数学卷·2018届西藏民族学院附属中学高二12月月考理科数学 （解析版）x

数学卷·2018届西藏民族学院附属中学高二12月月考理科数学 （解析版）x

‎2016-2017学年西藏民族学院附属中学高二12月月考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．在‎△ABC中，角A，B，C的对边分别是A，B，C，若a=‎5‎‎2‎b，A=2B，则cosB=‎ A.‎5‎‎3‎ B.‎5‎‎4‎ C.‎5‎‎5‎ D.‎‎5‎‎5‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查正弦定理、二倍角公式，考查了转化思想.因为a=‎5‎‎2‎b，A=2B，所以由正弦定理可得asinA‎=bsinB=asin‎2B=‎‎5‎‎2‎b‎2‎sinBcosB,所以cosB=‎‎5‎‎4‎ ‎ ‎ ‎2．在‎△ABC中，如果‎(a+b-c)(b+c-a)=3ac，那么角B等于 A.‎30°‎ B.‎60°‎ C.‎120°‎ D.‎‎150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查余弦定理，考查了计算能力.因为a+b-cb+c-a‎=b‎2‎-c-a‎2‎=b‎2‎-c‎2‎-a‎2‎+2ca=3ac,即b‎2‎‎=c‎2‎+a‎2‎+ac,且b‎2‎‎=c‎2‎+a‎2‎-2cacosB,所以cosB‎=-‎‎1‎‎2‎，所以B=120°‎ ‎ ‎ ‎3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定 ‎【答案】A ‎【解析】设三边增加的长度均为x,原三角形的三边长分别为a,b,c,且c2=a2+b2,a+b>c,新的三角形的三边长分别为a+x,b+x,c+x,显然c+x为最大边,其对应的角最大,而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0,则这个角为锐角,那么新的三角形为锐角三角形.‎ ‎ ‎ ‎4．关于三角形满足的条件，下列判断正确的是 A.a=7，b=14，A=30°‎，有两解 B.a=30，b=25，A=150°‎，有一解 C.a=6，b=9，A=45°‎，有两解 D.b=9，c=10，B=60°‎，无解 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理，考查了逻辑推理能力与计算能力.A.由正弦定理可得sinB‎=bsinAa=1‎，则B=90°‎,有一解，错误；B.显然只有一解，正确；C.由正弦定理可得sinB‎=bsinAa=‎3‎‎3‎‎4‎>1‎，不成立，错误；D.由正弦定理可得sinC‎=csinBb=‎5‎‎3‎‎9‎<1‎，有解，错误，故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎5．在‎△ABC中，A=π‎3‎，BC=3‎，则‎△ABC的周长为 A.‎△ABC B.‎‎4‎3‎sin(B+π‎6‎)+3‎ C.‎6sin(B+π‎3‎)+3‎ D.‎‎6sin(B+π‎6‎)+3‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式，考查了转化思想.由正弦定理可得BCsinA‎=ACsinB=ABsinC=2‎‎3‎,AC=2‎‎3‎sinB，AB=2‎‎3‎sinC,则‎△ABC的周长为AB+AC+BC=‎‎2‎3‎sinC+2‎3‎sinB+3=2‎3‎sin‎(‎2π‎3‎-B)‎+2‎3‎sinB+3=6sin(B+π‎6‎)+3‎ ‎ ‎ ‎6．在各项均不为零的等差数列‎{an}‎中，若an+1‎‎-an‎2‎+an-1‎=0(n≥2)‎，则S‎2n-1‎‎-4n=‎ A.‎-2‎ B.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了转化思想.由an+1‎‎-an‎2‎+an-1‎=0‎可得an+1‎‎+an-1‎=‎an‎2‎，又an+1‎‎+an-1‎=2‎an，所以an‎2‎‎=2‎an，又因为an‎≠0‎，所以an‎=2‎，则S‎2n-1‎‎-4n=2‎2n-1‎-4n=-2‎.‎ ‎ ‎ ‎7．若‎1‎a‎<‎1‎b<0‎，则下列不等式：①‎|a|>|b|‎；②a+b2‎；④a‎2‎b‎<2a-b中，正确的不等式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查不等式的性质、基本不等式，考查了逻辑推理能力.因为‎1‎a‎<‎1‎b<0‎，所以b2‎，a‎2‎b‎-2a+b=‎(‎a-b)‎‎2‎b<0‎,因此，①错误；②③④正确，故答案为C.‎ ‎ ‎ ‎8．若a是‎1+2b与‎1-2b的等比中项，则‎2ab‎|a|+2|b|‎的最大值为 A.‎2‎‎5‎‎15‎ B.‎2‎‎4‎ C.‎5‎‎5‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查等比数列、基本不等式，考查了转化思想与计算能力.因为a是‎1+2b与‎1-2b的等比中项，所以a‎2‎‎=1-4‎b‎2‎，则a‎2‎‎+4b‎2‎=1‎，‎ ‎2ab‎|a|+2|b|‎‎≤a‎·2‎ba‎+2‎b≤a‎+2‎b‎2‎‎2‎a‎+2‎b=a‎+2‎b‎4‎≤‎2‎a‎2‎‎+4‎b‎2‎‎4‎=‎‎2‎‎4‎ ‎ ‎ ‎9．若a，b，c是常数，则“a>0‎，且b‎2‎‎-4ac<0‎”是“对任意x∈R，有ax‎2‎+bx+c>0‎”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为a＞0，且b‎2‎‎－4ac＜0⇒ax‎2‎＋bx＋c＞0‎对任意x∈R恒成立.反之，ax2＋bx＋c＞0对任意x∈R恒成立不能推出a＞0，且b2－4ac＜0，反例为：当a＝b＝0，且c＞0时也有ax2＋bx＋c＞0对任意x∈R恒成立，所以“a＞0，且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的充分不必要条件.‎ ‎ ‎ ‎10．下列四个命题：‎ ‎①“若x‎2‎‎+y‎2‎=0‎，则实数x，y均为0”的逆命题；‎ ‎②“相似三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“A∩B=A，则A⊆B”的逆否命题；‎ ‎④“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为 A.①② B.②③ C.①③ D.③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查四种命题、命题真假的判断,考查了逻辑推理能力. ①“若x‎2‎‎+y‎2‎=0‎，则实数x，y均为0”的逆命题是“若实数x，y均为0，则x‎2‎‎+y‎2‎=0‎”是真命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题是“不相似三角形的面积不相等”，是假命题；③“A∩B=A，则A⊆B”是真命题，逆否命题是真命题；④“末位数不是0的数可被3整除”是假命题，如:2不能被3整除，故逆否命题是假命题，答案为C.‎ ‎ ‎ ‎11．满足‎∠ABC=60°，AC=12，BC=k的‎△ABC恰有一个，则k的取值范围是 A.k=8‎‎3‎ B.‎‎00‎恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是         .‎ ‎【答案】‎‎(-∞，0)∪[3，+∞)‎ ‎【解析】本题主要考查全称命题，考查了恒成立问题、分类讨论思想与计算能力.由题意可得，当a=0时，则3>0恒成立，是真命题，不符合题意；当a≠0‎时，要使命题“‎∀x∈R，ax‎2‎-2ax+3>0‎恒成立”是假命题，则有a<0或a>0                    ‎‎∆=4a‎2‎-12a≥0‎,求解可得a<0或a≥3‎,故答案为‎(-∞，0)∪[3，+∞)‎ ‎ ‎ ‎16．设x，y满足约束条件‎3x-y-6≤0‎x-y+2≥0 ‎x≥0，y≥0 ‎，其中目标函数z=ax+by(a>0，b>0)‎的最大值为12，则‎2‎a‎+‎‎3‎b的最小值为         .‎ ‎【答案】‎‎25‎‎6‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划问题与基本不等式的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，根据目标函数z与直线z=ax+by在y轴上的截距之间的关系可知，当直线z=ax+by过点A(4,6)时，目标函数取得最大值z=4a+6b=12‎，即‎1‎‎6‎‎2a+3b‎=1‎,则‎2‎a‎+‎3‎b=‎2‎a‎+‎‎3‎b·‎1‎‎6‎‎2a+3b=‎1‎‎6‎‎13+‎6ba+‎‎6ab≥‎1‎‎6‎‎13+2‎‎6ba‎·‎‎6ab=‎‎25‎‎6‎，当且仅当‎6ba‎=‎‎6ab，即a=b=‎6‎‎5‎时，等号成立.‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知p：方程x‎2‎‎+mx+1=0‎有两个不等的负根；q：方程‎4x‎2‎+4(m-2)x+1=0‎无实根.若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围.‎ ‎【答案】若方程x‎2‎‎+mx+1=0‎有两个不等的负根，则‎{‎Δ=m‎2‎-4=0‎m>0                 ‎，解得m>2‎.‎ 即p:m>2‎ 若方程‎4x‎2‎+4(m-2)x+1=0‎无实根，‎ 则Δ=16‎(m-2)‎‎2‎-16=16(m‎2‎-4m+3)<0‎，‎ 解得：‎12                 ‎m≤1或m≥3‎或‎{‎m≤2       ‎‎10                 ‎，求解可得命题p；由题意可得Δ=16‎(m-2)‎‎2‎-16<0‎，求解可得命题q，易知p，q两命题应一真一假，则有‎{‎m>2                 ‎m≤1或m≥3‎或‎{‎m≤2       ‎‎10‎的解集；‎ ‎(2)当b=3-a时，对任意的x∈(-1，0]‎都有f(x)≥0‎成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)因为不等式x‎2‎‎-ax+b<0‎的解集是‎{x|20‎为‎6x‎2‎-5x+1>0‎.‎ 解不等式‎6x‎2‎-5x+1>0‎得其解集为‎{x|x<‎1‎‎3‎或x>‎1‎‎2‎}‎.‎ ‎(2)据题意x∈(-1，0]‎，f(x)=x‎2‎-ax+3-a≥0‎恒成立，则可转化为a≤‎‎(x‎2‎‎+3‎x+1‎)‎min.‎ 设t=x+1‎，则t∈(0，1]‎，x‎2‎‎+3‎x+1‎‎=‎(t-1)‎‎2‎‎+3‎t=t+‎4‎t-2‎关于t递减，‎ 所以‎(t+‎4‎t-2)‎min‎=1+4-2=3‎，∴a≤3‎.‎ ‎【解析】本题主要考查二次函数的性质、一元二次不等式的解法，考查了恒成立问题与转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得x=2，x=3‎是方程x‎2‎‎-ax+b=0‎的两个根，由韦达定理可得a、b的值，则易求bx‎2‎-ax+1>0‎的解；(2) 据题意x∈(-1，0]‎，f(x)=x‎2‎-ax+3-a≥0‎恒成立，则可转化为a≤‎‎(x‎2‎‎+3‎x+1‎)‎min，设t=x+1‎，则t∈(0，1]‎，x‎2‎‎+3‎x+1‎‎=t+‎4‎t-2‎关于t递减，则结论易得.‎ ‎ ‎ ‎19．2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.‎ ‎(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；‎ ‎(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?‎ ‎【答案】(1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为 n[0+0.2(n-1)]‎‎2‎‎=0.1n‎2‎-0.1n‎ (万元)‎ 所以f(n)=14.4+0.7n+(0.1n‎2‎-0.1n)=0.1n‎2‎+0.6n+14.4‎ (万元)‎ ‎(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为 fnn‎=‎0.1n‎2‎+0.6n+14.4‎n=0.1n+‎14.4‎n+0.6‎ ‎≥2‎0.1n⋅‎‎14.4‎n+0.6=3‎‎ (万元).‎ 当且仅当0.1n＝‎14.4‎n时取等号，此时n＝12.‎ 答:这种汽车使用12年报废最合算.‎ ‎【解析】本题主要考查数列的实际应用.解答本题时要注意根据条件建立关于使用年数n的函数，然后构造基本不等式，应用基本不等式求解最值.高考对于数列的主要考查方式有：等差、等比数列的定义及通项公式；等差、等比数列的前n项和；一般数列的求和，数列与不等式等.‎ ‎【备注】统计历年的高考试题可以看出，数列的实际应用的考查相对较少，如果考查，属于中等题，处于解答题的前2题.‎ ‎ ‎ ‎20．如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10 000m,速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420s后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取‎2‎≈1.4,‎3‎≈1.7).‎ ‎【答案】如图，‎∵∠A=15°‎，‎∠DBC=45°‎，AB=180000×420×‎1‎‎3600‎=21000‎.在ΔABC中，BCsinA‎=‎ABsin∠ACB，‎∴BC=‎21000‎‎1‎‎2‎⋅sin15°=10500‎‎6‎‎-‎‎2‎，过山顶C作CD⊥AB于D，‎‎∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°=10500‎6‎‎-‎‎2‎×‎2‎‎2‎=10500‎‎3‎‎-1‎ ‎≈10500(1.7-1)=7350‎‎，‎∴‎山顶的海拔高度约为‎10000-7350=2650‎(m).‎ ‎【解析】无 ‎ ‎ ‎21．在‎△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a‎2‎‎+b‎2‎-c‎2‎=‎3‎ab.‎ ‎(1)求‎∠C的大小；‎ ‎(2)如果‎0

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