x1＋1－ln x2|×
＝|2－ln x1x2|×＝＝.
因为x1∈(0,1)，所以x1＋>2，所以0<<1.
即△PAB的面积的取值范围是(0,1)．
8．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(A)
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A，y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于B，y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，因为x＞0，所以不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C，y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2；
对于D，y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
综上所述，选A.
9．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，则a，b的值分别为 4,24 .
f′(x)＝3x2－3a.
因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以f(2)＝8，f′(2)＝0，
即8－6a＋b＝8,3(4－a)＝0，故a＝4，b＝24.
10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围是(－∞，－)∪(－，＋∞)．
